数学试题(理科).pdf

书书书 数学!理工类"试题答案 第 !!!!! 页!共"页" 高!"#$级第一次诊断性考试 数学!理工类"参考答案 评分说明! !"本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则" #"对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果 后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分" $"解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数" %"只给整数分"选择题和填空题不给中间分" 一"选择题#&'分$ !!命题意图#本小题考查集合运算$不等式解法$指数式的值等基础知识%考查运算求解能力! 解析#选择 ($因为") #"##*$#*!'#& '' ) #"*####& '+ $$)&!$#$%$,$('$所以 "$$) &!$#$%'! #!命题意图#本小题考查复数的运算$共轭复数概念等基础知识%考查运算求解能力! 解析#选择 -$由%)!!./"!#./")!.$/$所以其共轭复数%%)!*$/! $!命题意图#本小题考查三角函数的定义)诱导公式等基础知识%考查运算求解能力$应用意识! 解析#选择 0$角!的终边经过点& *槡$ #$*! "! # $所以123!)*槡$ #$所以123!!.!")*123!)槡$ #! %!命题意图#本小题考查椭圆的定义$基本量的关系$离心率等基础知识%考查运算求解能力$数 形结合思想$应用意识! 解析#选择 -$由题意有' 槡) $($所以) 槡) #($所以离心率*)) ' )槡#( 槡$( )槡& $ ! +!命题意图#本小题考查函数图象和性质等知识%考查数形结合等数学思想! 解析#选择 -$由题当#&*4时$+!#"&.4$排除 0$(%当#&.4时$+!#"&'! &!命题意图#本小题考查程序框图及其应用$指数式和对数式求值等基础知识%考查运算求解能 力$应用意识! 解析#选择($依程序框图运行$当输入#)*#时$输出')#*#)! %$当输入#)! 5时$输出,) ()627$ ! 5)*#$则'.()! %*#)*8 %! 8!命题意图#本小题考查平面向量的基本运算$三角形法则等基础知识%考查数形结合思想$运算 求解能力$应用意识!数学!理工类"试题答案 第 #!!!! 页!共"页" 解析#选择 ($因为 &''-.) &''-". &''".)! # &''$".! $ &''"/)! # &''$".! $!&''$/* &''$"")! & &''$".! $ &''$/) *! & &''"$.! $ &''$/$所以")*! &$#)! $!故".#)! &! ,!命题意图#本小题考查直线和圆的方程$点到直线的距离$直线与圆的位置关系等基础知识%考 查运算求解能力$分类讨论思想$数形结合思想$应用意识! 解析#选择 ($圆的标准方程为!#.!"#.!,*!"#)%$圆心!*!$!"到直线0##., 槡. #)'的 距离为1)" 槡*!.!. #" !#.!槡 # )!(#!圆的半径"$结合图形知$圆上有三点到直线0的距离为!! 5!命题意图#本小题考查概率等基本知识$渗透数学文化$考查抽象概括能力和应用意识! 解析#选择 ($设图"三角形的面积为2$则图#中每个小阴影三角形的面积为图"三角形面 积的2 &%$于是所求的概率为 &) #8 &%2 2 )#8 &%! !'!命题意图#本小题考查三角函数图象及其性质等基础知识%考查逻辑推理能力$数形结合思 想$应用意识! 解析#选择 9$由+!#!")+!##")!知!#!$!"$!##$!"是+!#")$3/: ##*!! "$ .!图象的两 个对称中心$则#!*## 是3 #)! #的整数倍!3 是函数+!#"的最小正周期"$结论"错误%因为 + #!! "$ )$3/:!.!)!$所以结论$正确%由#4!*! ####*! $##4!.! #!4)%"解得4!* ! !# ###4!.+! !#!4)%"$当4)'时$+!#"在 *! !#$+!* +!# 上单调递增$则+!#"在 '$+!* +!# 上单调递 增$在 +! !#$!* +# 上单调递减$结论%错误%,)+!#"的图象向右平移 ! !#个单位长度后所得图象 对应的函数为,)$3/: # #*!! "!# *!! "$ .!)*$123##.!$是偶函数$所以图象关于, 轴对 称$结论#正确! !!!命题意图#本小题考查空间直角坐标系$空间几何体的外接球$球的体积等基础知识%考查空 间想象能力$推理论证能力$运算求解能力$应用意识! 解析#选择 -$由题意知$该四面体侧棱 &"*底面 "$/$且底面是边长为 槡# $的正三角形$侧 棱 &")#$所以底面正三角形的外接圆半径为#$球心必在过 &" 中点且平行于底面的平面 上$所以球半径5) ##.!槡 # 槡) +$所以球的体积为% $!!槡+"$) 槡#' + $ !! !#!命题意图#本小题考查导数的几何意义)函数与导数综合运用等知识%考查抽象概括等数学能 力以及数学抽象能力$考查函数与方程)化归与转化等数学思想! 解析#选择 ($设切点!#'$6:!'#'.(""$则由+6!#'") ' '#'.()#得'#'.()! #'!'+'"$又 由6:!'#'.(")##'$得#')! #6:!'#'.