“皖南八校"2020 届高三第二次联考数学（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 的补集，再求交集。
【详解】由题意 ，∴ 。
故选：B。
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。
2.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
由复数除法计算出 ，再由共轭复数定义求出 。
【详解】 ，
∴ 。
故选：B。
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念。属于基础题。
3.某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.2 倍，为了更好地对比该
校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2019 年的高考升学情况，得到如图所示：则下列
结论正确的（ ）
【
{ }2A x x= ≥ { }0 3B x x= ≤ ≤ ( )RA C B =
[2, )+∞ (3, )+∞ [0,3]
( ,2) [2, )−∞ ∪ +∞
B
{ | 0 3}RC B x x x= < >或 ( ) { | 3}RA C B x x= >
1
2
iz i
−= + z =
1 3
5 5 i− 1 3
5 5 i+ 1 3
5 5 i− − 1 3
5 5 i− +
z z
1 (1 )(2 ) 2 2 1 1 3
2 (2 )(2 ) 5 5 5
i i i i iz ii i i
− − − − − −= = = = −+ + −
1 3
5 5z i= +A. 与 2016 年相比，2019 年一本达线人数有所减少
B. 与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了 1 倍
C. 与 2016 年相比，2019 年艺体达线人数相同
D. 与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加
【答案】D
【解析】
【分析】
设 2016 年参考人数为 ，依据表格计算两年的一本达线人数、二本达线人数、艺体达线人数、
不上线的人数，然后比较得出结论。
【详解】设 2016 年参考人数为 ，则
2016 年一本达线人数 ，2019 年一本达线人数 ，A 错；
2016 年二本达线人数 ，2019 年二本达线人数 ，增加了 ，不是
一倍，B 错；
a
a
0.28a 0.24 1.2 0.288a a× = 0.28a>
0.32a 0.4 1.2 0.48a a× = 0.16a2016 年艺体达线人数 ，2019 年艺体达线人数 ，C 错；
2016 年不上线的人数 ，20196 年不上线的人数 ，D 正确。
故选：D。
【点睛】本题考查统计表格的应用，解题关键是读懂表格给出的数据，并能加以应用。
4.已知两个单位向量 满足 ，则 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知模求出 ，再利用向量夹角公式计算。
【详解】∵ 是单位向量，
∴ ， ，
，∴ 。
故选：A。
【点睛】本题考查求向量的夹角，可根据数量积定义由两向量的数量积求出其夹角的余弦，
而求向量的数量积必须利用向量的模与向量数量积的关系转化计算，即 。
5.函数 在 上的图象大致为（ ）
A.
B.
0.08a 0.08 1.2 0.096a a× =
0.32a 0.28 1.2 0.336 0.32a a a× = >
1 2,e e
1 2| 2 | 7e e− =
1 2,e e
2
3
π 3
4
π
3
π
4
π
1 2e e⋅
1 2,e e
2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 22 4 4 1 4 4 7e e e e e e e e− = − ⋅ + = − ⋅ + =
1 2
1
2
⋅ = − e e
1 2
1 2
1 2
1, 2cos e ee e
e e
⋅>= =< −
1 2
2, 3e e
π=< >
2 2
a a=
2
2 sin( ) cos
x xf x x x
= + [ 2 ,2 ]π π−C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先分析奇偶性，可排除两个选项 A、C，然后从特殊值角度研究，计算 和 ，比较
它们绝对值的大小，可得正确选项。
【详解】∵ ，∴ 是偶函数，排除 A、C，
， ，易知 ，B 不符，只有 D 满足。
故选：D。
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可先研究函数的性质，如奇偶性、单
调性、对称性、周期性等，排除一些选项，然后研究函数特殊值、特殊点再排除一些选项，
最后只剩一个正确选项为止。
6.已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8，13.大多数植物的花，其花瓣数按层从
内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花 3 朵，花瓣总数为 99，假设这种"
雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）
层.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
