安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学（文科）试题（Word版有解析）.doc

“皖南八校”2019 届高三第三次联考 数学（文科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求得集合 ，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合 ，又由 ， 所以 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合 A，再利用集合的交集运 算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 2.已知复数 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则，求得 ，再根据复数模的计算公式，即可求解． 【详解】由题意复数 ，则 ，所以 ，故选 D． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则， 合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3.从某地区年龄在 25～55 岁的人员中，随机抽出 100 人，了解他们对今年两会的热点问题的 { | 1 0}A x x= + > { 1,0,1}B = − A B = {1} { }1− {0,1} { 1,0}− { | 1 0} { | 1}A x x x x= + > = > − { | 1 0} { | 1}A x x x x= + > = > − { 1,0,1}B = − {0,1}A B = 1 1 iz i += − i z+ = 2 2 2 1 ii z i ++ = − 1 1 iz i += − 21 2 2 1 1 i i i ii z i i + + − ++ = =− − 2 2 2 2 i z+ = =看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 抽出的 100 人中，年龄在 40～45 岁的人数大约为 20 B. 抽出的 100 人中，年龄在 35～45 岁的人数大约为 30 C. 抽出的 100 人中，年龄在 40～50 岁的人数大约为 40 D. 抽出的 100 人中，年龄在 35～50 岁的人数大约为 50 【答案】A 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图的性质，求得 ，再逐项求解选项，即可得到答案． 【详解】根据频率分布直方图的性质得 ，解得 所以抽出的 100 人中，年龄在 40～45 岁的人数大约为 人，所以 A 正确； 年龄在 35～45 岁的人数大约为 人，所以 B 不正确； 年龄在 40～50 岁的人数大约为 人，所以 C 不正确； 年龄在 35～50 岁的人数大约为 ，所以 D 不正确； 故选 A． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质， 以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于 基础题． 4.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 0.04a = (0.01 0.05 0.06 0.02 0.02) 5 1a+ + + + + × = 0.04a = 0.04 5 100 20× × = (0.06 0.04) 5 100 50+ × × = (0.04 0.02) 5 100 30+ × × = (0.06 0.04 0.02) 5 100 60+ + × × = x y 2 4 0 1 0 2 2 0 x y x y x y − + ≥  + + ≥  + − ≤ 3z x y= +【答案】D 【解析】 【分析】 作出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解，即可求解目标函数的最 大值，得到答案. 【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 目标函数 ，可化为直线 ，当 经过点 A 时，直线在 y 轴上 的截距最大，此时目标函数取得最大值， 又由 ，解得 ，即 ， 所以目标函数的的最大值为 ，故选 D. 【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式 组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考 查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 5.已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两角和的正切公式，求得 ，再由正切的倍角公式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据两角和的正切公式，得 ，解得 ， 3z x y= + 3y x z= − + 3y x z= − + 1 0 2 2 0 x y x y + + =  + − = 3, 4x y= = − (3, 4)A − 3 3 4 5z = × − = tan 74 πα + =   tan2α = 7 24 24 7 7 24 − 24 7 − 3tan 4 α = tan 1tan( ) 74 1 tan π αα α ++ = =− 3tan 4 α =又由正切的倍角公式，得 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用两角和的正切和正 切的倍角公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 6.函数 f（x）= 的大数图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数 是奇函数，图象关于原点对称，排除 C、D 项；再由当 时，函数 值小于 0，排除 B，即可得到答案. 