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数学试题 第!!!!! 页!共"页"
数!!学
时量!!#$分钟!!!满分!!%$分
得分!!!!!!
第!卷!选择题!共&$分"
一!选择题!本大题共!#小题#每小题%分#共&$分!在每小题给出的四个选
项中#只有一项是符合题目要求的!"
!!已知集合 "' ####'! "# #$' (!#$#! "! #则
)*"$$'$ +*"%$'"
,*"&$ -*"'$
#!命题$函数%'&%#&%#&"&是偶函数'的否定可表示为
)*(#&"#&%(#&'&%#&
+*(#&"#&%(#&)&%#&
,**#$&"#&%(#$&'&%#$&
-**#$&"#&%(#$&)&%#$&
.!设命题'(函数%'/01##的最小正周期为"
#)命题((函数%'23/#的图
象关于直线#'"
#对称!则下列判断正确的是
)*'为真 +*+(为假
,*',(为真 -*'-(为假
4!若).*#则
)*51%)(*&.$ +*.)/.*
,*).(*..$ -*0)0.0*0
%!曲线%'&%#&'#51#在点%!#&%!&&处的切线方程是
)*%'#6! +*%'#(! ,*%'# -*%'7#(7
&!设非零向量!#"满足#!6"#'#!("##则
)*!1" +*#!#'#"#
,*!2" -*#!#.#"#
8!已知函数%'&%#&的图像是下列四个图像之一#且其导函数
%'& % &+ # 的图像如右图所示#则函数&%#&的图像是数学试题 第#!!!! 页!共"页"
"!设,!#,# 为椭圆-(##
.&6%#
#$'!的两个焦点#" 为- 上一点且在第一象
限#若3",!,# 为等腰三角形#则3",!,# 的面积为
槡 槡 槡 槡)*% . +*!$ . ,*# !% -*4 !%
9!如图#在平行六面体./-0(.!/!-!0! 中#底面
是边长为!的正方形#若4.!./'4.!.0'
&$:#且.!.'.#则.!-的长为
槡 槡)*% +*# #
槡 槡,* !4 -* !8
!$!$)5$'是 $函数 &%#&' %)#(!&# 在 区 间
%$#6;&内单调递增'的
)*充分不必要条件 +*必要不充分条件
,*充分必要条件 -*既不充分也不必要条件
!!!设1为坐标原点#点2 是以, 为焦点的抛物线%#'#'#%'.$&上任意一
点#" 是线段2, 上的点#且#2"#'##",##则直线1" 的斜率的最大
值为
)*槡.
. +*#
. ,*槡#
# -*!
!#!设函数&%#&'51##且#$##!###&%$#6;&#下列命题(
#若#!/###则!
##
.&%#!&(&%##&
#!(##
)
$存在#$&%#!###&##!/###使得!
#$
'&%#!&(&%##&
#!(##
)
%若#!.!###.!#则&%#!&(&%##&
#!(##
/!)
&对任意的#!####都有& #!6##% &# .&%#!&6&%##&
# !
其中正确的命题个数是
)*4 +*. ,*# -*!
答题卡
题号 ! # . 4 % & 8 " 9 !$ !! !# 得分
答案
第'卷!非选择题!共9$分"
二!填空题!本大题共4小题#每小题%分#共#$分!将答案填在答题纸上"
!.!已知!' %##!#.&#"' %(!#.#9&#若 向 量 ! 与" 共 线#则 # 的 值
是!!!!!!
!4!若三个点%(##!&#%(##.&#%##(!&中恰有两个点在双曲线-(##
)# (%#'!
%).$&上#则双曲线-的离心率为!!!!!!数学试题 第.!!!! 页!共"页"
!%!已知函数&%#&' #####53#
##(#3#643##.3! #其中3.$#若存在实数*#使得
关于 # 的 方 程 & %#&'* 有 三 个 不 同 的 根#则 3 的 取 值 范 围 是
!!!!!!
!&!已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上#若过该球球心的一个截面
如下图#且图中三角形%正四面体的截面&的面积是 槡4 ##则该球的表面
积为!!!!!!
三!解答题 !本大题共&小题#共8$分!解答应写出文字说明$证明过程或演
算步骤!"