( )2f
π 3( )2f
π
2 2
sin( ) sin( ) ( )( ) cos( ) cos
x x x xf x f xx x x x
− −− = = =− + − + ( )f x
4( )2f
π
π= 3 4( )2 3f
π
π= − 3( ) ( )2 2f f
π π + 1 1( 2) ( )f x f x+ = − 2 2( 2) ( )f x f x+ = − 1 2( ) ( )f x f x− > −
1 2( ) ( )f x f x< ( )f x [ 1,0]−
( )f x ( )f x [0,1] [ 1,1]− (0) 0f =
ln 2 (0,1)a = ∈ 1
21( ) 24b
−= = 1
2
log 2 1c = = − ( ) (2) (0) 0 (0)f b f f f= = − = =
1 0 ln 2− < < ( 1) (0) (ln 2)f f f− < < ( ) ( ) ( )f c f b f a< <
( )f x
( 2) ( )f x f x+ = − ( )f x [ 1,0]−
[ 1,1]−
2F
2 2
: 19 3
x yC − = A B
2 2: ( 2) 1E x y+ + = 2AB AF+A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ， 的 最 小 值 是 ， 转 化 为 求 的 最 小 值 即 为
．
【详解】
双曲线 中 ， ， ， ，圆 半径为 ，
，
∴ ， （当且仅当 共线且
在 间时取等号．
∴ ，当
且仅当 是线段 与双曲线的交点时取等号．
∴ 的最小值是 9．
故选：A．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，常常与定义
联系，双曲线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离，圆外一点到圆上点的
距离的最大值为圆外的点到圆心距离加半径，最小值为圆外的点到圆心距离减半径．
11.关于函数 有下述四个结论：① 的最小值为 ；② 在
上单调递增；③函数 在 上有 3 个零点；④曲线 关于直
线 对称.其中所有正确结论的编号为（ ）
9 8 5 3 6 3
2 1 2AF AF a= + AB AE r− 1AF AE+
1EF
2 2
19 3
x y− = 3a = 3b = 9 3 2 3c = + = 1( 2 3,0)F − E 1r =
(0, 2)E −
2 1 12 6AF AF a AF= + = + 1AB AE BE AE≥ − = − , ,A E B B
,A E
2AB AF+ 1 16 1 5AF AE AF AE≥ + + − = + + 2 2
1 5 (2 3) 2 5 9EF≥ + = + + =
A 1EF
2AB AF+
( ) cos sinf x x x= + ( )f x 2− ( )f x
[ ,2 ]π π ( ) 1y f x= − [ , ]−π π ( )y f x=
x π=A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据各个选项研究函数的性质，如最值，单调性，零点，对称性等．
【 详 解 】 ， ① 错 ； 当 时 ，
，在 上不是单调函数，实际上它在 上递
减，在 递增，②错；当 时， ，函数
无 零 点 ， 当 ， 即 时 ， 注 意 到 是 偶 函 数 ， 研 究 时 ，
， 只 有 ， 因 此 在 时
， 函 数 有 三 个 零 点 ， ③ 正 确 ；
， ∴ 曲 线
关于直线 对称，④正确．
∴正确结论有③④，
故选：D．
【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数的图象和性质，本题的难点在于含有绝对值符号，因
此我们可以通过绝对值定义去掉绝对值符号后研究函数的性质，如
，然后分段研究．
12.已知三棱锥 满足 底面 ，在 中， ， ，
， 是线段 上一点，且 ，球 为三棱锥 的外接球，过
点 作球 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为 ，则球 的表面积为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
( ) cos sin 1f x x x= + ≥ − [ ,2 ]x π π∈
( ) cos sin 2 cos( )4f x x x x
π= − = + [ ,2 ]π π 7[ , ]4
ππ
7[ ,2 ]4
π π cos 0x < ( ) cos sin 1f x x x= + < ( ) 1y f x= −
cos 0x ≥ [ , ]2 2x
π π∈ − ( )f x [0, ]2x
π∈
( ) cos sin 2 sin( )4f x x x x
π= + = + (0) ( ) 12f f
π= = [ , ]2 2x
π π∈ −
(0) ( ) ( ) 12 2f f f
π π= = − = ( ) 1y f x= −
(2 ) cos(2 ) sin(2 ) cos sin cos sin ( )f x x x x x x x f xπ π π− = − + − = + − = + =
( )y f x= x π=
cos sin , [2 ,2 )( ) ,cos sin , [2 ,2 )
x x x k kf x k Zx x x k k