【详解】由题知，函数 满足 ，所以函数 是奇函数，图象关于原点对称，排除 C、D 项； 又由当 时，函数 的值小于 0，排除 B，故选 A. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值 范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块 的 2 2 322tan 244tan 2 31 tan 71 ( )4 αα α × = = =− − 33 4 4x x − ( )f x ( )0,1x∈ ( )f x ( )f x ( )3 33( ) 3( ) 4 4 4 4x x x xf x f x− −− = = − = − − − ( )f x ( )0,1x∈ ( )f x正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图， 其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂， 故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自 阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案. 【详解】设正方形的边长为 4，则正方形的面积为 ， 此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为 ，下底边长为 ，高为 ， 所以阴影部分的面积为 ， 根据几何概型，可得概率为 ，故选 A. 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量 ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量 ”，然后根 据 求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 5 16 11 32 3 8 13 32 4 4 16S = × = 2 2 3 2 2 1 1 (2 2 3 2) 2 52S = × + × = 1 5 16 SP S = = ( )N A N ( )N AP N=A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为 ，母线 长为 ，圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，再由体积公式求解，即可得到答案. 【详解】由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为 ，母线长为 ，圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ， 所以几何体的体积为： ，故选 D. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形 状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在 三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定 直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 9.在正方体 中，若点 为正方形 的中心，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设 ，则 ， 则向量 ， 464 3 π− 64 12π− 12π 44 3 π 2R = 4l = 1r = 4h = 2R = 4l = 1r = 4h = 2 21 3V R l r hπ π= − = 2 21 442 4 1 43 3 π π π× × − × × = 1 1 1 1ABCD A B C D− M ABCD 1AB 1D M 6 6 3 3 3 6 2 2 3 2AB = 1 1(2,0,0), (2,2,2), (0,0,2), (1,1,0)A B D M 1 1(0,2,2), (1,1, 2)AB D M= = − 则向量 与 的夹角为 , 即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中建立适当的空间 直角坐标系，合理利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属 于基础题. 10.已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，以 为直径的圆与直线 相切，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由圆 与直线 相切，利用圆心到直线的距离等于半径和离心率的定 义，即 ，整理 ，即可求解. 【详解】由题意，以 为直径的圆的方程为 ，其中圆心 ，半径为 ， 又由圆 与直线 相切， 1AB 1D M 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 3cos 62 2 1 1 ( 2) AB D M AB D M θ ⋅ −= = = ⋅ + ⋅ + + −     1AB 1D M 3 6 1F 2F C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2F F 2 2 2x y a b + = C 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2x y c+ = 2 2 2x y a b + = 2 2 2b a c= − 4 22 3 2 0e e− − = 1 2,F F 2 2 2x y c+ = (0,0)O r c= 2 2 2x y c+ = 2 2 2x y a b + =则圆心 到直线 的距离为 ， 又由 ，整理得 ，即 ， 即 ，解的 ， 又由 ，所以 ，故选 D. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离 心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求 出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐 次式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)． 11.已知函数 ，则满足 的实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式 ，转化为相应的不等 式组，即可求解. 【详解】由题意，函数 ，可得当 时， ，当 时， 函数 在 单调递增，且 ， 要使得 ，则 ，解得 ， 即不等式 的解集为 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中根据函数的解析式，得出函数单调性， 合理利用函数的单调性，得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能 (0,0)O 2 2 2 0bx ay ab+ − = 2 2 2 4 2 abd c b a = = + 2 2 2b a c= − 4 2 2 42 3 2 0c a c a− − = 4 22( ) 3( ) 2 0c c a a − − = 4 22 3 2 0e e− − = 2 1 2e = 0 1e< < 2 2e = ,a c ce a = , ,a b c ,a c e e e 2log ( 1), 1( ) 1, 1 x xf x x + ≥=  (2 1) (3 2)f x f x+ < − (3, )+∞力，属于中档试题. 12.已知函数 ，若对任意的 ，关于 的方程 总有两个不同的实数根，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 令 ，且 ，解得 ，根据 且 ，结合图象， 即可求解． 【详解】由题意，函数 ，令 ，且 ， 即 ，解得 ， 又因为 ，且 ， 所以要使得 总有两个不同实数根时， 即函数 与 的图象由两个不同的交点， 结合图象，可得 ， 所以实数 m 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数 的性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题 ( ) 2sin(2 )6f x x π= + (1,2)a∈ x ( ) 0(0 )f x a x m− = ≤ < m 2,2 3 π π     ,3 2 π π     2,2 3 π π     ,6 3 π π     ( ) 1f x = 0x ≥ 20, , , ,3 2 3x π π π=  1 2a< < ( ) 2f x ≤ ( ) 2sin 2 6f x x π = +   ( ) 1f x = 0x ≥ 2sin 2 6x π + =   ±1 20, , , ,3 2 3x π π π=  1 2a< < ( ) 2f x ≤ ( ) 0f x a− = ( )y f x= 1 2( )y a a= < < 3 2m π π≤ ≤ ,3 2m π π ∈  的能力，属于中档试题 ． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若平面向量 ， ，且 ，则 __________． 【答案】5 【解析】 【分析】 由 ，则 ，可得所以 ，即可求解. 【详解】由题意，平面向量 ， ，且 ，则 ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公 式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 14.已知 是函数 的一个极值点，则曲线 在点 处的 切线斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由 是函数 的一个极值点，求得 ，进而求得 ，根 据导数的几何意义，即可得到答案. 【详解】由题意，函数 ，则 ， 又由 是函数 的一个极值点， 所以 ，解得 ，即 ， 所以 ，所以函数 在点 处切线的斜率为 . 【点睛】本题主要考查了利用函数的极值点求参数，以及导数的几何意义的应用，其中解答 中熟记函数的极值点的定义，合理利用导数导数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了 运算与求解能力，属于基础题. (1,2)a = ( ,3)b x= a b⊥  ( )a a b⋅ − =   a b⊥  0a b⋅ =  2 2 ( )a a b a a b a⋅ − = − ⋅ =       (1,2)a = ( ,3)b x= a b⊥  0a b⋅ =  22 2 2 2( ) ( 1 2 ) 5a a b a a b a⋅ − = − ⋅ = = + =       1x = 2( ) ( ) xf x x ax e= + ( )y f x= (0, (0))f 3 2 − 1x = 2( ) ( ) xf x x ax e= + 3 2a = − 3'(0) 2f = − 2( ) ( ) xf x x ax e= + 2'( ) ( 2 ) xf x x ax x a e= + + + 1x = 2( ) ( ) xf x x ax e= + '(1) (3 2 ) 0f a e= + = 3 2a = − 2 1 3'( ) ( )2 2 xf x x x e= + − 3'(0) 2f = − ( )f x (0, (0))f 3 2 −15.已知 是双曲线 上一点， 、 是左、右焦点， 的三边长成等 差数列，且 ，则双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 设 ，不妨设点 P 位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定义，列出发方 程组，求得 ，进而求得 ，即可求得渐近线的方程. 