四川省遂宁市射洪中学2020届高三一诊模拟数学（理）（Word版有答案）.doc

高 2020 届一诊模拟考试 理科数学试题 第 I 卷(选择题 共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．已知全集为 ，集合 ， ，则 元素个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．设 ，则 A．0 B．1 C． D．3 3．已知 ， 是两个不重合的平面，直线 ， ， ，则 是 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数 ，则 A． B． C． D．5 5．设 ， ， ，则 A． B． C． D． 6．下图可能是下列哪个函数的图像 A． B． C． D． 7．已知曲线 ， ，则下面结论正确的是 A．把曲线 向右平移 个长度单位得到曲线 B．把曲线 向左平移 个长度单位 得到曲线 R { }1,0,1,2,3A = − 2 01 xB x x  −= ≥ +  A B 1 21 iz ii += −− | |z = 5 α β a α⊂ :p a β :q α β p q ( ) ( ) 1 , 02 2 , 0 x xf x f x x   ≥ =    + > 1F 2F 2F P 1PF 2F P 3 1− 3 1 2 + 2 2 5 1 2 − 27 64 9 16 81 256 7 16 ( ) sin 2019 cos 20196 3f x x x π π   = + + −       A 1x 2x x ( ) ( )1 2( )f x f x f x≤ ≤ 1 2A x x− 2019 π 4 2019 π 2 2019 π 4038 π ( )f x '( )f x '( ) ( )f x f x< ( 2)f x + (4) 1f = ( ) xf x e< ( ,0)−∞ (0, )+∞ ( )4 ,e−∞ ( )4 ,e +∞ X ( )22,N σ ( )4 0.88XP ≤ = ( )0 4P X< < =_____________ 14．若二项式 的展开式中的常数项为 ，则 ______. 15．如图，求一个棱长为 的正四面体的体积，可以看成一个棱长为 1 的正方体 截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体 ，其三对棱长分别为 ，则此四面体的体积为_______； 16．在四边形 中，已知 是 边上的点，且 ， ，若点 在线段 上，则 的取值范围是______. 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 ~ 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（12 分） 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ． (1) 求 和 的值； (2) 求 的值． 18．（12 分）某教师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和 频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 [50，60) 3 0.06 [60，70) m 0.10 [70，80) 13 n [80，90) p q [90，100] 9 0.18 总计 t 1 6 23 1 3 x x  +    m 2 1 3 =m x dx∫ 2 ABCD 5, 13, 10AB CD AD BC AC BD= = = = = = ABCD M AB 1MA MB MC MD= = = = 120CMD∠ = ° N CD NA NB⋅  ABC△ , ,A B C , ,a b c ABC△ 13 15, 2,cos 4b c A− = = − a sinC cos(2 )6A π+(1)求表中 t，q 及图中 a 的值； (2)该教师从这次考试成绩低于 70 分的学生中随机抽取 3 人进行谈话，设 X 表示所抽取学生 中成绩低于 60 分的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望． 19．（12 分）在斜三棱柱 中，侧面 平面 ， ， ， ， 是 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）在侧棱 上确定一点 ，使得二面角 的大小为 ． 20．（12 分）已知 为圆 上一点，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，点 满足 （1）求动点 的轨迹方程； （2）设 为直线 上一点， 为坐标原点，且 ，求 面积的最小值. 21．（12 分）已知函数 ， . （1）当 时，讨论函数 的单调性； （2）当 时，求证：函数 有两个不相等的零点 ， ，且 . （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已 知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ， 1 1 1ABC A B C− 1AC ⊥ ABC 1 2AA a= 1AC CA AB a= = = AB AC⊥ D 1AA CD ⊥ 1AB 1BB E 1 1E AC A− − 3 π A 2 2: 1C x y+ = A y y B P 2 .BP BA=  P Q : 3l x = O OP OQ⊥ POQ∆ 2 2( ) 2( 1)xf x axe x−= − − a R∈ 4a = − ( )f x 0 1a< < ( )f x 1x 2x 1 2 2x x+ > x l 2 cos 14 πρ θ + =   C 2 acos ρ θ= a 0>（l）设 为参数，若 ，求直线 的参数方程； （2）已知直线 与曲线 交于 ， 设 ，且 ，求实数 的 值. 