(")! #6:' #$则()' #*'#')' #*' #6:' #$有'()数学!理工类"试题答案 第 $!!!! 页!共"页" ! #'#*! #'#6:' #!'+'"$令7!'")! #'#*! #'#6:' #$则76!'")' ! #*6:'! "# $故当'('( 槡#; 时76!'"+'%当'+ 槡#;时76!'"('$故当' 槡)#;时7!'"取得极大值也即最大值7!槡#;");! 二"填空题##'分$ !$!命题意图#本小题考查圆柱的体积公式$扇形的面积等基础知识%考查空间想象能力$运算求 解能力$应用意识! 解析#填!'! 槡.$ $$由题意知圆柱截掉后剩余部分的底面面积为!'! $ 槡. $$所以剩余部分的 体积为!'! 槡.$ $! !%!命题意图#本小题考查概率)独立重复试验等基础知识$考查抽象概括能力和应用意识! 解析#填#' #8$甲获胜的方式有#+$%"$!,$%"$!,$'"$!8>+$'"围 成 的 梯 形 及 其 内 部$包 含 的 整 点 有 !,$'"$!8$!"$ !,$!"$!+$#"$!&$#"$!8$#"$!,$#"$!%$$"$!+$$"$!&$$"$!8$$"$!,$$"$!$$%"$!%$%"$!+$%"$ !&$%"$!8$%"$!,$%"!作直线$#'#.+'%,)'并平移$分析可得当直线过点!,$'"时%最小$即 %?/:),=$#')#+&'!元"! 三"解答题#共8'分$ !8!命题意图#本小题考查等差数列)等比数列的通项公式$前9 项和公式及其应用等基础知识% 考查运算求解能力$应用意识! 解析#!!"由题意有#'9)29.%$ 当9)!时$#'!)'!.%$所以'!)%! #分……………………………………………………… 当9,#时$29)#'9*%$29*!)#'9*!*%$数学!理工类"试题答案 第 %!!!! 页!共"页" 两式相减得'9)29*29*!)#'9*#'9*!$整理得 '9 '9*! )#$ 所以数列&'9'是以%为首项$#为公比的等比数列! &分……………………………………… 所以数列&'9'的通项公式'9)%=#9*!)#9.!!9)'- "! 8分………………………………… !#"由#(9 )'# 9)##9.#$ 所以(9)#9.#$ 所以数列&(9'是以%为首项$#为公差的等差数列! !'分……………………………………… 所以 39)%9.9!9*!" # =#)9#.$9! !#分…………………………………………………… !,!命题意图#本小题考查正弦定理$两角和的正弦公式$三角函数求最值等基础知识%考查运算 求解能力$逻辑推理能力$应用意识! 解析#!!"由'123/.! #))($根据正弦定理有# 3/:"123/.! #3/:/)3/:$! #分………………………………………………………………… 所以3/:"123/.! #3/:/)3/:!"./")3/:"123/.123"3/:/$ 所以! #3/:/)123"3/:/! %分…………………………………………………………………… 因为/ 为三角形内角$所以3/:/1'$ 所以123")! #$ 因为 " 为三角形内角$所以 ")! $! &分………………………………………………………… !#"由' 槡) $$")! $$根据正弦定理有# ( 3/:$) ) 3/:/) ' 3/:")#$ 所以()#3/:$$))#3/:/! ,分…………………………………………………………………… 所以(.))#3/:$.#3/:/)#3/: #! $ *! "/ .#3/:/ 槡) $123/.$3/:/ 槡)# $3/: /.!! "& # 槡# $! !!分………………………………………………………………… 当/)! $时$等号成立! 所以(.)的最大值为 槡# $! !#分………………………………………………………………… 另解#!#"由' 槡) $$")! $$根据余弦定理有# !槡$"#)(#.)#*#()123! $$数学!理工类"试题答案 第 &!!!! 页!共"页" 即$)(#.)#*()! ,分…………………………………………………………………………… 因为(#.)#*())!(.)"#*$(),!(.)"#*$(.)! "# # )!(.)"# % $ 所以$,!(.)"# % ! !!分…………………………………………………………………………… 即(.)# 槡# $$当且仅当()) 槡) $时$等号成立! 所以(.)的最大值为 槡# $! !#分………………………………………………………………… !5!命题意图#本小题考查回归方程)统计案例等基本知识$考查回归分析的基本思想$考查抽象 概括等能力和应用意识$以及数据分析能力! 解析#!!"由题$%与温度# 又可以用线性回归方程来拟合$设:%):'.:(#! :(; 2 8 +分……………………………………………………… !#"由题$! '.% ()! $!'.(" ! '.%! "( )! $ +.( ' .%'! "( ,! $ +.# ( ' ,%'槡! "( )$$当且仅当 ( ' )%' ( $ '.( . / 0 )$ 即')!$()#取等号$ 所以$! '.% (的最小值为$! 又"#.#8"*"#*!"#"#8.!"$ 不等式"#.#8"*"#*!"#! '.% (对任意#)& 恒成立$只需"#8.!"#$即可$ 解得*##8#!$ 即 8 的取值范围是**#$!+! !'分………………………………………………………………