理科数学
总分:150 分 时量:120 分钟
姓名_______ 考号___________
第Ⅰ卷(共 60 分)
一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1. 已知复数 .则 z 的共轭复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
3.已知 , , 则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.已知数列 为等比数列,首项为 ,数列 满足 ,且 ,
则 为( )
A.9 B.27 C.81 D.243
5.函数 的图象大致是( )
A. B. C. D
.6.《九章算术》卷七﹣﹣盈不足中有如下问题:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人
出七,不足三.问人数、羊价各几何?”.翻译为:”现有几个人一起买羊,若每人出五钱,
还差四十五钱,若每人岀七钱,还差三钱,问人数、羊价分别是多少”.为了研究该问题,
设置了如图所示的程序框图,若要输出人数和羊价,则判断框中应该填( )
A.k>20 B.k>21 C.k>22 D.k>23
7. 已知平面向量 满足 ,且 ,则向量 与 夹角
的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知平面区域 D1= ,D2= ,在区域 D1 内随机
选取一点 M,则点 M 恰好在区域 D2 内的概率为( )
A. B. C. D.
9.已知函数 ( , ),满足 ,将函数 的
图象向右平移 个单位得到函数 的图象,若 的图象关于直线 对称,则
的取值可以为( )
A.1 B.2 C.3 D.410.已知抛物线 C: 的焦点 F 到其准线的距离为 4,圆 M: ,
过 F 的直线 l 与抛物线 C 和圆 M 从上到下依次交于 A,P,Q,B 四点,则|AP|+4|BQ|的最小值为
( )
A.9 B.11 C.13 D.15
11.已知函数 ,若方程 有两个不同实根,则实数 的
取值范围为( )
A.( , ) B.( , ﹣1]
C.( ,1)∪(1, ) D.( ,1)∪(1, ﹣1]
12.已知四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形,平面 PBC⊥平面 ABCD, 于 E,EC=1,
,BC=3, PE=2,则四棱锥 P-ABCD 外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共 90 分)
二.填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.函数 在 处的切线方程是__________.
14.已知二项式 展开式中各项系数和为 243,则 的展开式中含
项的系数为_______.
15. 数列 通项公式为 ,若 为数列 的前 项和,则
______.
16.已知双曲线 C: 右焦点为 F,直线 与双曲线 C 交于 A,B
两点,AF、BF 的中点依次为 M,N,若以线段 MN 为直径的圆经过原点,则双曲线的离心率为
_________.
三.解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.)17.(12 分) 如图,△ABC 是等边三角形,D 是 BC 边上的动点(含端点),记∠BAD= ,∠
ADC= .
(1)求 的最大值;
(2)若 BD=1,cos = ,求△ABD 的面积.
18.(12 分)如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 2 的菱形, ,
,平面 ⊥平面 ,点 为棱 的中点.
(1)在棱 上是否存在一点 ,使得 平面 ,并说明理由;
(2)当二面角 的余弦值为 时,求直线 与平面 所成的角.
19.(12 分)有两种理财产品 和 ,投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理
财产品的不同投资结果之间相互独立):
产品 :
投资结果 获利 不赔不赚 亏损概率
产品 :
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
注:
(1)若甲、乙两人分别选择了产品 投资,一年后他们中至少有一人获利的概率大于
,求实数 的取值范围;
(2)若丙要将 20 万元人民币投资其中一种产品,以一年后的投资收益的期望值为决策依据,
则丙选择哪种产品投资较为理想.
20. (12 分)已知椭圆 : 的左右焦点分别为 ,点
是椭圆 的左右顶点,点 是椭圆 上一动点, 的周长为 6,且直线 的
斜率之积为 .
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)若 、 为椭圆 上位于 轴同侧的两点,且 ,求四边形
面积的取值范围.
21.(12 分)已知函数 ( 是自然对数的底数),
是函数 的一个极值点.(1)求函数 的单调递增区间;
(2)设 ,若 ,不等式 恒成立,求的最大值.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.【选修 4—4:坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)
已知在平面直角坐标系 中,圆 的参数方程为 ( 为参数).以原点
为极点, 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.