π π π
π π π
+ ∈ += ∈ − ∈ −
P ABC− PA ⊥ ABC ABC∆ 6AB = 8AC =
AB AC⊥ D AC 3AD DC= O P ABC−
D O 40π O
72π 86π 112π 128π【解析】
【分析】
先找到外接球球心，过 的中点 作 ，则 平面 ，取 ，
则 为 外接球球心，过点 作球 的截面，最大的截面过球心，最小的截面是过
且与 垂直的截面，由此可用 表示出两截面圆半径．
【详解】
如图． 是 边中点， 是 边中点，∵ ，∴ 是 外心，作
，∵ 平面 ，∴ 平面 ，∴ ，
取 ，易得 ，∴ 是三棱锥 的外接球的球心。 是 中点，
则 ， ，∴ ，∵ ，∴ ，∴
，设 ，则 ，
，又 ，∴
，
过 且与 垂直的截面圆半径为 ，则 ，这是最小的截面圆半径，
最大的截面圆半径等于球半径 ，∴ ， ，
， 。
故选：C。
【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定三棱锥外接球球心。结论：多面体外接球球
心一定在过各面外心与此面垂直的直线上。
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
的
BC M / /OM PA OM ⊥ ABC 1
2OM PA=
O P ABC− D O D
OD PA
M BC E AC AB AC⊥ M ABC∆
/ /OM PA PA ⊥ ABC OM ⊥ ABC ,OM AM OM MD⊥ ⊥
1
2OM PA= OA OP= O P ABC− E AC
/ /ME AB 1 32ME AB= = ME AC⊥ 3AD DC= 1 24ED AC= =
2 2 2 23 2 13MD ME ED= + = + = 2PA a= OM a=
2 2 2 2 13OD OM MD a= + = + 2 21 1 6 8 52 2AM BC= = + =
2 2 2 2 25OA OM AM a= + = +
D OD r 2 2 2 3r OA OD= − =
OA 2 2 2( 25) 12 40OA r aπ π π π π+ = + + = 2 3a =
2 2 25 28OA a= + = 24 4 28 112S OAπ π π= = × =球13.已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则实数 的值为
_______.
【答案】2
【解析】
【分析】
求导函数。由 可求得 。
【详解】由题意 ， ，由 得 。
故答案为：2。
【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在某点处的导数就是函数图象在该点的导数值。
14.已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】
用基本量法，求出首项 和公比 ，再求 。
【详解】设首项 ，公比 ，易知 ，
∴ ，由于 均为正，∴ ，
∴ 。
故答案 ： 。
【点睛】本题考查等比数列的前 项公式和通项公式，解题方法是基本量法，即由已知首先求
出首项 和公比 ，然后再求通项公式和前 项和公式。
15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、
兑八卦），每一卦由三根线组成（" "表示一根阳线，" "表示一根阴线），从八卦中任
为
( ) ( 1)lnf x ax x= − (1,0) 1y x= − a
(1) 1f ′ = a
1( ) ln axf x a x x
−′ = + (1) 1f a′ = − 1 1a − = 2a =
{ }na n nS 2 2S = 4 10S = 5a =
32
3
1a q 5a
1a q 1q ≠
2 1
4
1
4
4
(1 ) 2
(1 ) 101
S a q
a qS q
= + =
− = = −
na 1
2
3
2
a
q
=
=
4 4
5 1
2 3223 3a a q= = × =
32
3
n
1a q n取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
观察八卦中阴线和阳线的情况为 3 线全为阳线或全为阴线各一个，还有 6 个是 1 阴 2 阳和 1
阳 2 阴各 3 个。抽取的两卦中共 2 阳 4 阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦 2 阳 1 阴，或
两卦全是 1 阳 2 阴。
【详解】八卦中阴线和阳线的情况为 3 线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1 阴 2 阳的 3 个，
1 阳 2 阴的 3 个。抽取的两卦中共 2 阳 4 阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦 2 阳 1 阴，或
两卦全是 1 阳 2 阴。
∴从 8 个卦中任取 2 卦，共有 种可能，两卦中共 2 阳 4 阴的情况有 ，所
求概率为 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们
关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。
16.点 是抛物线 上的两点， 是抛物线 的焦点，若 ，
中点 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为_______.
