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3.2.2 函数模型的应用实例
[选题明细表]
知识点、方法
题号
利用已知函数模型解决问题
3,5,6
自建函数模型解决问题
2,4,8,9
拟合函数模型解决问题
1,7,10
基础巩固
1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( D )
(A)一次函数 (B)二次函数
(C)指数型函数 (D)对数型函数
解析:由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.
2.(2018·四川绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为( C )
(A)13立方米 (B)14立方米
(C)15立方米 (D)16立方米
解析:设该职工的月实际用水为x立方米,所缴水费为 y元,由题意得
y=即y=
根据题意得该职工这个月的实际用水量超过10立方米,
所以5x-20=55,解得x=15.
故选C.
3.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为( D )
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(A)p=96V (B)p= (C)p= (D)p=
解析:设p=,则64=,解得k=96,故p=.故选D.
4.马云同学向某银行贷款M万元,用于购买某件商品,贷款的月利率为5%(按复利计算),按照还款合同,马云同学每个月都还款x万元,20个月还清,则下列关系式正确的是( B )
(A)20x=M (B)20x=M(1+5%)20
(C)20xM(1+5%)20
解析:马云同学向某银行贷款M万元,贷款的月利率为5%(按复利计算),则20个月后本息和为M(1+5%)20万元,马云同学每个月都还款x万元,20个月共还20x万元,若20个月还清,则20x=M(1+5%)20.故
选B.
5.某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们将发展到( A )
(A)200只 (B)300只
(C)400只 (D)500只
解析:由题意,繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),这种动物第2年有100只,
所以100=alog3(2+1),
所以a=100,
所以y=100log3(x+1),
所以当x=8时,y=100log3(8+1)=100×2=200.
6.某种汽车安全行驶的稳定系数μ随使用年数t的变化规律是μ=
μ0e-λt,其中μ0,λ是正常数.经检测,当t=2时,μ=0.90μ0,则当稳定系数降为0.50μ0时,该种汽车的使用年数为( D )
(结果精确到1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(A)10年 (B)11年 (C)12年 (D)13年
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解析:由0.90μ0=μ0(e-λ)2,得e-λ=,
于是0.50μ0=μ0(e-λ)t⇒=()t,
两边取常用对数,lg=lg 0.90,
解得t=≈≈13.
所以该汽车的使用年数约为13年.
7.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用 作为拟合模型较好.
解析:对于甲:x=3时,y=32+1=10,
对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.
答案:甲
能力提升
8.(2018·湖北重点高中联考)某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减少耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于 9 000万元,则t的取值范围是 .
解析:由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20-t)万亩,
则税收收入为(20-t)×24 000×t%,由题意得
(20-t)×24 000×t%≥9 000,
整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5,
所以当耕地占用税率为3%～5%时,既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9 000万元.
所以t的取值范围是3≤t≤5.
答案:[3,5]
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9.某小商品2018年的价格为15元/件,销售量为a件,现经销商计划在2019年该商品的价格降至10元/件到 14元/件之间,经调查,顾客的期望价格为7元/件,经市场调查,该商品的价格下降后增加的销售量与定价和顾客期望价格的差成反比,比例系数为k,该商品的成本价为5元/件.
(1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益y与定价x的函数关
系式;
(2)设k=3a,当定价为多少时,经销商2019年的收益恰是2018年收益的1.2倍?
解:(1)由题可得年收益y=(a+)(x-5),10≤x≤14.
(2)当k=3a时,y=(a+)(x-5)=1.2×10a,
即(1+)(x-5)=12,
所以x2-21x+104=0,x=8或x=13.
因为x∈[10,14],所以x=13,
故当定价为13元时,经销商2019年的收益恰是2018年收益的1.2倍.
探究创新
10.20世纪70年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0.其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的
振幅.
(1)假设在一次地震中,一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.002,计算这次地震的震级;
(2)5级地震给人的震感已比较明显,我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?
解:(1)M=lg A-lg A0=lg =lg =4.
即这次地震的震级为4级.
(2)lg =3,=1 000,
即我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的
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1 000倍.
[教师备用1] 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·(),其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要 分钟.
解析:由题意可知,如果咖啡降到40 ℃时,
可得Ta=24,T0=88,T=40,
因此40-24=(88-24)(),
解得h=10.
所以此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,
可得32-24=(40-24)(),
解得t=10.
答案:10
[教师备用2] 光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a,通过x块玻璃后强度为y.
(1)写出y关于x的函数关系式;
(2)至少通过多少块玻璃后,光线强度减弱到原来的以下?(lg 3≈0.477 1)
解:(1)y=a(1-10%)x(x∈N*).
(2)由y
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