甘肃省天水市一中2020届高三上学期第四次考试数学（理）试题（Word版含答案）.doc

1 天水一中 2020 届 2019-2020 学年度第一学期第四次考试 数学理科试题 一、选择题(每题 5 分，共 60 分) 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．以下四个命题： ①“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 ②“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件 ③若 为假命题，则 ， 均为假命题 ④对于命题 ： ， ，则 为： ， 其中真命题的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 A． B． C． D． 4．函数 f(x)=Asin(ωx+φ)，（A，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则 f(x)=（ ） A． B． C． D． 5．已知 F1、F2 为椭圆 的两个焦点，过 F1 的直线交椭 圆于 A，B 两点，若 ，则|AB|= ( ) A．6 B．7 C．5 D．8 6．将 5 本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，另两人各 2 本，则不同的分配方法 { | 1 }A x y x= = − { | ( 1)( 3) 0}B x x x= + − < BACR )( [1,3) (1,3) ( 1,0] [1,3)−  ( 1,0] (1,3)−  x y= 2 2x y= 2a = ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ p q∧ p q p 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x+ + < p¬ x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + ≥ 0.3log 2a = 0.12b = sin 789c =  a b c a b c< < a c b< < c a b< < b c a< < ( ) 2 4 3f x sin x π = +   ( ) 2 4 3f x sin x π = −   ( ) 4 82 3 9f x sin x π = −   ( ) 4 82 3 9f x sin x π = +   2 2 125 9 x y+ = 2 2 12F A F B+ =2 是( )种(用数字作答） A．108 B．90 C．18 D．120 7．定义在 上的奇函数 满足：当 时， ，则函数 的 零点的个数是( ) A． B． C． D． 8．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 b=1， = ，若 A=2B，则△ABC 的周长为（ ） A．3 B．4 C． D． 9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大 的侧面的面积为（ ） A． B． C． D． 10．实数 满足条件 .当目标函数 在该约束条件下取到 最小值 时， 的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若双曲线的左支上存 在一点 ，使得 与双曲线的一条渐近线垂直于点 ，且 ，则此双曲线的 离心率为（ ） A． B． C． D． 12．定义在 上的函数 的图象是连续不断的曲线，且 ，当 时， 恒成立，则下列判断一定正确的是（ ） R ( )f x 0x > ( ) 20192019 logxf x x= + ( )f x 1 2 3 5 a b c b − + sinC sinA sinB sinC+ − 2 3+ 3 3+ 2 2 3 2 5 2 2 ,x y 1 0 2 3 0 x y x y − − ≤  − − ≥ ( ), 0z ax by a b= + > 4 1 2 a b + 6 4 3 2 ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1 2,F F P 2PF H 2 24PF F H= 2 6 3 4 3 13 2 5 3 R ( )f x ( ) ( ) 2xf x f x e= − 0x > ( ) ( )f x f x′ >3 A． B． C． D． 二、填空题(每题 5 分，共 20 分) 13．已知向量 ， ， ，则| ______. 14．由曲线 ，直线 y=2x，x=2 所围成的封闭的图形面积为______． 15．已知二项式 的展开式中各项系数和为 256，则展开式中的常数项为____. （用 数字作答） 16．如图所示，两半径相等的圆 ，圆 相交， 为它们的公切线段， 且两块阴影部分的面积相等，在线段 上任取一点 ，则 在线段 上的概率为 . 三、解答题（共 70 分） 17．(本小题满分 12 分)已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 18．(本小题满分 12 分)如图，已知三棱锥 ，平面 平面 ， ， ． （1）证明： ； （2）设点 为 中点，求直线 与平面 所成角的正弦 值． 19．(本小题满分 12 分)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队 的概率为 .本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没 有影响且无平局.