!8!!本小题满分!$分"
已知公差不为零的等差数列!)4"的前4项和为54#5.'!##且)!#)##)4
成等比数列#数列!*4"满足*4')!6)#6)46*6)#4(! #4'!###*!
%!&求数列!)4"#!*4"的通项公式)4+*4)
%#&若在数列!)4"中去掉数列!*4"中的项#剩下的项按原来顺序排成新
数列!64"#求6#$!9的值!数学试题 第4!!!! 页!共"页"
!"!!本小题满分!#分"
如图所示#在平面四边形 ./-0 中#0.1./#-0'.7'#70'##
4.0-'#"
.#4/7-'"
.#4-70'!!
%!&求/01!的值)
%#&求/7 的长!数学试题 第%!!!! 页!共"页"
!9!!本小题满分!#分"
某企业为了检查生产. 产品的甲+乙两条流水线的生产情况#随机地从
这两条流水线上生产的大量产品中各抽取%$件产品作为样本#测出它
们的这一项质量指标值!若该项质量指标值落在 !9%#, &#!$ 内#则为合格
品#否则为不合格品!表!是甲流水线样本的频数分布表#图!是乙流水
线样本的频率分布直方图!
质量指标值 频数
,!9$#!9%& 9
,!9%##$$& !$
,#$$##$%& !8
,#$%##!$& "
,#!$##!%& &
!!!!!!
表!(甲流水线样本的频数分布表!!图!(乙流水线样本的频率分布直方图
%!&根据图形#估计乙流水线生产的. 产品的该项质量指标值的中位数)
%#&设该企业生产一件合格品获利!$$元#生产一件不合格品亏损%$元#
若某个月内甲+乙两条流水线均生产了!$$$件产品#若将频率视为
概率#则该企业本月的利润约为多少元-数学试题 第&!!!! 页!共"页"
#$!!本小题满分!#分"
已知.1是圆锥的高#/0 是圆锥底面的直径#-是
底面圆周上一点#7 是-0 的中点#平面./- 和平
面.-0 将圆锥截去部分后的几何体如图所示!
%!&求证(平面.711平面.-0)
%#&若.-'/0'##/- 槡' ##求二面角/(.-(0
的余弦值!数学试题 第8!!!! 页!共"页"
#!!!本小题满分!#分"
已知函数&%#&'7#23/#()##8%#&'&+%#&#)&%!
%!&试判断函数8%#&在,$##".上的单调性#并说明理由)
%#&若&%#&是在区间,$#".上的单调函数#求)的取值范围!数学试题 第"!!!! 页!共"页"
##!!本小题满分!#分"
已知椭圆-(##
)# 6%#
*# '!%).*.$&的右焦点为
,#离心率为槡.
##2 是椭圆- 上位于第一象限
内的任意一点#1 为坐标原点#2 关于1 的对
称点为2+#2+, 6 2, '4#圆1(##6%#'*#!
%!&求椭圆-和圆1 的标准方程)
%#&过点2 作29 与圆1 相切于点9#使得点,#点9 在12 的两侧!求
四边形1,29 面积的最大值!书书书
数学参考答案!"!!!!
数学参考答案
一!选择题
题号 " # $ % & ' ( ) * "+ "" "#
答案 , , , - . / . , / - - .
"!,
#!,
$!,
%!-
&!.
'!/!"解析#由 !0" 1 !!" 两边平方得!!#0#!""0"#1!#!#!""0"#!即!""1+!则!""!
故选 /!
(!.!"解析#由导函数的图像可知导函数的函数值在#!"!"$上大于零!所以原函数递增!且导函数
值在#!"!+$上递增!即原函数在#!"!+$上切线的斜率递增!导函数的函数值在#+!"$上递减!即
原函数在#+!"$上切线的斜率递减!所以选.!
)!,!"解析#设 "%#!$&!#!$#+!椭圆%'&#
$'0'#
#+1"的(1'!) 槡1# &!*1%!+1*
( 1#
$!由于 " 为
% 上一点且在第一象限!可得$","$#$",#$!%",",# 为等腰三角形!可能$","$1#*或
$",#$1#*!即有'0#
$#1)!即#1$!$ 槡1 "&(或'!#
$#1)!即#1!$&+!舍去!故%",",#
的面积为 槡% "&!故选 ,!