【详解】由题意，设 ，不妨设点 P 位于第一象限， 则由已知条件和双曲线的定义，可得 且 且 ， 整理得 ， 解得 ，又由 ，即 ， 所以双曲线的渐近线的方程为 . 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的定义和几 何性质，列出方程组求得 的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， 且 ， ，则 的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由正弦定理化简得 ，进而得到 ，再由余弦定理得到关于 的方程，求得 的值，进而利用面积公式，即可求解． 【详解】由题意，可知 ， 由正弦定理得 ，即 ， 又由在 中， ,则 ， P 2 2 2 1( 0)yx bb − = > 1F 2F 1 2PF F∆ 1 2 90F PF∠ = ° 2 6y x= ± 1 2,PF m PF n= = 5c = 2 6b = 1 2,PF m PF n= = 2m n− = ( )22 2 2m n c+ = 2 2n c m+ = 2 6 5 0c c− + = 5c = 2 2 2 24b c a= − = 2 6b = 2 6by x xa = ± = ± c ABC∆ A B C a b c cos cos 2 cosb C c B a B+ = 2a = 3b = ABC∆ 3 3 2 2 + ( )sin 2sin cosB C A B+ = 1cos 2B = c c cos cos 2 cosb C c B a B+ = sin cos sin cos 2sin cosB C C B A B+ = ( )sin 2sin cosB C A B+ = ABC∆ ( )A B Cπ= − + sin sin[ ( )] sin( )A B C B Cπ= − + = +即 ，又由 ，则 ，所以 ， 由余弦定理得 ，即 ， 整理得 ，解得 ， 所以 的面积为 . 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式， 余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正 弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础 题． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.各项均为整数的等差数列 ，其前 项和为 ，已知 ，且 ， ， 成等比 数列. （1）求 的通项公式； （2）已知数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）设 的公差为 ，利用等差数列的通项公式，求得 ，即可得出数列的通项公式； （2）由（1）得 ，再利用等比数列的求和公式，即可求解． 【详解】（1）设 的公差为 ，由题意知 . ∵ ，∴ ，解得 或 . 又 各项为整数，∴ . 所以数列的通项公式 . sin 2sin cosA A B= (0, )A π∈ sin 0A > 1cos 2B = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 29 4 2c c= + − 2 2 5 0c c− − = 1 6c = + ABC∆ 1 1 3 3 3 2sin 2 (1 6)2 2 2 2S ac B += = × × + × = { }na n nS 1 1a = 2a 5a 5 2S + { }na { }nb 2 na nb = { }nb n nT 2 1na n= − 2 (4 1)3 n nT = − { }na d 2d = 2 1 12 2 42 na n n nb −= = = ⋅ { }na d ( )2 5 5 22a S a= + 1 1a = ( ) ( )( )21 4 1 7 10d d d+ = + + 2d = 1 2d = − { }na 2d = 2 1na n= −（2）由题意， ，故 为等比数列，首项为 2，公比为 4， 则其前 项和 . 【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项 公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等 比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性 质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧 用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 18.如图，在四棱锥 中， 平面 ，点 为 中点，底面 为梯 形， ， ， . （1）证明： 平面 ； （2）若四棱锥 的体积为 4，求点 到平面 的距离. 【答案】（1）详见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）取 中点 ，连接 ， ，根据平行四边形的性质，证得 ，再利用线 面平行的判定定理，即可证得 平面 . （2）设 ，利用四棱锥 的体积，求得 ，又由 平面 知， 点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离,过 作 ，证得 平面 ，即可求得答案． 【详解】（1）如图所示，取 中点 ，连接 ， ， ∵ 是 中点，∴ ， ， 又 ， ，∴ ， ， 2 1 12 2 42 na n n nb −= = = ⋅ { }nb n ( ) ( ) ( )1 1 2 1 4 2 4 11 1 4 3 n n n n b q T q − − = = = −− − P ABCD− PC ⊥ ABCD M PB ABCD / /AB CD AD CD⊥ 1 2AD CD PC AB= = = / /CM PAD P ABCD− M PAD 2 PA E DE ME / /DE CM / /CM PAD AD x= P ABCD− 2x = / /CM PAD M PAD C PAD C CF PD⊥ CF ⊥ PAD PA E DE ME M PB / /ME AB 1 2ME AB= / /AB CD 1 2CD AB= / /ME CD ME CD=∴四边形 为平行四边形，∴ . ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 . （2）设 ，则 ， ， 由 是直角梯形， 平面 知， 则四棱锥 的体积为 ，解得 ， 由 平面 知，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离, 过 作 ，垂足为 ， 由 平面 ，得 ， 又 ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴ ，∴ 平面 . 由 ， 知 ， ∴ 到平面 的距离为 . 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及点到平面的距离公式的求解，其中解 答中熟记线面平行与垂直的判定与证明，以及合理转化点到平面的距离是解答的关键，着重 考查了推理与论证能力，以及运算与求解能力，属于基础题． 19.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚 决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单 位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比， 其质量按测试指标可划分为：指标在区间 的为优等品；指标在区间 的为合格 品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取 100 件作为样本进行 检测，测试指标结果的频数分布表如下： 甲种生产方式： CDEM / /DE CM DE ⊂ PAD CM ⊄ PAD / /CM PAD AD x= CD PC x= = 2AB x= ABCD PC ⊥ ABCD P ABCD− ( ) 21 1 2 43 2 x x x× + = 2x = / /CM PAD M PAD C PAD C CF PD⊥ F PC ⊥ ABCD PC AD⊥ AD CD⊥ AD ⊥ PCD CF ⊂ PCD AD CF⊥ CF ⊥ PAD 2PC CD= = PC CD⊥ 2CF = M PAD 2 [80,100] [60,80)指标区间 频数 5 15 20 30 15 15 乙种生产方式： 指标区间 频数 5 15 20 30 20 10 （1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出 5 件产品， ①求这 5 件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这 5 件产品中，随机抽出 2 件，求这 2 件中恰有 1 件是优等品的概率； （2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售 55 元，若是合格品每件可售 25 元.甲种生 产方式每生产一件产品的成本为 15 元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为 20 元.用样本 估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫 村来脱贫？ 【答案】（1）①优等品 3 件，合格品 2 件；② ；（2）选择乙生产方式. 【解析】 【分析】 （1）①根据频数分布表知：甲的优等品率为 0.6，合格品率为 0.4，即可得到抽去的件数； ②记 3 件优等品为 ， ， ，2 件合格品分别为 ， ，从中随机抽 2 件，列举出基本事件 的总数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解； （2）分别计算出甲、乙种生产方式每生产 100 件所获得的利润为 元 元，比较即可得到结 论． 【详解】（1）①由频数分布表知：甲的优等品率为 0.6，合格品率为 0.4，所以抽出的 5 件产 品中，优等品 3 件，合格品 2 件. ②记 3 件优等品为 ， ， ，2 件合格品分别为 ， ，从中随机抽 2 件，抽取方式有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种， 设“这 2 件中恰有 1 件是优等品的事件”为 ，则事件 发生的情况有 6 种， [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95] [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 3 5 A B C a b 1T 2T A B C a b AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab M M所以 . （2）根据样本知甲种生产方式生产 100 件农产品有 60 件优等品，40 件合格品；乙种生产方 式生产 100 件农产品有 80 件优等品，20 件合格品. 设甲种生产方式每生产 100 件所获得的利润为 元， 乙种生产方式每生产 100 件所获得的利润为 元， 可得 （元）， （元）， 由于 ，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶贫单 位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村来脱贫较好. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方表与频率分布直方图的应用，其中解答中熟记在频率 分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，且所有小长方形的面积的和等于 1， 合理利用古典概型及其概率的计算公式求解概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答 问题的能力，属于基础题． 20.