数学试题
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 150 分钟。
注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、
代码、准考证号填写清楚。请认真核准准考证号、姓名和科目、姓名代码。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.记 为等差数列 的前 项和.若 ， ，则 的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2.下列选项中，使不等式 成立的 的取值范围是（ ）
A． (－1,0) B．(－∞,－1) C. (0,1) D．(1,+∞)
3.两个正数 1、9 的等差中项是 ，等比中项是 ，则曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D． 与
4.直线 与抛物线 交于 A，B 两点，若|AB|=4，则弦 AB 的中点到
直线 的距离等于（ ）
A． B． C．4 D．2
5.若正数 x，y 满足 ，当 取得最小值时， 的值为（ ）
A. B.2 C. D.5
6.在各项不为零的等差数列 中， ，数列 是等比数列，
且 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
nS { }na n 4 5 24a a+ = 6 48S = { }na
21x xx
< < x
4 4 0kx y k− − = 2y x=
1 02x + =
7
4
9
4
3 5x y xy+ = 3 4x y+ 2x y+
24
5
28
5
{ }na 2
2017 2018 20192 2 0a a a− + = { }nb
2018 2018b a= ( )2 2017 2019log b b⋅ 7. 已 知 F1 ， F2 是 双 曲 线 的 左 ， 右 焦 点 ， 点 P 在 双 曲 线 上 ， 且
，则下 列结论正确的是( )
A．若 ，则双曲线离心率的取值范围为
B．若 ，则双曲线离心率的取值范围为
C．若 ，则双曲线离心率的取值范围为
D．若 ，则双曲线离心率的取值范围为
8.如图，正方体 中， 是棱 的中点， 是棱 上的点，且 ，则直线
与 所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9.若 ，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.由公差为 d 的等差数列 则对重新组成的数列
描述正确的是（ ）
A 一定是等差数列 B．公差为 2d 的等差数列
C.可能是等比数列 D．可能既非等差数列又非等比数列
11. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn(Sn≠0)，且满足 ，则下列说法
正确的是（ ）
2 2
2 2: 1x yC a b
− =
1 2| | | |PF PFλ=
1= 7
λ 10 ,3
+∞
1= 7
λ 101, 3
=7λ 41, 3
=7λ 4 ,3
+∞
1 1 0b a
< <
1 1
a b a
>− a b< a b> 2 2a b>
,...,, 321 aaa ...,, 635241 aaaaaa +++
1 1
14 0 ( 2), 4n n na S S n a−+ = ≥ =A.数列{an}的前 n 项和为 B. 数列{an}的通项公式为
C.数列{an}为递增数列 D. 数列 为递增数列
12. 已知 A，B 为平面内两定点，过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线，垂足为 N.若 MN
→
2＝
λAN
→
·NB
→
，其中 λ 为常数，则动点 M 的轨迹可能是( )
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 已知双曲线的顶点为椭圆 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的
乘积
等于 ，则双曲线的标准方程是____________________________
14.已知抛物线 C： （ ）的焦点为 F，准线 l： ，点 M 在抛物线 C 上，
点 A 在
准线 l 上，若 MA⊥l，直线 AF 的倾斜角为 ，则|MF|= ．
15. 不等式 a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的 a，b∈R 恒成立，则实数 λ 的取值范围为
________．
16.数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等比数列 ，则正整数
值为 ______.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。17 题 10 分其余题目 12 分，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
17（10 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 PA 的长为
2，且 PA 与 AB、AD 的夹角都等于 600， 是 PC 的中点，
设 ．
（1）试用 表示出向量 ；
（2）求 的长．
1S 4n n
= 1
4 ( 1)na n n
= +
1{ }
nS
2 2y px= 0p > 5
4x = −
3
π
( )
1
1na n n
= + n nS 1S mS nS ( )1m > n
M
, ,AB a AD b AP c= = =
, ,a b c BM
BM18.（12 分）已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）求数列 的前 项和 .
19.（12 分）设函数 .
（1）若不等式 的解集是 ，求不等式 的解集；
（2）当 时，对任意的 都有 成立，求实数 的取值范围.
20.(12 分)已知等差数列 的公差大于 0，且 ， 分别是等比数列 的前三项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和 ，若 ，求 的取值范围.
21.（12 分） 设 F1，F2 分别是椭圆 C： (a>b>0)的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与
x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.
(1)若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；
(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|＝5|F1N|，求 a，b.