*!/!"解析#根据向量的线性运算
$-"
'(( %$1 -"%'((槡 #1 %-"
'(( -0 '((-.0 '((.%&槡 #
1 -"
'(( -#0 '((-.#0 '((.%#0#-"
'(( -" '((-.0#-"
'(( -" '((.%0# '((-." '((槡 .%
1 *0"0"0#2$2 !! ""
# 0#2$2 !! ""
#槡 0+
槡 槡1 ""!'1 &!
故选 /!
"+!-!"解析#当(1+时!/%&&1$&$!3/%&&在区间%+!04&内单调递增(当(&+时!/%&&1
( &!"! "( & 中一个根"
(&+!另一个根为+!由图象可知/%&&在区间%+!04&内单调递增(
3)()+*是)函数/%&&1 %(&!"&& 在区间%+!04&内单调递增*的充分条件!反之!若/%&&1
( &!"! "( & 在区间%+!04&内单调递增!则(1+或"
(&+!即()+!3)()+*是)函数/%&&1
$%(&!"&&$在区间%+!04&内单调递增*的必要条件!故选-!
""!-!"解析#如图所示!设0%&+!'+&%'+#+&!则'#
+1#1&+!即&+1'#
+
#1!
设 "%&2!'2&!由 '((0"1# '((",!得
&2110&+
$ !
'21'+
$
*
+
, !数学参考答案!#!!!!
3直线3" 的斜率为41
'+
$
10&+
$
1 '+
10'#
+
#1
1 #1
#1#
'+
0'+
) #1
# #1槡 # 1槡#
# %当且仅当'+ 槡1 #1 时取等
号&!故选-!
"#!.!"解析#如图!对于!!"
&#
表示曲线'1/%&&156& 在点
.%&#!56&#&处的切线的斜率!小于割线-. 的斜率!所以!错(
对于"!在弧-. 之间!必存在某点!使过该点的切线的斜率等
于割线-. 的斜率!所以"对(
对于#!割线-. 的斜率小于过点%"!+&的切线的斜率"!所以
#对(
对于$!由图中的直角梯形的中位线%5 的长/%&"&0/%&#&
# 必
小于/ &"0&#! "# !所以$对!故选.!
二!填空题
"$!!"
$
"%!槡'
#
"&!!$#04"!"解析#函数'1$&$为偶函数!且左减右增!函数'1&#!
##&0%#%&##&图象的对称轴为&1#!且在对称轴右侧单调递增!故
当&)# 时函数/%&&先减后增!当&## 时函数/%&&单调递增!画出函
数大致图象如图所示!要使/%&&1) 有三个不同的根!则必须满足
####!###0%#!解得##$!
"'!#%%!"解析#设正四面体的棱长为(!过该球球心的一个截面如图为
%-.,!于是图中-.1(!6 为-. 中点!则6,"5%!
在%5%6 中!5616%1槡$(
# !5%1(!36,1槡#(
# !
因为三角形-.,的面积是 槡% #!所以有"
#2(2槡#
#( 槡1% #!
3(1%!于此该球的半径71$
%2槡'
$ 槡2%1 '!381%%7#1#%%!
三!解答题
"(!"解析#%"&设等差数列+($,的公差为9%9-+&!
由题设知!8$1"#1$(#!3(#1%!
又(#
#1(""(%!3%%!9&%%0#9&1"'!解得91#!("1#!
所以($1#$!$.%/ $分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
)$1("0(#0(%0-0(#$!" 1#%"0#0##0-0#$!"&
1#%#$!"&!$.%/ ! '分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#&由%"&知)$1(#$!"!所以)"+1("+#$!)""1(#+%(!
由此可知*#+"*1(#+#*1%+&)! "+分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
")!"解析#%"&在 %%56 中!由余弦定理!得
6%#1%5#056#!#%5"65"789065%1(!数学参考答案!$!!!!
在%%56 中!由正弦定理!得 6%
9:6065%1%5
9:6!!
于是!9:6!1
%5"9:6#%
$
6% 1
#2槡$
#
槡(
1 槡#"
( ! '分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#&由题设知!+&!&%
$!于是由%"&知!789!1 "!9:6#槡 !1 "!#"槡 %*1 槡# (
( !
而0-6.1#%
$!!!所以7890-6.1789#%
$!! "! 1789#%
$789!09:6#%
$9:6!1槡(
"%!
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