在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： ，过抛物线焦点 且与 轴垂 直的直线与抛物线相交于 、 两点，且 的周长为 . （1）求抛物线 的方程； （2）若过焦点 且斜率为 1 的直线 与抛物线 相交于 、 两点，过点 、 分别作 抛物线 的切线 、 ，切线 与 相交于点 ，求： 的值. 【答案】（1） ；（2）0. 【解析】 【分析】 （1）将 代入抛物线 的方程可得点 、 的坐标分别为 、 ，进而利 用三角形的周长为 ，列出方程，求得 ，即可得到抛物线的方程； （2）将直线 方程为 与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系，得到直线 的 ( ) 6 3 10 5P M = = 1T 2T ( ) ( )1 60 55 15 40 25 15 2800T = − + − = ( ) ( )2 80 55 20 20 25 20 2900T = − + − = 1 2T T< xOy C 2 2 ( 0)x py p= > F y A B OAB∆ 2 5+ C F l C M N M N C 1l 2l 1l 2l P 2PF MF NF− ⋅ 2 2x y= 2 py = C A B , 2 pp −   , 2 pp     2 5+ 1p = l 1 2y x= + 1 2,l l方程，进而得到点 的坐标为 ，再利用抛物线的几何性质，即可作出证明． 【详解】（1）由题意知，焦点 的坐标为 ， 将 代入抛物线 的方程可求得 ，解得 ， 即点 、 的坐标分别为 、 ， 又由 ， ， 可得 的周长为 ，即 ，解得 ， 故抛物线 的方程为 . （2）由（1）得 ，直线 方程为 ， 联立方程 消去 整理为： ，则 ， 所以 ， . 又因为 ，则 ， ∴可得直线 的方程为 ，整理为 . 同理直线 的方程为 . 联立方程 ，解得 ，则点 的坐标为 . 由抛物线的几何性质知 ， ， . P 11, 2  −   F 0, 2 p     2 py = C 2 2x p= x p= ± A B , 2 pp −   , 2 pp     2AB p= 2 2 5 2 2 pOA OB p p = = + =   OAB∆ 2 5p p+ 2 5 2 5p p+ = + 1p = C 2 2x y= 10, 2F      l 1 2y x= + 2 1 2 1 2 y x y x  = +  = y 2 2 1 0x x− − = 1 2 1 22, 1x x x x+ = = − 1 2 1 2 1 3y y x x+ = + + = 2 2 1 2 1 2 1 1 4 4y y x x= = 21 2y x= 2 1 1 1 2y x= 1l ( )2 1 1 1 1 2y x x x x− = − 2 1 1 1 2y x x x= − 2l 2 2 2 1 2y x x x= − 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 y x x x y x x x  = −  = − 1 2 1 2 2 2 x xx x xy + =  = P 11, 2  −   1 1 2MF y= + 1 1 2NF y= + ( ) 2 2 1 11 0 22 2PF  = − + − − =  有 . ∴ . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题, 解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程 根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好 的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 对 恒成立，求 取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）求得函数的导函数 ，分类讨论即可求解函数的单调性， 得到答案； （2）由题意 ，即 ，当 时，转化为 ， 令 ， ，利用导数求得函数 的单调性与最值，即可得到结论． 【详解】（1）由题意，函数 ， 可得 ， 当 时， ， 单调减区间为 ，没有增区间. 当 时，当 ， ；当 或 ， . ∴ 单调增区间为 与 ，单调减区间 . 当 时， 对 成立， 单调增区间 ，没有减区间. 的 为 ( )1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 4MF NF y y y y y y  = + + = + + +     1 3 1 24 2 4 = + + = 2 0PF MF NF− ⋅ = 2 21( ) ln ( 1) ( )2f x a x a x ax a R= − + + ∈ ( )f x ( ) 0f x x+ > 1x > a 1(0, ]2 ( ) ( )( )1' ( 0)ax x af x xx − −= > ( ) 0f x x+ > 2 21ln 02a x a x ax− + > 0a > ln 1 2 xa xx < + ( ) ln 1 2 xg x xx = + 1x ≥ ( )g x ( ) ( )2 21ln 1 2f x a x a x ax= − + + ( ) ( )( )2 1' 1 ( 0)ax x aaf x a ax xx x − −= − − + = > 0a ≤ ( )' 0f x < ( )f x ( )0,+∞ 0 1a< < 1a x a < < ( )' 0f x < 0 x a< < 1x a > ( )' 0f x > ( )f x ( )0,a 1 ,a  +∞   1,a a      1a = ( )' 0f x ≥ 0x > ( )f x ( )0,+∞当 时，当 ， ；当 或 时， . ∴ 的单调增区间为 与 ，单调减区间为 . （2）由 ，即 ， 当 时， ， ， 令 ， ，则 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 是增函数， ，∴ . ∴ 时， 是增函数， 最小值为 ，∴ . 