【答案】
【解析】
分析】【
3
14
2
8 28C = 1 2
3 3 6C C+ =
6 3
28 14P = =
3
14
,A B 2: 2 ( 0)C y px p= > F C 120AFB °∠ =
AB D C d | |
d
AB
3
3过 作 准 线 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 ， 则
，在 中寻找它们的关系，求出比值的最
大值。
【详解】
如图，过 作准线的垂线，垂足分别为 ，则
，
中，
，当且仅当
时取等号。
∴ ，
，即 的最大值为 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查抛物线的定义，在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离或弦中点到
准线的距离，可作出抛物线上点到准线的距离，让它们进行转化，象本题，弦中点到准线距
离最终转化为弦的两顶点到焦点的距离之和，然后在三角形中由余弦定理建立联系。
三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在 中， 分别为角 所对的边，
, ,A B D , ,N P M
1 1( ) ( )2 2d MD AN BP AF BF= = + = + ABF∆
, ,A B D , ,N P M
1 1( ) ( )2 2d MD AN BP AF BF= = + = +
ABF∆ 2 2 2 2 cos120AB AF BF AF BF= + − ° 2 2AF BF AF BF= + +
2 2 2 23( ) ( ) ( ) ( )2 4
AF BFAF BF AF BF AF BF AF BF
+= + − ≥ + − = +
AF BF=
4 2 3
3 3
AF BF
AB
+ ≤ =
| |
d
AB
1 3
2 3
AF BF
AB
+= ⋅ ≤ d
AB
3
3
3
3
ABC∆ , ,a b c , ,A B C cos2 cos2 2sin (C B A− = sin A−.
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 的面积为 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）应用二倍角公式化 为 的形式，然后正弦定理转化为边的关系，
最后由余弦定理求得 ；
（2）由面积公式求得 ，再由余弦定理求得 。
【详解】（1） .
∴ ，
由正弦定理得 ， ， ，∴ 。
（2） ， ，
∴ ，∴ 。
【点睛】本题考查二倍角公式，考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积公式。在解三角
形问题中应用正弦定理、余弦定理时行边角转换，是常用方法。
18.如图（1），在平面四边形 ABCD 中，AC 是 BD 的垂直平分线，垂足为 E，AB 中点为 F，
， ， ，沿 BD 将 折起，使 C 至 位置，如图（2）.
sin )C
B
1c = ABC∆ 3 3
2
b
3
π
31
cos2 ,cos2C B sin ,sinC B
B
a b
2 2cos2 cos2 1 2sin (1 2sin ) 2sin (C B C B A− = − − − = sin A− sin )C
2 2 2sin sin sin sin sinB C A A C− = −
2 2 2b c a bc− = − 2 2 2a c b bc+ − =
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
+ −= =
3B
π=
1 1 3 3sin 1 sin2 2 3 2ABCS ac B a
π
∆ = = × × = 6a =
2 2 2 2 22 cos 6 1 2 6 1 cos 313b a c ac B
π= + − = + − × × × = 31b =
3AC = 2BD = 90BCD °∠ = BCD∆ C′（1）求证： ；
（2）当平面 平面 ABD 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）折叠过程中， 保持不变，又由线面垂直，从而得证线线垂直。
（2）由两平面垂直可得 两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出
各点坐标，求出平面 的法向量，由线面角的向量法求解。
【详解】（1）∵ ，
∴ 平面 ，而 平面 ，
∴ 。
（2）由（1）知 是二面角 平面角，
又平面 平面 ABD，∴ ，即 ，
分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
在四边形 中，∵ ，∴ ， ， ，
∴ ， 是 中点，∴
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
的
AC BD′ ⊥
BC D′ ⊥ AC′ C DF′
4 85
85
,BD CE BD AE⊥ ⊥
, ,EA EB EC′
C DF′
,BD C E BD AE′⊥ ⊥
BD ⊥ AC E′ AC′ ⊂ AC E′
BD AC′⊥
C EA′∠ C BD A′− −
BC D′ ⊥ 90C EA′∠ = ° EC EA′ ⊥
, ,EA ED EC′ , ,x y z
ABCD ,CE BD BE DE⊥ = CB CD= 1 12CE BD= = 2AE =
(0,0,0), (2,0,0), (0,1,0), (0, 1,0), (0,0,1)E A B D C′− F AB 1(1, ,0)2F
( 2,0,1)AC′ = − 3(1, ,0)2DF = (0,1,1)DC′ =
DC F′ ( , , )n x y z=，即 ，则 ， ，
，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 。
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查求直线与平面所成的角，证明线线垂直，要先证线
面垂直；而求直线与平面所成角可建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，这样可以只要
计算，不需要作图与证明。
19.设椭图 的左焦点为 ，右焦点为 ，上顶点为 B，离心率为
， 是坐标原点，且
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知过点 的直线 与椭圆 C 的两交点为 M，N，若 ，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）椭圆中 ，由已知就有 ，解得 ，得椭圆方程；