(1)求圆 的普通方程及其极坐标方程;
(2)设直线 的极坐标方程为 ,射线 与圆 的交点为
(异于极点),与直线 的交点为 ,求线段 的长.
23.【选修 4—5:不等式选讲】(本小题满分 10 分)已知函数
(1)解不等式 ;
(2)若函数 最小值为 ,且 ,求 的最小值.
理科数学参考答案及解析
总分:150 时量:120
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B A B C A A C B B C D A
9.解:∵f(0)= ,∴sinφ= ,∴φ= ,即 f(x)=2sin(ωx+ ),
∴g(x)=2sin[ω(x﹣ )+ ],
∵g(x)的图象关于直线 x= 对称,∴ω( ﹣ )+ = +kπ,k∈z,
则 ω× = +kπ,k∈z,令 k=1,得 ω=2.故选:B.
11 解:方程 f(x)﹣kx=1 有两个不同实根可化为
函数 f(x)与函数 y=kx+1 有两个不同的交点,
当 x>1 时,f(x)=f(x﹣1),周期性变化;
函数 y=kx+1 的图象恒过点(0,1);
作函数 f(x)与函数 y=kx+1 的图象如下,
C(0,1),B(2,e),A(1,e);
故 kAC=e﹣1,kBC= ;
在点 C 处的切线的斜率 k=e0=1;结合图象可得,实数 k 的取值范围为
( ,1)∪(1,e﹣1];故选:D.
12. 以 为 底 面 补 成 直 三 棱 柱 , 由 正 弦 定 理 可 求 得 外 接 圆 直 径 径 为
,外接球半径
从而可求得外接球表面积为
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13. 14. 30 15. 16. .
15.[解]数列 且 ,
当 为奇数时, ; 当 为偶数时, ,
所以 ,
.故答案为 .
16. [解] 因为以线段 MN 为直径的圆经过原点,所以 ,∴
设 左 焦 点 为 , 连 接 , 则 , 因 为 , 所 以
,由双曲线定义得
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.)
17.(1)由△ABC 是等边三角形,得β=α+ ,
0≤α≤ ,故 2cos α﹣cos β=2cos α﹣cos(α+ )
= ,
故当α= ,即 D 为 BC 中点时,原式取最大值 .(6 分)
(2)由 cos β= ,得 sin β= ,
故 sin α=sin(β﹣ )=sin βcos ﹣cos βsin = ,(8 分)
由正弦定理 = ,
故 AB= BD= ,(10 分)
故 S△ABD= AB•BD•sin B= × ×1× = .(12 分)
18.解:(Ⅰ)在棱 AB 上存在点 E,使得 AF∥平面 PCE,点 E 为棱 AB 的中点.
