数 学（正卷）
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置
上．）
1.已知 ， ，则 ▲ ．
2.若复数 ，则复数 的模 = ▲ ．
3.某市有中外合资企业 160 家，私营企业 320 家，国有企业 240 家，其他性质的企业 80 家，
为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这 800 家企业中抽取一个容量为 的样本，
已知从国有企业中抽取了 12 家，那么 = ▲ ．
4.函数 的定义域是 ▲ ．
5.如右图所示的流程图的运行结果是▲ ．
6.高三（5）班演讲兴趣小组有女生 3 人，男生 2 人，现
从中任选 2 名学生去参加校演讲比赛 ,则参赛学生恰好为
1 名男生和 1 名女生的概率是▲ ．
7.在平面直角坐标系 中，直线 为双曲线
的一条渐近线，则该双曲线的离心率为▲ ．
8.已知 ， ，则 的值为▲ ．
9.设公比不为 1 的等比数列 满足 ,且 成等差数列，则数列 的前
4 项和为▲ ．
10.曲线 在点 处的切线与直线 互相垂直，则实数 的值为
▲ ．
11. 已知 ，且 ，则 的最小值为▲ ．
12.已知直线 与圆心为 C 的圆 相交于 A，B 两点，且△ABC
2 0a b> > 1a b+ = 2 4
2a b b
+−为等边三角形，则实数 ＝▲ ．
13.已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ， 的夹角等于 ，且 ，
则 的取值范围是▲ ．
14.关于 的方程 有 3 个不同的实数解，则实数 的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共 6 小题,共 90 分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15. （本小题满分 14 分）
在三角形 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，角
为钝角， ．
（1）求 的值；
（2）求边 的长．
16. （本小题满分 14 分）
如图所示，在三棱柱 中， 为
正方形， 是菱形，
平面 平面 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
1 1 1ABC A B C− 1 1AA B B
1 1BB C C
1 1AA B B ⊥ 1 1BB C C
//BC 1 1AB C
1B C ⊥ 1AC
a b c a b ( ) ( ) 0− ⋅ − =a c b c
c
x 1|ln | 2x a x+ = a
ABC , ,A B C , ,a b c 3sin 5A = 1tan( ) 3A B− = C
5b =
sin B
c
C
B
C1
B1
A1A17．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 E： 的离心率为 ，且过点 ．右焦点为 F．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设过右焦点为 F 的直线与椭圆交于 AB 两点，且 ，
求直线 AB 的方程．
18．（本小题满分 16 分）
如图，两座建筑物 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别
是 10 和 20 ，从建筑物 的顶部 看建筑物 的视角 ．
（1）求 的长度；
（2）在线段 上取一点 点 与点 不重合），从点 看这两座建筑物的视角分别为
问点 在何处时， 最小？
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
2
2 3( , )2 2P
CDAB,
AB A CD 60CAD∠ =
BC
BC (P P CB, P
,, βα =∠=∠ DPCAPB P βα +
A
B
D
CP
βα19. （本小题满分 16 分）
已知数列{ }、{ }满足： .
（1）证明： 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，求实数 a 为何值时 恒成立．
20. （本小题满分 16 分）
已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）当 时，求证： ；
（3）设函数 ，其中 为实常数，试讨论函数 的零点个数，并证明
你的结论．
2020 届高三 12 月联合调研测试
数 学（加试）
每小题 10 分，计 40 分.请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
21．已知矩阵 ，若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α1＝ , 属于特
征值 5 的一个特征向量为 α2= ．求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵．
=
41
baA
−1
3
1
1
na nb 1 1 2
1 14 1
n
n n n
n
ba a b b a+= + = = −， ，
1
1nb
−
{ }nb
1 2 2 3 3 4 1...n n nS a a a a a a a a += + + + + 4 n naS b<
( ) ln
xf x x
=
( )y f x= 0 0( , ( ))x f x 2x y a+ = 0x
1x > ( ) lnf x x>
( ) ( ) lnF x f x b x= − b ( )F x22.在极坐标系 中，求曲线 与 的交点 的极坐标．
23.在三棱锥 S—ABC 中,底面是边长为 的正三角形，点 S 在
底面 ABC 上的射影 O 恰是 BC 的中点,侧棱 SA 和底面成 45°角．
(1) 若 D 为侧棱 SA 上一点，当 为何值时，BD⊥AC；
(2) 求二面角 S—AC—B 的余弦值大小．
24.已知 （其中 ）
⑴当 时，计算 及 ；
⑵记 ，试比较 与 的大小，并说明理由．
( ) (0 2π)ρ θ θ ( )f t
20 2 10 3t = − ( )f t tan( )α β+
2 10 3 200 0+t t− − < ( ) 0f t < tan( ) 0α β
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