（2）设出 坐标，由 ，得 ，再由 在椭圆上，联立后可解得 点坐
标，从而求得直线方程。
【详解】（1）由题意 ，又 ，∴ ，
3 02
0
n DF x y
n DC y z
⋅ = + =
⋅ ′ = + =
2y = 3, 2x z= − = − ( 3,2, 2)n = − −
2 2 2 2 2
3 ( 2) 2 0 ( 2) 1cos ,
( 3) 2 ( 2) ( 2) 0 1
n ACn AC
n AC
′⋅ − × − + × + − ×′< >= =
′ − + + − ⋅ − + +
4 85
85
=
AC′ C DF′ 4 85
85
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1F 2F
3
3
O 1 6.OB F B⋅ =
1F l 2 2MF NF⊥ l
2 2
13 2
x y+ = 2 1 0x y+ + = 2 1 0x y− + =
1F B a=
3
3
6
c
a
ba
=
=
,a b
M 2 1MF NF⊥ OM c= M M
1
3
3
6
ce a
OB F B ba
= =
= =
2 2 2a b c= +
3
2
1
a
b
c
=
=
=∴椭圆方程为 ；
（2）由（1） ，
直线 斜率不存在时不合题意，设 方程为 ， ，
由 得 ，
，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ， ，
，整理得 ， ，
∴直线 的方程为 ，即 或 。
【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题。考查运算求解能力。在直线与椭
圆相交问题中常常采用“设而不求”思想方法，即设直线方程，设交点坐标为
，由直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后可得 ，然后把
代入题中的条件（如本题中 ），求得参数值或证明出相应的结论。
20.已知函数 ， 为 的导函数，证明：
（1） 在区间 上存在唯一极大值点；
（2） 在区间 上有且仅有一个零点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数 ，设 ，再求 ，由 的单调性及零点存在定理
2 2
13 2
x y+ =
1 2( 1,0), (1,0)F F−
l l ( 1)y k x= + 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y
2 2
( 1)
13 2
y k x
x y
= + + =
2 2 2 2(3 2) 6 3 6 0k x k x k+ + + − =
2 2
1 2 1 22 2
6 3 6,3 2 3 2
k kx x x xk k
−+ = − =+ +
2 2MF NF⊥
2 2 0F M F N⋅ =
1 2 1 2( 1)( 1) 0x x y y− − + =
2
1 2 1 2( 1)( 1) ( 1)( 1) 0x x k x x− − + + + = 2 2 2
1 2 1 2(1 ) ( 1)( ) 1 0k x x k x x k+ + − + + + =
2 2
2 2 2
2 2
3 6 6(1 ) ( 1) ( ) 1 03 2 3 2
k kk k kk k
−+ ⋅ + − ⋅ − + + =+ +
28 4k = 2
2k = ±
l 2 ( 1)2y x= ± + 2 1 0x y+ + = 2 1 0x y− + =
1 1 2 2( , ),( , )x y x y 1 2 1 2,x x x x+
1 2 1 2,x x x x+ 2 2MF NF⊥
1( ) 4cos( )2 3
xf x x e
π= − − ( )f x′ ( )f x
( )f x′ [ ,0]π−
( )f x [ ,0]π−
'( )f x ( ) '( )g x f x= '( )g x '( )g x说明 在 上有唯一零点，这就是 的唯一极大值点．
（2）由（1） 在 上有唯一极大值点，又计算 和 ，说明
在 上恒成立，即 是 上的增函数，结合零点存在定理可得结论．
【详解】（1） ，设 ，
则 ，
当 时， ， 递增，又 是增函数，
∴ 在 是单调递减．
， ，
∴存在唯一的 ，使得 ，且当 时， ， 递增，
时， ， 递减，∴ 是 的极大值点，也是唯一极大值点．
即 是 上的 的唯一极大值点．
（2）由（1） ， ，∴ 时， ，
∴ 在 上单调递增．
， ，
∴ 在 上存在零点也是唯一零点．
【点睛】本题考查导数与极值，考查零点存在定理．解题时导数说明函数的单调性，由零点
存在定理说明零点存在，这样就是唯一的零点．
21.11 月，2019 全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙
两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在
同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有 1 人命中，命中者得 1 分，未命中者得-1 分；两
'( )g x [ ,0]π− ( )g x
'( )f x [ ,0]π− '( )f π− '(0)f '( ) 0f x >
[ ,0]π− ( )f x [ ,0]π−
1'( ) 2sin( )2 3
xf x x e
π= − − − 1( ) 2sin( )2 3
xg x x e
π= − − −
1'( ) cos( )2 3
xg x x e
π= − − −
[ ,0]x π∈ − 5 1
6 2 3 3x
π π π− ≤ − ≤ − 1cos( )2 3y x
π= − xy e=
1'( ) cos( )2 3
xg x x e
π= − − − [ ,0]π−
3 1'( ) 02g eππ− = − > 3'(0) 02g = − <
0 ( ,0)x π∈ − 0'( ) 0g x = 0[ , )x xπ∈ − '( ) 0g x > ( )g x
0( ,0]x x∈ )'( 0g x < ( )g x 0x ( )g x
0x [ ,0]π− '( )f x
1'( ) 1 0f eππ− = − > '(0) 3 1 0f = − > [ ,0]x π∈ − '( ) 0f x >
( )f x [ ,0]π−
1( ) 2 3 0f eππ− = − − < (0) 1 0= >f
( )f x [ ,0]π−人都命中或都未命中，两人均得 0 分，设甲每次投球命中的概率为 ，乙每次投球命中的概
率为 ，且各次投球互不影响.
