高 2020 届一诊模拟考试
文科数学试题
第 I 卷(选择题 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．已知全集为 ，集合 ， ，则 元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为 ，现用分层抽样的方法从总体中
抽取一个容量为 10 的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的
概率为
A． B． C． D．
3．设 ，则
A．0 B．1 C． D．3
4．已知 ， 是两个不重合的平面，直线 ， ， ，则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数 ，则
A． B． C． D．5
6．设 ， ， ，则
A． B． C． D．
7．已知曲线 ， ，则下面结论正确的是
A．把曲线 向右平移 个长度单位得到曲线 B．把曲线 向左平移 个长度单位
R { }1,0,1,2,3A = − 2 01
xB x x
−= ≥ + A B
2: 2:1
1
3
1
2
2
3
3
4
1 21
iz ii
+= −− | |z =
5
α β a α⊂ :p a β :q α β p q
( )
( )
1 , 02
2 , 0
x
xf x
f x x
≥ =
+ > 1F 2F 2F
P 1PF 2F P
3 1− 3 1
2
+ 2
2
5 1
2
−12．已知定义在 R 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 为
偶函数， ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是__________．
14．函数 的图像在 处的切线方程为_______.
15．如图，求一个棱长为 的正四面体的体积，可以看成一个棱长为 1 的正方
体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体 ，其三
对棱长分别为 ，则此四面体的体积为_______；
16．在四边形 中，已知 是 边上的点，且 ，
，若点 在线段 上，则 的取值范围是______.
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 ~ 21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（12 分）
在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为
．
(1) 求 和 的值； （II）求 的值．
18．（12 分）唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术
的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三
彩的生产至今已有 多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.
某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的 件工艺品测得重量（单位： ）数据如下表：
分组 频数 频率
( )f x '( )f x '( ) ( )f x f x< ( 2)f x +
(4) 1f = ( ) xf x e<
( ,0)−∞ (0, )+∞ ( )4 ,e−∞ ( )4 ,e +∞
x y
2 0
2 0
2 6 0
x
y
x y
− ≥
+ ≥
+ − ≤
z x y= +
( ) 1 ln xf x x
+= 1
ex =
2
ABCD
5, 13, 10AB CD AD BC AC BD= = = = = =
ABCD M AB 1MA MB MC MD= = = =
120CMD∠ = ° N CD NA NB⋅
ABC△ , ,A B C , ,a b c ABC△
13 15, 2,cos 4b c A− = = −
a sinC cos(2 )6A
π+
1300
100 kg合计
（I）求出频率分布表中实数 ， 的值；
（II）若从仿制的 件工艺品重量范围在 的工艺品中随机抽选 件，求被抽选
件工艺品重量均在范围 中的概率.
19．（12 分）如图 1，四棱锥 的底面 是正方形， 垂直于底面 ，
已知四棱锥的正视图，如图 2 所示.
（I）若 M 是 的中点，证明： 平面 ；
（II）求棱锥 的体积.
20．（12 分）已知 为圆 上一点，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，点
满足
（I）求动点 的轨迹方程；
[ )2.20,2.30 4 0.04
[ )2.30,2.40 26
[ )2.40,2.50 a
[ )2.50,2.60 28 b
[ )2.60,2.70 10
[ )2.70,2.80 2
100
a b
100 [ )2.60,2.80 2
2 [ )2.70,2.80
P ABCD− ABCD PD ABCD
PC DM ⊥ PBC
A BDM−
A 2 2: 1C x y+ = A y y B P
2 .BP BA=
P（II）设 为直线 上一点， 为坐标原点，且 ，求 面积的最小值.
21．（12 分）已知函数
（I）求函数 的单调区间；
（II）若 ，证明：
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已
知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，
（I）设 为参数，若 ，求直线 的参数方程；
（II）已知直线 与曲线 交于 ， 设 ，且 ，求实数 的
值.
23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .
（I）求不等式 的解集；
（II）若 对 恒成立，求 的取值范围.