当 时，显然 不成立， 当 时，由 最小值为 知， 不成立， 综上 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化 与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研 究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可 分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按 所做的第一题计分. 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以直角坐标系的 原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程； （2）若 与曲线 交于 ， 两点，求以 为直径的圆的极坐标方程. 1a > 1 x aa < < ( )' 0f x < 10 x a < < x a> ( )' 0f x > ( )f x 10, a      ( ),a +∞ 1 ,aa      ( ) 0f x x+ > 2 21ln 02a x a x ax− + > 0a > 21ln 02x ax x− + > ln 1 2 xa xx < + ( ) ln 1 2 xg x xx = + 1x ≥ ( ) 2 2 2 1 ln 1 2 2ln' 2 2 x x xg x x x − − += + = ( ) 22 2lnh x x x= − + ( ) 2' 2h x x x = − 1x ≥ ( )' 0h x ≥ ( )h x ( ) ( )1 3 0h x h≥ = > ( )' 0g x > 1x ≥ ( )g x ( )g x ( ) 11 2g = 10 2a< ≤ 0a = ( ) 0f x x+ > 0a < ( )g x 1 2 ( )a g x> a 10, 2      xOy C 2cos sin x y α α =  = α x l (cos 2sin ) 2ρ θ θ+ = C l C A B AB【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用同角三角函数的基本关系，消去参数，即可得到曲线 的普通方程； （2）将直线的极坐标方程化为 ，联立方程组，求得 ， ，得到 为直径的圆的直角坐标方程，进而可得圆的极坐标方程． 【详解】（1）由 （ 为参数），得 （ 为参数）， 故曲线 普通方程为 . （2）由 ，得 ， 联立 ，得 ， ，可得 中点坐标为 ，且 ， 故以 为直径的圆的直角坐标方程为 . 即 ， 将 ， 代入得 . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，其 中熟记参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及确定以 AB 为 直径的圆的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 23.已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 恰有 3 个整数解，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 的 2 2 14 x y+ = 2cos sinρ θ θ= + C 2 2x y+ = ( )2,0A ( )0,1B AB 2x cos y sin α α =  = α 2 x cos y sin α α  =  = α C 2 2 14 x y+ = ( )cos 2sin 2ρ θ θ+ = 2 2x y+ = 2 2 14 2 2 x y x y  + =  + = ( )2,0A ( )0,1B AB 11, 2      5AB = AB ( ) 2 2 1 51 2 4x y − + − =   2 2 2 0x y x y+ − − = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2cos sinρ θ θ= + ( ) 3 2 2 3f x x x= − − − ( )f x x> x 2( ) 2f x a a< + a 1 5( , ) ( , )2 4 −∞ − +∞ 1 1[ 1, ) (0, ]2 2 − − 分析】 （1）由题意，分类讨论，即求解不等式 的解集. （2）由（1）结合函数的单调性，以及 ， ， ， ， 的值，得到 不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数 ，可得 ， 因为 ，所以当 时， ， ， 当 时， ， ， 当 时， ， ， 所以不等式 的解集为 . （2）由（1）知 的单调减区间为 ，单调增区间为 ， 又 ， ， ， ， ， 所以 ，所以 或 ， 故 的取值范围为 . 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解及应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的 解法，以及合理利用绝对值不等式的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的 能力，属于中档试题. 【 ( )f x x> ( )2f − ( )1f − ( )0f ( )1f ( )2f ( ) 3 2 2 3f x x x= − − − ( ) 21, 3 2 35 5, 3 2 31, 2 x x f x x x x x  − − ≤ = − < 2 3x ≤ 1x x− − > 1 2x < − 2 3 3 2x< < 5 5x x− > 5 3 4 2x< < 3 2x ≥ 1x x+ > 3 2x ≥ ( )f x x> 1 5, ,2 4    −∞ − ∪ +∞       ( )f x 2, 3  −∞   2 ,3  +∞   ( )2 1f − = ( )1 0f − = ( )0 1f = − ( )1 0f = ( )2 3f = 20 2 1a a< + ≤ 11 2a− ≤ < − 10 2a< ≤ a 1 11, 0,2 2    − − ∪     