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专题类型突破
专题三 阅读理解问题
类型一 定义新的运算
(2018·德州中考)对于实数a，b，定义运算“◆”：
.
【分析】 根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
【自主解答】
定义新运算问题的实质是一种规定，规定某种运算方式，然后要求按照规定去计算、求值，解决此类问题的方法技巧是：(1)明白这是一种特殊运算符号，常用※，●，▲，★，&，◎，◆，♂等来表示一种运算；(2)正确理解新定义运算的含义，严格按照计算顺序把它转化为一般的四则运算，然后进行计算；(3)新定义的算式中，有括号的要先算括号里面的．
1．(2018·金华中考)对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y＝＋.若1*(－1)＝2，则(－2)*2的值是 ．
2．(2016·雅安中考)我们规定：若m＝(a，b)，n＝(c，d)，则m·n＝ac＋bd
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.如m＝(1，2)，n＝(3，5)，则m·n＝1×3＋2×5＝13.
(1)已知m＝(2，4)，n＝(2，－3)，求m·n；
(2)已知m＝(x－a，1)，n＝(x－a，x＋1)，求y＝m·n，问y＝m·n的函数图象与一次函数y＝x－1的图象是否相交，请说明理由．[
类型二 方法模拟型
(2018·内江中考)对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{－2，－1，0}＝－1，max{－2，－1，0}＝0，max{－2，－1，a}＝
解决问题：
(1)填空：M{sin 45°，cos 60°，tan 60°}＝ ，如果max{3，5－3x，2x－6}＝3，则x的取值范围为 ；
(2)如果2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，求x的值；
(3)如果M{9，x2，3x－2}＝max{9，x2，3x－2}，求x的值．
【分析】 (1)根据定义写出sin 45°，cos 60°，tan 60°的值，确定其中位数；根据max{a，b，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，5－3x，2x－6}＝3，可得不等式组，即可得结论；
(2)根据已知条件分情况讨论，分别解出即可；
(3)不妨设y1＝9，y2＝x2，y3＝3x－2，画出图象，两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论．
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【自主解答】
该类题目是指通过阅读所给材料，将得到的信息通过观察、分析、归纳、类比，作出合理的推断，大胆的猜测，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用归纳与类比的方法来解答题目中所提出的问题．
3．(2018·怀化中考)根据下列材料，解答问题．
等比数列求和：
概念：对于一列数a1，a2，a3，…，an，…(n为正整数)，若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即＝q(常数)，那么这一列数a1，a2，a3…，an，…成等比数列，这一常数q叫做该数列的公比．
例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和．
解：令S＝1＋3＋32＋33＋…＋3100，
则3S＝3＋32＋33＋…＋3100＋3101，
因此，3S－S＝3101－1，所以S＝，
即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝.
仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52 018的和为 ．
4．(2018·随州中考)我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将0.化为分数形式，
由于0.＝0.777…，设x＝0.777…，①
则10x＝7.777…，②
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②－①得9x＝7，解得x＝，于是得0.＝.
同理可得0.＝＝，1.＝1＋0.＝1＋＝.
根据以上阅读，回答下列问题：(以下计算结果均用最简分数表示)
【基础训练】
(1)0.＝ ，5.＝ ；
(2)将0.化为分数形式，写出推导过程；
【能力提升】
(3)0.1＝ ，2.0＝ ；
(注：0.1＝0.315 315…，2.0＝2.018 18…)
【探索发现】
(4)①试比较0.与1的大小：0. 1；(填“＞”“＜”或“＝”)
②若已知0.85 71＝，则3.14 28＝ ．
(注：0.85 71＝0.285 714 285 714…)
类型三 学习新知型
(2018·自贡中考)阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550－1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler，1707－1783年)才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N(a＞0，a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN.比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
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loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)；理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M·N＝am·an＝am＋n，
由对数的定义得m＋n＝loga(M·N)．
又∵m＋n＝logaM＋logaN，
∴loga(M·N)＝logaM＋logaN.
解决以下问题：
(1)将指数43＝64转化为对数式 ；
(2)证明：loga＝logaM－logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)；
(3)拓展运用：计算log32＋log36－log34＝ ．
【分析】 (1)根据题意可以把指数式43＝64写成对数式；
(2)根据对数的定义可表示为指数式，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
(3)根据公式：loga(M·N)＝logaM＋logaN和loga＝logaM－logaN的逆用，可得结论．
【自主解答】
这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题．解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．
5．(2018·济宁中考)知识背景
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当a＞0且x＞0时，因为(－)2≥0，所以x－2＋≥0，从而x＋≥2(当x＝时取等号)．
设函数y＝x＋(a＞0，x＞0)，由上述结论可知，当x＝时，该函数有最小值为2.
应用举例
已知函数y1＝x(x＞0)与函数y2＝(x＞0)，则当x＝＝2时，y1＋y2＝x＋有最小值为2＝4.