求： （1）前三局比赛甲队领先的概率； （2）设本场比赛的局数为 ，求 的概率分布和数学期望. (用分数表示) ( ) ( )5 2 3e f f< − ( ) ( )52 3f e f< − ( ) ( )5 2 3e f f− > ( ) ( )52 3f e f− < ( )1,2a = − 3b = 7a b− =  a b+ =  2y x = 3 1( )nx x + A B CD AB M M EF { }na n nS 3 12S = 6 9 19a a+ = { }na 23 na nb n−= + { }nb n nT P ABC− PAC ⊥ ABC 1 22AB BC PA PC= = = = 120ABC∠ = ° PA BC⊥ E PC AE PBC 2 3 ξ ξ4 20．(本小题满分 12 分)已知抛物线 ，过其焦点 的直线与抛物线相交于 、 两点，满足 . （1）求抛物线 的方程； （2）已知点 的坐标为 ，记直线 、 的斜率分别为 ， ，求 的最小 值. 21．(本小题满分 12 分) 已知函数 （其中 a 是实数）． （1）求 的单调区间； （2）若设 ，且 有两个极值点 ，求 取值范围．（其中 e 为自 然对数的底数 选做：共 10 分。请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(本小题满分 10 分)在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求 ， 的极坐标方程； （2）若直线 的极坐标方程 ，设 与 的交点为 ， ，求 的 面积. 23．(本小题满分 10 分)设函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，求实数 m 的取值范围． ( )2: 2 0E y px p= > F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 4y y = − E C ( )2,0− CA CB 1k 2k 2 2 1 2 1 1 k k + ( ) 2 2lnf x x ax x= − + 1x 2x a xOy 1 : 2C x = − 2 2 2 :( 1) ( 2) 1C x y− + − = O x 1C 2C 3C 4 πθ = ( )Rρ ∈ 2C 3C M N 2C MN∆ ( ) | | | 1| 5( )f x x m x m R= − + + − ∈ 2m = ( ) 0f x ≥ ( ) 2f x ≥ −5 理科答案 一、选择题： BCBAD BCDBD DB 12.构造函数 ，因为 ，所以 则 ，所以 为偶数 当 时， ，所以 在 上单调递增， 所以有 ，则 ，即 ，即 . 故选： 一、填空题 13. 3 14 . 3-2ln2 15. 28 16. 16.设圆的半径为 。由题意可得 所以 ， 所以 二、解答题 17.【答案】（1） ；（2） . ( ) ( ) x f xg x e = ( ) ( ) 2xf x f x e= − ( ) ( ) 2x f xf x e − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x x x x f x f x f xeg x g xe e e− − −− = = = = ( )g x 0x > ( ) ( ) ( ) 0x f x f xg x e ′ −′ = > ( )g x ( )0, ∞+ ( ) ( )3 2g g> ( ) ( )3 2g g− > ( ) ( ) 3 2 3 2f f e e− − > ( ) ( )5 3 2e f f− > B 4 1π − r 2 21 12 4 2ABCDS r rπ π= × × =  21 1 2 2AB r r rπ π= ÷ = 1 2 22EF r r r rπ π = − × = −   2 4 11 2 EF r rP AB r π ππ −= = = − 2na n= + 1 23 3 2 n n n nT + + + −=6 （1）由题得 ， 解之得 ， 所以 ， 所以数列 的通项公式为 . （2）由题得 ， 所以数列 的前 项和 ， 所以 . 18.(1) , ,由余弦定理得 ,故 . 又 ,故 .又平面 平面 ,且平面 平 面 ,故 平面 .又 平面 ,故 . 证毕. (2)由(1)有 平面 ,故以 为坐标原点,垂直 为 轴, 为 轴正向, 为 轴正向建如图空间直角坐标系. 则 , , , , . 1 1 1 1 1 2 12 5 8 19 a a d a d a d a d + + + + =  + + + = 1 3, 1a d= = 3 ( 1) 1 2na n n= + − × = + { }na 2na n= + 3n nb n= + { }nb n nT 1 2 3(3 3 3 3 ) (1 2 3 )n n= + + + + + + + + +  1 23(1 3 ) 3 3 3( 1) (3 1) ( 1)1 3 2 2 2 2 n n n n n n n nT n n +− + + −= + + = − + + =− 2AB BC= = 120ABC∠ = ° 2 2 2 2 cos 12AC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ⋅ ∠ = 2 3AC = 2 2 24 12 16PA AC PC+ = + = = PA AC⊥ PAC ⊥ ABC PAC  ABC AC= PA ⊥ ABC BC ⊂ ABC PA BC⊥ PA ⊥ ABC A ,AC AP x AC y AP z (0,0,0)A (1, 3,0)B (0,0,2)P (0,2 3,0)C (0, 3,1)E7 故 , , , 设平面 的法向量 则 , 令 有 ,故 ,设 与平面 所成角为 ,则 故答案为： 19.