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若 对 恒成立，求 的取值范围. t 2 12y t= − l l C P Q M(0, 1)− 2| PQ | 4 | MP | | MQ |= ⋅ a ( ) 2 3f x x x= − + + ( ) 15f x ≤ 2 ( )x a f x− + ≤ x∈R a高 2020 届一诊模拟考试 理科数学试题参考答案 1．B 2．B 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B 13．0.76 14．124 15．2 16． 17．（1）△ABC 中,由 得 由 ,得 又由 解得 由 ,可得 a=8.由 ,得 . （2） , 18．解：(1)由表格可知，全班总人数 t＝ ＝50，则 m＝50×0.10＝5，n＝ ＝0.26，所 以 a＝ ＝0.026，3＋5＋13＋9＋p＝50， 即 p＝20，所以 q＝ ＝0.4. (2)成绩在[50，60)内的有 3 人，[60，70)内的有 5 人． 由题意得 X 可能的取值为 0，1，2，3，P(X＝k)＝ ，所以 P(X＝0)＝ ，P(X＝1)＝ ，P(X ＝2)＝ ，P(X＝3)＝ . 随机变量 X 的分布列如下： X 0 1 2 3 P 数学期望 EX＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 19．（1）证：∵面 面 ， ,∴ 面 ，即有 ； 3[ ,0]4 − 1cos ,4A = − 15sin ,4A = 1 sin 3 152 bc A = 24,bc = 2,b c− = 6, 4.b c= = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − sin sin a c A C = 15sin 8C = ( )2π π π 3cos 2 cos2 cos sin 2 sin 2cos 1 sin cos6 6 6 2A A A A A A + = − = − −   15 7 3 16 −= 1 1ACC A ⊥ ABC AB AC⊥ AB ⊥ 1 1ACC A AB CD⊥又 ， 为 中点，则 .∴ 面 . （2）如图所示 以点 为坐标系原点， 为 轴，过 C 点平行于 AB 的直线为 y 轴,CA1 为 轴， 建立空间直角坐标系 ，则有 ， ， ， ， ， 设 ，且 ，即有 ， 所以 点坐标为 . 由条件易得面 的一个法向量为 . 设平面 的一个法向量为 ， 由 可得 ， 令 ，则有 ， 则 ，得 . 所以，当 时，二面角 的大小为 . 20．解：（1） 设 ，由题意得： ，由 ，可得点 是 的中点， 1AC AC= D 1AA 1CD AA⊥ CD ⊥ 1 1ABB A C CA x z C xyz− ( ),0,0A a ( ), ,0B a a ( )1 0,0,A a ( )1 0, ,B a a ( )1 ,0,C a a− ( ), ,E x y z 1BE BBλ=  ( ) ( ), , ,0,x a y a z a aλ− − = − E ( )( )1 , ,a a aλ λ− 1 1AC A ( )1 0,1,0n = 1 1EAC ( )2 , ,n x y z= 2 1 1 1 {n AC n A E ⊥ ⊥    ( ) ( ) 0{ 1 1 0 ax ax ay azλ λ − = − + + − = 1y = 2 10,1,1n λ  =  −   1 2 1 2 •cos 3 n n n n π = =     ( )2 1 1 211 1 λ = + − 31 3 λ = − 1 31 3 BE BB = −   1 1E AC A− − 3 π ( ),P x y ( ) ( )1, , 0,A x y B y 2BP BA=  A BP故 ，所以 ，又因为点 在圆上，所以得 ， 故动点 的轨迹方程为 . （2）设 ，则 ，且 ， 当 时， ，此时 ；当 时， 因为 ,即 故 ， ， ， ①， 代入① 设 因为 恒成立， 在 上是减函数， 当 时有最小值，即 ,综上： 的最小值为 21．（1）当 时， ，得 ， 令 ，得 或 . 当 时， ， ，所以 ，故 在 上单调递减； 当 时， ， ，所以 ，故 在 上单调递增； 10 2x x+ = 1 2 xx = A 2 2 14 x y+ = P 2 2 14 x y+ = ( )1 1,P x y 1 0y ≠ 2 21 1 14 x y+ = 1 0x = 1 1y = ± ( ) 33,0 , 2POQQ S∆ = 1 0x ≠ 1 1 ,OP yk x = OP OQ⊥ 1 1 ,OQ xk y = − 1 1 33, xQ y  −    2 2 1 1OP x y∴ = + 2 22 1 11 2 1 1 3 1 3 x yxOQ y y += + = 2 2 1 1 1 1 3 2 2POQ x yS OP OQ y∆ += = ⋅ 2 21 1 14 x y+ = 2 1 1 1 1 4 33 3 4 32 2POQ yS yy y∆  −= ⋅ = −    ( )10 1y< ≤ ( ) ( )4 3 0 1f x x xx = − < ≤ ( ) 2 4f x 3 0 x ′ = − − < ( )f x∴ ( ]0,1 1 1y = 3 2POQS∆ ≥ POQS∆ 3.2 4a = − ( ) ( )224 2 1xf x xe x−= − − − ( ) ( )( )2' 4 1 1xf x x e −= − − ( )' 0f x = 1x = 2x = 1x < 1 0x − < 2 1 0xe − − > ( )' 0f x < ( )f x ( ),1−∞ 1 2x< < 1 0x − > 2 1 0xe − − > ( )' 0f x > ( )f x ( )1,2当 时， ， ，所以 ，故 在 上单调递减； 所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增. （2）证明：由题意得 ，其中 ， 由 得 ，由 得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. ∵ ， ， ， ∴函数 有两个不同的零点，且一个在 内，另一个在 内. 不妨设 ， ， 要证 ，即证 ， 因为 ，且 在 上是增函数， 所以 ，且 ，即证 . 由 ，得 ， 令 ， ， 则 . ∵ ，∴ ， ， ∴ 时， ，即 在 上单调递减， ∴ ，且∴ ， ， ∴ ，即∴ ，故 得证. 22．（1）直线 的极坐标方程为 即 ， 因为 为参数，若 ，代入上式得 ， 2x > 1 0x − < 2 1 0xe − − < ( )' 0f x < ( )f x ( )2,+∞ ( )f x ( ),1−∞ ( )2,+∞ ( )1,2 ( ) ( )( )2' 1 4xf x x ae −= − + 0 1a< < ( )' 0f x > 1x < ( )' 0f x < 1x > ( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞ ( )1 0f ae= > ( )0 2 0f = − < ( )2 2 2f a= − ( )2 1 0a= − < ( )f x ( )0,1 ( )1,2 ( )1 0,1x ∈ ( )2 1,2x ∈ 1 2 2x x+ > 1 22x x> − 2 10 2 1x x< − < < ( )f x ( )0,1 ( ) ( )1 22f x f x> − ( )1 0f x = ( )22 0f x− < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0 x x f x a x e x f x ax e x  − = − − − = − − = ( )22f x a− = ( ) 2 22 2 22 x xx e x e − − −  ( ) ( )2 xg x x e= − 2 xxe −− ( )1,2x∈ ( ) ( )' 1g x x= − 2 2x x e e e − 1 2x< < 1 0x − > 2 2 0xe e− < ( )1,2x∈ ( )' 0g x < ( )g x ( )1,2 ( ) ( )1 0g x g< = ( ) ( )2g x af x= − 0 1a< < ( )2 0f x− < ( )22 0f x− < 1 2 2x x+ > l 2 cos 14 πρ θ + =   1x y− = t 21 2y t= − + 3 2x t=所以直线 的参数方程为 （ 为参数） （2）由 ，得 ， 由 ， 代入，得 将直线 的参数方程与 的直角坐标方程联立， 得 .（*） 则 且 ， ， 设点 ， 分别对应参数 ， 恰为上述方程的根. 则 ， ， ， 由题设得 . 则有 ，得 或 .因为 ，所以 23：（1）因为 ， 所以当 时，由 得 ； 当 时，由 得 ； 当 时，由 得 . 综上， 的解集为 . （2）（方法一）由 得 ， 因为 ，当且仅当 取等号， 所以当 时， 取得最小值 5， 所以当 时， 取得最小值 5， 故 ，即 的取值范围为 . l 2 2 21 2 x t y t  =  = − + t 2 ( 0)acos aρ θ= > 2 2 cos ( 0)a aρ ρ θ= > cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x y ax+ = ( 0)a > l C ( )2 2 1 1 0t a t− + + = ( ) 2 2 1 4 0a ∆ = + − >  ( )1 2 2 1t t a+ = + 1 2 1t t = P Q 1t 2t 1MP t= 2MQ t= 1 2PQ t t= − 2 1 2 1 24t t t t− = ( )2 1 2 1 28t t t t+ = 1a = 3a = − 0a > 1a = ( ) 2 1, 3 5, 3 2 2 1, 2 x x f x x x x − − < − = − ≤ ≤  + > 3x < − ( ) 15f x ≤ 8 3x− ≤ < − 3 2x− ≤ ≤ ( ) 15f x ≤ 3 2x− ≤ < 2x > ( ) 15f x ≤ 2 7x− < ≤ ( ) 15f x ≤ [ ]8,7− ( )2x a f x− + ≤ ( )2a x f x≤ + ( ) ( ) ( )2 3 5f x x x≥ − − + = 3 2x− ≤ ≤ 3 2x− ≤ ≤ ( )f x 0x = ( )2x f x+ 5a ≤ a ( ],5−∞（方法二）设 ，则 ，当 时， 取得最小 值 5， 所以当 时， 取得最小值 5，故 ，即 的取值范围为 . ( ) 2g x x a= − + ( ) ( )max 0g x g a= = 3 2x− ≤ ≤ ( )f x 0x = ( )2x f x+ 5a ≤ a ( ],5−∞