22.（12 分）已知椭圆 C： ，圆 Q： 的圆心 Q
在椭圆 C 上，点 P（0， ）到椭圆 C 的右焦点的距离为 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
{ }na n nS ( )*2 n nS a n n N= − + ∈
1
2na
−
{ }1na − n nT
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > ( ) ( )222 2 =2x y− + −
2 6（2）过点 P 作互相垂直的两条直线 l1，l2，且 l1 交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 l2 交圆 Q 于 C，D
两点，且 M 为 CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．数学答案
CBDBBCCD BCD ABC AD ABD
5 [－8,4] 8
17.（1）∵ 是 PC 的中点，
∴
........................4 分
（2）
................................10 分
18. （Ⅰ） ，
当 时， ，
两式相减，得 ，即 .
∴ ，所以数列 为等比数列。..........................................5 分
（Ⅱ）由 ，得 .由（Ⅰ）知，数列 是以 为首项， 为公
比的等比数列。
所以 ，
∴ ，
M
( ) ( )1 1
2 2BM BC BP AD AP AB = + = + −
( )1 1 1 1
2 2 2 2b c a a b c = + − = − + +
1, 2, 1, 2AB AD PA a b c= = = ∴ = = =由于
0 0, 60 , 0, 2 1 cos60 1AB AD PAB PAD a b a c b c⊥ ∠ = ∠ = ∴ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =由于
( )1 ,2BM a b c= − + +由于
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 32 1 1 2 2 0 1 14 4 4 2BM a b c a b c a b a c b c
∴ = − + + = + + + − ⋅ − ⋅ + ⋅ = + + + − + =
6 6
2 2BM BM∴ = ∴ ， 的长为
2 n nS a n= − +
2n ≥ 1 12 1n nS a n− −= − + −
12 1n n na a a −= − + + 1
1 1
3 3n na a −= +
1
1 1 1
2 3 2n na a −
− = −
1
2na −
1 12 1S a= − + 1
1
3a = 1
2na −
1
6
− 1
3
11 1 1 1 1
2 6 3 2 3
n n
na
− − = − = −
1 1 1
2 3 2
n
na = − + ∴ ，
∴ ....................................................12 分
19 、（ 1 ） 因 为 不 等 式 的 解 集 是 ， 所 以 是 方 程
的解.……2 分
由韦达定理得： ，故不等式 为 .………………4 分
解不等式 得其解集为 .……………………6 分
（2）据题意 ， 恒成立，则可转化为 .……8
分
设 ，则 ， 关于 递减，…………10 分
所以 ，∴ .……………………12 分
20.解：（I）设等差数列 的公差为 （ ）,
由 ，得 ，
又∵ ， ， 是等比数列 的前三项，
∴ ，
即 ，化简得 ，
联立 解得 ， .
∴ . ...........................................6 分
（II）∵ ， ， 是等比数列 的前三项，
1 1 11 2 3 2
n
na − = − −
1 116 3 1 1 11 2 4 3 21 3
n
n
n
n nT
− − = − = − − −∴等比数列 的公比为 3，首项为 3.
∴等比数列 的前 项和 .
由 ，得 ，化简得 ，
解得 ， ...................................................12 分
21.(1)根据 及题设知 ，
直线 MN 的斜率为 , 所以 即
将 代入 得
解得 ，因为 故 C 的离心率为 ..............................5 分
（2）由题意，知原点 O 为 的中点， 轴，所以直线 轴的交点 是线段
的中点，故 ，即 ，① 由
设 ，由题意知
则 代入 C 的方程， ②
将①及 代入②得
解得 ，故 .....................................12 分
22、（1）圆 Q：（x﹣2）2+（y﹣ ）2=2 的圆心为（2， ），
代入椭圆方程可得 + =1，
由点 P（0， ）到椭圆 C 的右焦点的距离为 ，即有 = ，
解得 c=2，即 a2﹣b2=4，
解得 a=2 ，b=2，
即有椭圆的方程为 + =1；...........................................................................4 分
（2）当直线 l2：y= ，代入圆的方程可得 x=2± ，可得 M 的坐标为（2， ），又|AB|=4，
可得△MAB 的面积为 ×2×4=4；
设直线 y=kx+ ，代入圆 Q 的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，
可得中点 M（ ， ），
|MP|= = ，
设直线 AB 的方程为 y=﹣ x+ ，代入椭圆方程，可得：
（2+k2）x2﹣4 kx﹣4k2=0，
设（x1，y1），B（x2，y2），可得 x1+x2= ，x1x2= ，
则|AB|= •
= • ，
可得△MAB 的面积为 S= • • •
=4 ，
设 t=4+k2（5＞t＞4），可得 = = ＜ =1，
可得 S＜4，
且 S＞4 =
综上可得，△MAB 的面积的取值范围是（ ，4]．.............................................................12 分
微信/支付宝扫码支付