（1）经过 1 轮投球，记甲的得分为 ，求 的分布列；
（2）若经过 轮投球，用 表示经过第 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.
①求 ；
②规定 ，经过计算机计算可估计得 ，请根据①中
的值分别写出 a，c 关于 b 的表达式，并由此求出数列 的通项公式.
【答案】（1）分布列见解析；（2）① ；② ，
.
【解析】
【分析】
（1）经过 1 轮投球，甲的得分 的取值为 ，记一轮投球，甲投中为事件 ，乙投中
为事件 ， 相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得 ，由两轮的得分可计算出 ，计算 时可先计算出经过 2 轮后甲的得分
的分布列（ 的取值为 ），然后结合 的分布列和 的分布可计算 ，
由 ，代入 ，得两个方程，解得 ，从而得到数列
的递推式，变形后得 是等比数列，由等比数列通项公式得 ，然后用累加
法可求得 ．
【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件 ，乙命中为事件 ， 相互独立，由题意
， ，甲的得分 的取值为 ，
，
1
2
2
3
X X
n ip i
, ,p p p1 2 3
0 0p = 1 1( 1)i i i ip ap bp cp b+ −= + + ≠
, ,p p p1 2 3 { }np
1 2 3
1 7 43, ,6 36 216p p p= = = 1 1
6 1
7 7i iip p p+ −= +
1 115 6n np = −
X 1,0,1− A
B ,A B
1p 2p 3p Y
Y 2, 1,0,1,2− − X Y 3p
0 0p = 1 1( 1)i i i ip ap bp cp b+ −= + + ≠ ,a c { }np
1{ }n np p −− 1n np p −−
np
A B ,A B
1( ) 2P A = 2( ) 3P B = X 1,0,1−
( 1) ( )P X P AB= − = 1 2 1( ) ( ) (1 )2 3 3P A P B= = − × =，
，
∴ 的分布列为：
－1 0 1
（2）由（1） ，
，
同理，经过 2 轮投球，甲的得分 取值 ：
记 ， ， ，则
， ， ， ，
由此得甲的得分 的分布列为：
－2 －1 0 1 2
∴ ，
∵ ， ，
( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P X P AB P AB P A P B P A P B= = + = + 1 2 1 2 1(1 ) (1 )2 3 2 3 2
= × + − × − =
1 2 1( 1) ( ) ( ) ( ) (1 )2 3 6P X P AB P A P B= = = = × − =
X
X
P 1
3
1
2
1
6
1
1
6p =
2 ( 0) ( 1) ( 1)( ( 0) ( 1))p P X P X P X P X P X= = ⋅ = + = = + = 1 1 1 1 1 7( )2 6 6 2 6 36
= × + × + =
Y 2, 1,0,1,2− −
( 1)P X x= − = ( 0)P X y= = ( 1)P X z= =
2( 2)P Y x= − = ( 1)P Y xy yx= − = + 2( 0)P Y xz zx y= = + + ( 1)P Y yz zy= = +
2( 2)P Y z= =
Y
Y
P 1
9
1
3
13
36
1
6
1
36
3
1 1 1 1 1 1 13 1 1 43( ) ( )3 36 2 6 36 6 36 6 36 216p = × + × + + × + + =
1 1( 1)i i i ip ap bp cp b+ −= + + ≠ 0 0p =∴ ， ，∴ ，
代入 得： ，
∴ ，
∴数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列
的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经
过 2 轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概
率公式计算出概率．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 铅笔在答题卡上把所选题目的
题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指
定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）设直线 与 轴的交点为 A，与 y 轴的交点为 B，P 是曲线 C 上一点，求 面积的最
