人教A版数学必修5同步辅导与检测第一章1.1第3课时正、余弦定理的综合应用.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 第一章 解三角形 ‎1.1 正弦定理和余弦定理 第3课时正、余弦定理的综合应用 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．已知三角形的三边长分别是a，b，，则此三角形中最大的角是(　　)‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ 解析：因为＞a，＞b，所以最大边是，设其所对的角为θ，则cos θ＝‎ ＝－，θ＝120°.‎ 答案：C ‎2．在△ABC中，有下列关系式：‎ ‎①asin B＝bsin A；‎ ‎②a＝bcos C＋ccos B；‎ ‎③a2＋b2－c2＝2abcos C；‎ ‎④b＝csin A＋asin C.‎ 一定成立的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C ‎3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ A. B. C．2 D．2‎ 解析：S＝×AB·ACsin 60°＝×2××AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝.‎ 答案：B ‎4．锐角三角形ABC中，sin A和cos B的大小关系是(　　)‎ A．sin A＝cos B B．sin A＜cos B C．sin A＞cos B D．不能确定 解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°.‎ 所以A＞90°－B，‎ 所以sin A＞sin (90°－B)＝cos B.‎ 答案：C ‎5．在△ABC中，b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：a2＝b2＋c2－2bccos A＝82＋32－2×8×3＝49，‎ 所以a＝7，所以2R＝＝＝，‎ 所以R＝，所以S＝π＝π.‎ 答案：D 二、填空题 ‎6．若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解析：试题分析：由已知得△ABC的面积为AB·ACsinA＝20sin A＝10，‎ 所以sin A＝，A∈(0，)，所以A＝.‎ 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝49，BC＝7.‎ 答案：7‎ ‎7．(2015·北京卷)在△ABC中， a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．‎ 解析：＝＝·＝·＝1.‎ 答案：1‎ ‎8．(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．在△ABC中，已知sin2 B－sin‎2 C－sin‎2 A＝sin Asin C．求B的度数．‎ 解：因为sin2 B－sin‎2 C－sin‎2 A＝sin A·sin C.‎ 由正弦定理得：b2－c2－a2＝ac，‎ 由余弦定理得：cos B＝＝－.‎ 又0°＜B＜180°，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 所以B＝150°.‎ ‎10．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A.‎ ‎(1)求AB的值；‎ ‎(2)求sin.‎ 解：(1)在△ABC中，根据正弦定理＝，‎ 于是AB＝·BC＝2BC＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，根据余弦定理得 cos A＝＝，‎ 于是sin A＝，‎ 由倍角公式得sin ‎2A＝2sin Acos A＝，‎ cos ‎2A＝2cos‎2A－1＝，‎ 所以sin＝sin 2Acos－cos 2Asin＝.‎ B级　能力提升 ‎1．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由余弦定理：AC＝＝，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 由正弦定理：＝，‎ 所以sin∠CAB＝＝ 答案：C ‎2．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．‎ 解析：如下图所示，延长BA，CD交于点E，则可知在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，所以设AD＝x，AE＝x，DE＝x，CD＝m，因为BC＝2，所以·sin 15°＝1⇒x＋m＝＋，所以0＜x＜4，而AB＝x＋m－x＝x＋m＝＋－x，所以AB的取值范围是(－，＋)．‎ 答案：(－，＋)‎ ‎3．(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ 解：(1)由已知及正弦定理得：‎ ‎2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，‎ 即2cos Csin(A＋B)＝sin C.‎ 故2sin Ccos C＝sin C.‎ 可得cos C＝，所以C＝.‎ ‎(2)由已知，absin C＝.‎ 又C＝，所以ab＝6.‎ 由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7.‎ 故a2＋b2＝13，从而＝25.‎ 所以△ABC的周长为5＋.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