理由如下:取 PC 的中点 Q,连结 EQ、FQ,由题意,FQ∥DC 且 FQ= CD, 所以 AE∥CD 且 AE= CD,
故 AE∥FQ 且 AE=FQ. 所以,四边形 AEQF 为平行四边形. (3 分)
所以,AF∥EQ,又 EQ⊂平面 PEC,AF⊄平面 PEC,
所以,AF∥平面 PEC. (5 分)
(2)由题意知△ABD 为正三角形,所以 ED⊥AB,亦即 ED⊥CD,
又∠ADP=90°,所以 PD⊥AD,且平面 ADP⊥平面 ABCD,
平面 ADP∩平面 ABCD=AD,
所以 PD⊥平面 ABCD,故以 D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,(6 分)
设 FD=a,则由题意知 D(0,0,0),F(0,0,a),C(0,2,0),B( ,1,0),
=(0,2,﹣a), =( ),
设平面 FBC 的法向量为
则由 ,令 ,
所以取 ,平面 DFC 的法向量 =(1,0,0),(8 分)
因为二面角 D﹣FC﹣B 的余弦值为 ,
所以由题意: ,解得 . (10 分)
由于 PD⊥平面 ABCD,所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD,
所以∠PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角,
由题意知在 Rt△PBD 中,tan∠PBD= ,从而 ,
所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 . (12 分)19.(1)记事件 为“甲选择产品 投资且获利”,记事件 为“乙选择产品 投资且获
利”,记事件 为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”
则 , , ,
又 ,且 , (5 分)
(2)假设丙选择 产品投资,且记 为获利金额(单位:万元),则 的分布列为:
投资结果
概率
(7 分)
假设丙选择 产品投资,且记 为获利金额(单位:万元),则 的分布列为:
投资结果 -6
概率
(9 分)
当 时, ,丙可在产品 和产品 中任选一个投资;
当 时, ,丙应选产品 投资;
当 时, ,丙应选产品 投资. (12 分)
20.(1)∵△AF1F2 的周长为 6,∴2a+2c=6,即 a+c=3,①直线 的斜率之积为 .可求得 ②
联立①②及 a2=b2+c2,解得 a=2,b= ,c=1.
∴椭圆 C 的方程为 ;(4 分)
(2)∵∠AF1F2+∠BF2F1=π,∴AF1∥BF2,
延长 AF1 交椭圆 C 于点 A′,设 A(x1,y1),A′(x2,y2),
由(1)知 F1(﹣1,0),F2(1,0),
直线 AA′的方程为 x=ty﹣1,联立 ,得(3t2+4)y2﹣6ty﹣9=0.
∴ , .(6 分)
由对称性可知, ,设 AF1 与 BF2 的距离为 d,,
则四边形 AF1F2B 的面积
S= = .
∴S=
= = = .(9 分)
令 m= ,m≥1.∴S= .
∵S(m)在[1,+∞)上单调递减,∴S∈(0,3].
故四边形 AF1F2B 面积的取值范围为(0,3].(12 分)
21.(1)f'(x)=(x+2)ex﹣x﹣a,
∵ 是函数 的一个极值点,∴ ,解得 a=2(2 分)
则 f'(x)=(x+2)(ex﹣1).
令 f'(x)>0,解得 x>0 或 x<﹣2,
故函数的单调递增区间为(﹣∞,﹣2)和(0,+∞).(4 分)
(2)不等式 f(x)≥g(x),可化为 ex≥2mx﹣n,记 h(x)=ex﹣2mx+n,h'(x)=ex﹣2m,
当 m≤0 时,h'(x)>0 恒成立,则 h(x)在 R 上递增,没有最小值,故不成立;(6 分)
当 m>0 时,令 h'(x)=0,解得 x=ln2m,当 x∈(﹣∞,ln2m)时,h'(x)<0;当 x∈
(ln2m,+∞)时,h'(x)>0,
当 x=ln2m 时,函数 h(x)取得最小值 h(ln2m)=eln2m﹣2mln2m+n≥0,
即 2m﹣2mln2m≥﹣n,则 (9 分)
令 F(m)=2m﹣mln2m(m>0),F'(m)=1﹣ln2m,令 F'(m)=0,
则 ,当 时,F(m)>0;当 时,F(m)<0,
故当 时,F(m)取得最大值 ,
所以 ,即 的最大值为 .(12 分)
22.(1)由
平方相加,得: ,所以圆 的普通方程为: (2 分)
又
化简得圆 的极坐标方程为: .(5 分)
(2)把 代入圆的极坐标方程可得: (7 分)
把 代入直线 的极坐标方程可得: (9 分)
所以线段 的长 (10 分)(其他方法酌情记分)
23.(1)当 时, ,无解
当 时, ,得
当 时, ,得
所以不等式解集为 (.5 分)
(2) 当且仅当 时取等
当且仅当 时取等
所以当 时, 最小值为 4, , (7 分)
所以
所以
当且仅当 且 即 时取“=”
所以 最小值为 (.10 分)