解决问题
(1)已知函数y1＝x＋3(x＞－3)与函数y2＝(x＋3)2＋9(x＞－3)，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？
(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？
6．(2018·荆州中考)阅读理解：在平面直角坐标系中，若P，Q两点的坐标分别是P(x1，y2)，Q(x2，y2)，则P，Q这两点间的距离为|PQ|＝.如P(1，2)，Q(3，4)，则|PQ|＝＝2.
对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
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解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．
(1)到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是 ；
(2)若动点C(x，y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数解析式；
问题拓展：(3)若(2)中的动点C的轨迹与直线y＝kx＋交于E，F两点，分别过E，F作直线l的垂线，垂足分别是点M，N.
求证：①EF是△AMN外接圆的切线；
②＋为定值．
参考答案
类型一
【例1】 解方程组得
∵5＜12，∴x◆y＝5×12＝60.
故答案为60.
变式训练
1．－1
2．解：(1)m·n＝2×2＋4×(－3)＝－8.
(2)m·n＝(x－a)2＋(x＋1)
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＝x2－(2a－1)x＋a2＋1，
∴y＝x2－(2a－1)x＋a2＋1.
联立方程得x2－(2a－1)x＋a2＋1＝x－1，
化简得x2－2ax＋a2＋2＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝－8＜0，
∴方程无实数根，两函数图象无交点．
类型二
【例2】 (1)∵sin 45°＝，cos 60°＝，tan 60°＝，
∴M{sin 45°，cos 60°，tan 60°}＝.
∵max{3，5－3x，2x－6}＝3，
则
∴x的取值范围为≤x≤.
故答案为，≤x≤.[ZXXK]
(2)2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，
分三种情况：①当x＋4≤2时，即x≤－2，
原等式变为2(x＋4)＝2，解得x＝－3.
②x＋2≤2≤x＋4时，即－2≤x≤0，
原等式变为2×2＝x＋4，解得x＝0.
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③当x＋2≥2时，即x≥0，
原等式变为2(x＋2)＝x＋4，解得x＝0.
综上所述，x的值为－3或0.
(3)不妨设y1＝9，y2＝x2，y3＝3x－2，画出图象，如图所示．
结合图象，不难得出，在图象中的交点A，B两点处，满足条件且M{9，x2，3x－2}＝max{9，x2，3x－2}＝yA＝yB，
此时x2＝9，解得x＝3或－3.
变式训练
3.
4．解：(1)
(2)0.＝0.232 323…，
设x＝0.232 323…，①
则100x＝23.232 3…，②
②－①得99x＝23，
解得x＝，
∴0.＝.
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(3)
(4)①＝ ②
类型三
【例3】 (1)由题意可得，指数式43＝64写成对数式为3＝log464.故答案为3＝log464.
(2)设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴＝＝am－n，由对数的定义得m－n＝loga.[]
又∵m－n＝logaM－logaN，
∴loga＝logaM－logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)．
(3)log32＋log36－log34＝log3(2×6÷4)＝log33＝1.
故答案为1.
变式训练
5．解：(1)∵x＞－3，∴x＋3＞0，
∴＝＝(x＋3)＋≥2，
即≥6，
∴的最小值为6，此时x＋3＝＝3，解得x＝0.
(2)设该设备的租赁使用成本为w.
根据题意得w＝，
∴w＝0.001(＋x)＋200.
∵x＞0，
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∴w≥0.001×2＋200，
即w≥201.4，
∴w的最小值为201.4，此时x＝＝700.
答：当x取700时，该设备平均每天的租赁使用成本最低，最低是201.4元．
6．解：(1)以A为圆心，AB长为半径的圆
(2)设点C到直线l的距离为d.
∵直线y＝kx＋交y轴于点A，
∴令x＝0得y＝，即A(0，)，
∴|CA|＝.
∵点B关于x轴与点A对称，∴B(0，－)，
∴x2＋(y－)2＝(y＋)2，
∴动点C轨迹的函数解析式为y＝x2.
(3)①证明如下：如图，由(2)可知EA＝EM，FA＝FN.
又∵EM⊥直线l，FN⊥直线l，∴EM∥FN，
∴∠MEA＋∠NFA＝180°，
∴∠EAM＝(180°－∠MEA)，
∠FAN＝(180°－∠NFA)，
则∠EAM＋∠FAN＝(180°－∠MEA)＋(180°－∠NFA)＝180°－(∠MEA＋∠NFA)＝90°，
∴∠MAN＝90°，即△AMN是直角三角形．
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设点G是△AMN外接圆的圆心，则点G是直径MN的中点，连接AG，EG.
由EM＝EA，AG＝MG，EG＝EG，
可证明△AEG≌△MEG，
∴∠EAG＝∠EMG＝90°，
∴GA⊥EF，
∴EF是△AMN的外接圆的切线．
②证明如下：设点E，F的坐标分别为(x1，kx1＋)，(x2，kx2＋)，则EM＝kx1＋1，FN＝kx2＋1.
联立抛物线与直线EF的解析式
则有x2－kx－＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－1，
∴＋＝＋＝＝＝
＝＝＝2，
∴＋的值为定值．
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