解：（1）设“甲队胜三局”为事件 ，“甲队胜二局”为事件 ， 则 ， ， 所以，前三局比赛甲队领先的概率为 （2）甲队胜三局或乙胜三局， 甲队或乙队前三局胜 局，第 局获胜 甲队或乙队前四局胜 局，第 局获胜 的分部列为： (0, 3,1)AE = (0,2 3, 2)PC = − ( 1, 3,0)BC = − PBC ( , , )m x y z= 2 3 2 00 0 3 0 y zm PC m BC x y  − =⋅ = ⇒ ⋅ = − + =    1y = 3 1 3 x y z  =  =  = ( 3,1, 3)m = AE PBC θ ( ) ( ) ( )2 2 22 2 3 21sin 73 1 3 1 3 AE m AE m θ = = = + + +     21 7 A B 32 8( ) 3 27P A  = =   2 2 3 2 1 4( ) 3 3 9P B C    = =       20( ) ( ) 27P A P B+ = 3 32 1 1( 3) 3 3 3P ξ    = = + =       2 4 2 2 3 2 1 2( 4) 3 3 3P Cξ  = = × × +   2 2 3 1 2 1 10 3 3 3 27C   × × =   2 5 2 2 2 4 2 1 2( 5) 3 3 3P Cξ    = = × × +       2 2 2 4 1 2 1 8 3 3 3 27C    × × =       ξ∴ ξ 3 4 58 数学期望为 20.（1）因为直线 过焦点 ，设直线 的方程为 ， 将直线 的方程与抛物线 的方程联立 ，消去 得 ， 所以有 ， ， ，因此，抛物线 的方程 ； （2）由（1）知抛物线的焦点坐示为 ，设直线 的方程为 ， 联立抛物线的方程 ，所以 ， ， 则有 ， ， 因此 . 因此，当且仅当 时， 有最小值 . 21.解析：（1） (其中 是实数)， 的定义域 ， ， 令 ， = -16,对称轴 ， ， 当 = -16 0，即-4 时， ， P 1 3 10 27 8 27 1 10 8 107( ) 3 4 53 27 27 27E ξ = × + × + × = AB ,02 pF      AB 2 px my= + AB E 2 2 2 px my y px  = +  = x 2 22 0y mpy p− − = 2 1 2 4y y p= − = − 0p > 2p∴ = E 2 4y x= ( )1,0F AB 1x my= + 2 4 4 0y my− − = 1 2 4y y m+ = 1 2 4y y = − 1 1 1 3mk y = + 2 2 1 3mk y = + 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 1 1 1 1=2 6 9m m m mk k y y y y y y        + = + + + + + + +                ( ) ( )2 2 1 2 1 22 2 21 2 2 2 1 2 1 2 2 4 84 92 6 9 2 6 9 54 16 2 y y y y my y mm m m m my y y y + − ++= + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = +− 0m = 2 2 1 2 1 1 k k + 9 2 ( ) 2 2f x x ax lnx= − + a ( )f x∴ ( )0,+∞ ( ) 2´ 2 2 22 x axf x x a x x − += − + = ( ) 22 2g x x ax= − +  2a x 4 a= ( )0 2g =  2a ≤ 4a≤ ≤ ( )´ 0f x ≥9 函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间， 当 = -16 0,即 或 若 ，则 恒成立， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间。 若 4，令 ，得 = ， = ， 当 (0, ) ( ,+ 时， 当 （ ）时， 的单调递增区间为（0， ），（ ），单调递减区间为（ ） 综上所述当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间， 当 时， 的单调递增区间为（0， ）和（ ），单调递减区间为（ ） (2)由(1)知，若 有两个极值点，则 4，且 ， ， 又 ， ， ， ， 又 ，解得 ， 令 ， 则 恒成立 ∴ ( )f x ( )0,+∞  2a > 4a < − 4a 时，> 4a < − ( )´ 0f x > ( )f x∴ ( )0,+∞ a > ( )´ 0f x = 1x 2 16 4 a a− − 2x 2 16 4 a a+ − x∈ 1x  2x )∞ ( )´ 0f x > ， x∈ 1 2x x， ( )´ 0f x < ( )f x∴ 1x 2x + ∞， 1 2x x， 4a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 4a > ( )f x 1x 2x + ∞， 1 2x x， ( )f x a > 1 2 02 ax x+ = > 1 2 1x x = 1 20 1x x∴ < < < 2 1 12 2 0x ax− + = 1 1 1a 2 x x  = +    1 202 3e ae  + <