大值.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
1 2 1
2 3 2 1
p ap bp
p ap bp cp
= +
= + +
7 1 1
36 6 6
43 7 1 7
216 36 6 36
a b
a b c
+ =
+ + =
6(1 )
7
1
7
ba
bc
− = − =
1 1( 1)i i i ip ap bp cp b+ −= + + ≠ 1 1
6 1
7 7i iip p p+ −= +
1 1
1 ( )6i i i ip p p p+ −− = −
1{ }n np p −− 1
6q = 1 0
1
6p p− =
1
1( )6
n
n np p −− =
1 1 2 1 0( ) ( ) ( )n n n n np p p p p p p− − −= − + − + + − 11 1 1 1 1( ) ( ) (1 )6 6 6 5 6
n n
n
−= + + + = −
2B
xOy C
2 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
α O x
l cos( ) 14
πρ θ − =
C l
l x PAB∆
( )2 22 1x y− + = 2x y+ = 2【分析】
（1）用消参数法可得曲线 的普通方程，由公式 可化极坐标方程为直角坐标方
程；
（2）求出 两点坐标，得 ， 到直线 的距离的最大值等于圆心到直线 的距离加上
圆的半径，由此可得 面积最大值．
【详解】（1）由 得 ，这是曲线 的普通方程，
由 得 ，∴ ，即 ．
（2）由（1）知直线 与坐标轴的交点为 ， ，
圆 方程为 ，圆心为 ，半径为 ，点 在圆 上，
圆心 到直线 的距离为 ，
到直线 的距离的最大值为 ，又 ，
∴ ．
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参
数方程用消参数法可化为普通方程，利用公式 可进行极坐标方程与直角坐标方程
的互化．
选修 4-5：不等式选讲
23.已知 ， 证明：
（1） ；
（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
C
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
,A B AB P l l
ABP∆
2 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
2 2( 2) 1x y− + = C
cos( ) 14
πρ θ − = 2 2cos sin 12 2
ρ θ ρ θ+ = 2 2 12 2x y+ = 2x y+ =
l ( 2,0)A (0, 2)B
C 2 2( 2) 1x y− + = (2,0)C 1r = P C
C l 2 0 2
2 1
2
d
+ −
= = −
P AB 2h d r= + = 2AB =
max
1( ) 2 2 22ABPS∆ = × × =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
0, 0a b> > 2 3.a b+ =
2 2 9
5a b+ ≥
3 3 814 .16a b ab+ ≤【分析】
（1）利用 的几何意义证明， 表示点 到原点 的距离的平方，距离的
最小值是原点到直线 的距离，由此可证；
（2）先求出 的范围，然后 可化为关于 的二次函数形式，再由二次函数的性
质可得最大值，从而证明结论．
【详解】证明：（1） 表示点 到原点 的距离的平方，而原点到直线
的距离为 ，∴ ；
（2）∵ ，∴ ， ，
，易知 时， 取得最大值 ．
∴ ．
【点睛】本题考查不等式的证明，证明方法与一般证明不等式的方法不同，第（1）小题利用
二次式的几何意义，表示两点距离的平方，由此得证法，第（2）小题由已知条件变形后代数
式化为关于 的二次函数，由二次函数性质证明．这两种方法具有一定的局限性，注意体
会．
2 2a b+ 2 2a b+ ( , )P A b O
2 3a b+ =
ab 3 34a b ab+ ab
2 2a b+ ( , )P A b O 2 3a b+ =
2 2
3 3
51 2
d
−= =
+
2 2 2 9
5a b d+ ≥ =
0, 0a b> > 3 2 2 2a b ab= + ≥ 90 8ab< ≤
3 3 2 2 2 24 ( 4 ) [( 2 ) 4 ] (9 4 ) 9 4( )a b ab ab a b ab a b ab ab ab ab ab+ = + = + − = − = −
29 814( )8 16ab= − − + 9
8ab = 29 814( )8 16ab− − + 81
16
3 3 814 16a b ab+ ≤
ab
微信/支付宝扫码支付