Q : 3l x = O OP OQ⊥ POQ∆
ln( 1)( ) xf x x
+=
( )f x
0x > 2(e 1)ln( 1)x x x− + >
x
l 2 cos 14
πρ θ + = C 2 acos ρ θ= a 0>
t 2 12y t= − l
l C P Q M(0, 1)− 2| PQ | 4 | MP | | MQ |= ⋅ a
( ) 2 3f x x x= − + +
( ) 15f x ≤
2 ( )x a f x− + ≤ x∈R a文科数学试题参考答案
1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 9．C 10．B
11．A 12．B
13．0 14． 15．2 16．
17．（1）△ABC 中,由 得 由 ,得 又由
解得 由 ,可得 a=8.由 ,得
.
（2） ,
18．解：（1） ；
.
（2） 件仿制的工艺品中，重量范围在 的工艺品有 件，
重量范围在 的工艺品有 件，
所以从重量范围在 的工艺品中随机抽选 件方法数 （种），所以所求概率
.
19．(Ⅰ)由正视图可知，
∵PD⊥平面 ABCD，∴ PD⊥BC
又∵ABCD 是正方形，∴BC⊥CD.
∵ ，∴BC⊥平面 PCD
∵ 平面 PCD，∴DM⊥BC.
又 是等腰三角形，E 是斜边 PC 的中点，所以∴DM⊥PC
又∵ ，∴DM⊥平面 PBC.
2e ey x= − 3[ ,0]4
−
1cos ,4A = − 15sin ,4A = 1 sin 3 152 bc A = 24,bc =
2,b c− = 6, 4.b c= = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
sin sin
a c
A C
=
15sin 8C =
( )2π π π 3cos 2 cos2 cos sin 2 sin 2cos 1 sin cos6 6 6 2A A A A A A + = − = − −
15 7 3
16
−=
( )100 4 26 28 10 2 30a = − + + + + =
28 0.28100b = =
100 [ )2.60,2.70 10
[ )2.70,2.80 2
[ )2.60,2.80 2 66m =
1
66p =
2PD DC= =
PD CD D∩ =
DM ⊂
PCD∆
BC PC C∩ =(Ⅱ)在平面 PCD 内过 M 作 MN//PD 交 CD 于 N，所以 且 平面 ABCD，所以
棱锥 M－ABD 的体积为
又∵棱锥 A－BDM 的体积等于棱锥 M－ABD 的体积，
∴棱锥 A－BDM 的体积等于 .
20．解：（1） 设 ，由题意得： ，由 ，可得点 是
的中点，
故 ，所以 ，又因为点 在圆上，所以得 ，
故动点 的轨迹方程为 .
（2）设 ，则 ，且 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， 因为 ,即
故 ， ，
，
①，
代入①
设
1 12MN PD= = MN ⊥
1 1 1 1 1 22 2 13 3 2 3 2 3M ABD ABDV S MN AB AD MH− ∆= ⋅ = × ⋅ ⋅ = × × × × =
2
3
( ),P x y ( ) ( )1, , 0,A x y B y 2BP BA= A BP
10 2x x+ = 1 2
xx = A
2
2 14
x y+ =
P
2
2 14
x y+ =
( )1 1,P x y 1 0y ≠ 2
21
1 14
x y+ =
1 0x = 1 1y = ± ( ) 33,0 , 2POQQ S∆ =
1 0x ≠ 1
1
,OP
yk x
= OP OQ⊥ 1
1
,OQ
xk y
= −
1
1
33, xQ y
−
2 2
1 1OP x y∴ = +
2 22
1 11
2
1 1
3 1 3 x yxOQ y y
+= + =
2 2
1 1
1
1 3
2 2POQ
x yS OP OQ y∆
+= = ⋅
2
21
1 14
x y+ =
2
1
1
1 1
4 33 3 4 32 2POQ
yS yy y∆
−= ⋅ = −
( )10 1y< ≤
( ) ( )4 3 0 1f x x xx
= − < ≤因为 恒成立， 在 上是减函数，
当 时有最小值，即 ,综上： 的最小值为
21．解：（1）函数的定义域为 ，求导得 ，令
，
令 g’(x)＞0，解得-1＜x＜0，令 g’(x)＜0 解得 x＞0，
所以 单调增区间为 减区间为 。
g(x)＜g(0)=0，即 f’(x)＜0 在定义域上恒成立，
所以 的单调减区间为 ；
（2）证明：将不等式变形为 ，因为 ，即不
等式等价于 ，由（1）有所以 在 上单调递减，所以要
证原不等式成立，需证当 x＞0 时，x＜ex-1，令 ，则 ，可知
h’(x)＞0 在 恒成立，即 h(x)在 上单调递增，故 h(x)>h(0)=0，即 x＜ex-1，
故 f(x)＞f(ex-1)，即 ，即 .
22．（1）直线 的极坐标方程为 即 ，
因为 为参数，若 ，代入上式得 ，
所以直线 的参数方程为 （ 为参数）
（2）由 ，得 ，
( ) 2
4f x 3 0
x
′ = − − < ( )f x∴ ( ]0,1
1 1y = 3
2POQS∆ ≥ POQS∆
3.2
( ) ( )1,0 0,− ∪ +∞ ( )
( )
2
ln 11'
x xxf x x
− ++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1ln 1 , '1 11 1
x xg x x g xx xx x
= − + = − = −+ ++ +
( )g x ( )-1,0 ， ( )0 +∞，
( )f x ( )-1,0 ，( )0 +∞，
( )ln 1
1x
x x
x e
＞
+
−
( )ln 1 1ln
1 1 1
xx
x x x
ex e
e e e
− +
= =− − −
( ) ( )ln 1 1ln 1
1
x
x
ex
x e
− ++
−＞ ( )f x ( )0 +∞，
( ) 1xh x e x= − − ( )' 1xh x e= −
( )0 +∞， ( )0 +∞，
( ) ( )ln 1 1ln 1
1 1
x
x x
ex x
x e e
− ++
− −＞ ＞ ( ) ( ) 21 ln 1xe x x− + ＞
l 2 cos 14
πρ θ + = 1x y− =
t 21 2y t= − + 3
2x t=
l
2
2
21 2
x t
y t
=
= − +
t
2 ( 0)acos aρ θ= > 2 2 cos ( 0)a aρ ρ θ= >由 ， 代入，得
将直线 的参数方程与 的直角坐标方程联立，
得 .（*）
则 且 ， ，
设点 ， 分别对应参数 ， 恰为上述方程的根.
则 ， ， ，
由题设得 .则有 ，得 或 .
因为 ，所以
23：（1）因为 ，
所以当 时，由 得 ；
当 时，由 得 ；
当 时，由 得 .
综上， 的解集为 .
（2）（方法一）由 得 ，
因为 ，当且仅当 取等号，
所以当 时， 取得最小值 5，
所以当 时， 取得最小值 5，
故 ，即 的取值范围为 .
（方法二）设 ，则 ，
当 时， 取得最小值 5，
所以当 时， 取得最小值 5，故 ，即 的取值范围为 .
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x y ax+ = ( 0)a >
l C
( )2 2 1 1 0t a t− + + =
( ) 2
2 1 4 0a ∆ = + − > ( )1 2 2 1t t a+ = + 1 2 1t t =
P Q 1t 2t
1MP t= 2MQ t= 1 2PQ t t= −
2
1 2 1 24t t t t− = ( )2
1 2 1 28t t t t+ = 1a = 3a = −
0a > 1a =
( )
2 1, 3
5, 3 2
2 1, 2
x x
f x x
x x
− − < −
= − ≤ ≤
+ >
3x < − ( ) 15f x ≤ 8 3x− ≤ < −
3 2x− ≤ ≤ ( ) 15f x ≤ 3 2x− ≤ <
2x > ( ) 15f x ≤ 2 7x− < ≤
( ) 15f x ≤ [ ]8,7−
( )2x a f x− + ≤ ( )2a x f x≤ +
( ) ( ) ( )2 3 5f x x x≥ − − + = 3 2x− ≤ ≤
3 2x− ≤ ≤ ( )f x
0x = ( )2x f x+
5a ≤ a ( ],5−∞
( ) 2g x x a= − + ( ) ( )max 0g x g a= =
3 2x− ≤ ≤ ( )f x
0x = ( )2x f x+ 5a ≤ a ( ],5−∞
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