人教A版数学必修5同步辅导与检测单元评估验收(二).doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 单元评估验收(二)‎ ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 014，则序号n等于(　　)‎ A．667 B．‎668 C．669 D．672‎ 解析：由2 014＝1＋3(n－1)解得n＝672.‎ 答案：D ‎2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．0 D．1‎ 解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋n，‎ 所以λ＝－1.‎ 答案：B ‎3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3·a11＝16，则a5等于(　　)‎ A．1 B．‎2 C．4 D．8‎ 解析：因为a3·a11＝a＝16，所以a7＝4，‎ 所以a5＝＝＝1.‎ 答案：A ‎4．数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 那么在此数列中(　　)‎ A．a7＝a8最大 B．a8＝a9最大 C．有唯一项a8最大 D．有唯一项a7最大 解析：an＝(n＋2)，‎ an＋1＝(n＋3)·，‎ 所以＝·，‎ 令≥1，即·≥1，解得n≤7，‎ 即n≤7时递增，n＞7递减，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞….‎ 所以a7＝a8最大．‎ 答案：A ‎5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　)‎ A．3×44 B．3×44＋1‎ C．44 D．44＋1‎ 解析：由an＋1＝3Sn⇒Sn＋1－Sn＝3Sn⇒Sn＋1＝4Sn，故数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，‎ 故Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.‎ 答案：A ‎6．数列{(－1)n·n}的前2 013项的和S2 013为(　　)‎ A．－2 013 B．－1 017‎ C．2 013 D．1 007‎ 解析：S2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.‎ 答案：D ‎7．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于(　　)‎ A．1或2 B．1或－2‎ C．－1或2 D．－1或－2‎ 解析：依题意有‎2a4＝a6－a5，‎ 即‎2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，‎ 所以q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0.‎ 所以q＝－1或q＝2.‎ 答案：C ‎8．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是(　　)‎ A．d＜0‎ B．a7＝0‎ C．S9＞S5‎ D．S6与S7均为Sn的最大值 解析：由S5＜S6，得a6＝S6－S5＞0.‎ 又S6＝S7⇒a7＝0，所以d＜0.‎ 由S7＞S8⇒a8＜0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＜0，即S9＜S5.‎ 答案：C ‎9．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ A.和5 B.和‎5 C. D. 解析：由9S3＝S6＝S3＋q3S3，‎ 又S3≠0，所以q3＝8，q＝2.‎ 故an＝q·qn－1＝2n－1，所以＝，‎ 所以的前5项和S5＝＝.‎ 答案：C ‎10．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，6) B．(－∞，4]‎ C．(－∞，5) D．(－∞，3]‎ 解析：数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数，若数列是递减数列，则－≤1，即λ≤4.‎ 答案：B ‎11．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，‎ 所以a3·a2＝a2＋(－1)3，所以a3＝，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 所以a4＝＋(－1)4，所以a4＝3，‎ 所以‎3a5＝3＋(－1)5，所以a5＝，‎ 所以＝×＝.‎ 答案：C ‎12．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为(　　)‎ A．q B．12q C．(1＋q)12 D．(1＋q)12－1‎ 解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.‎ 则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，‎ 第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，所以该厂生产总值的年平均增长率为＝－1＝(1＋q)12－1.‎ 答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)‎ ‎13．设{an}是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．‎ 解析：设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，‎ 所以d＞0，即d＝2，所以a1＝2.‎ 答案：2‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．‎ 解析：由题意知a1＋a3＝5，a‎1a3＝4，又{an}是递增数列，所以a1＝1，a3＝4，所以q2＝＝4，q＝2代入等比求和公式得S6＝63.‎ 答案：63‎ ‎15．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝______________．‎ 解析：当n＝1时，S1＝‎2a1－1，‎ 所以a1＝‎2a1－1，所以a1＝1.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)；‎ 所以an＝2an－1，经检验n＝1也符合．‎ 所以{an}是等比数列．‎ 所以an＝2n－1，n∈N*.‎ 答案：2n－1(n∈N*)‎ ‎16．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，有下列三个命题：‎ ‎①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；‎ ‎②若Sn＝an(a为非零常数)，则{an}是等比数列；‎ ‎③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列．‎ 其中真命题的序号是________．‎ 解析：易知①是真命题，由等比数列前n项和Sn＝＝－·qn知②不正确，③正确．‎ 答案：①③‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a4－a3＝2，所以d＝2.‎ 又因为a1＋a2＝10，所以‎2a1＋d＝10，故a1＝4.‎ 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2 (n＝1，2，…)．‎ ‎(2)设等比数列{bn}的公比为q.‎ 因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，‎ 所以q＝2，b1＝4.‎ 所以b6＝4×26－1＝128.‎ 由128＝2n＋2得n＝63，‎ 所以b6与数列{an}的第63项相等．‎ ‎18．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a2成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜.‎ ‎(1)解：因为数列{an}是等差数列，‎ 所以an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d.‎ 依题意，有 即 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解得a1＝6，d＝4.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝4n＋2(n∈N*)．‎ ‎(2)证明：由(1)可得Sn＝2n2＋4n.‎ 所以＝＝＝(－)．‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋·‎ ＋＝‎ ＝－.‎ 因为Tn－＝－＜0，所以Tn＜.‎ 因为Tn＋1－Tn＝＞0，所以数列{Tn}是递增数列，‎ 所以Tn≥T1＝.所以≤Tn＜.‎ ‎19．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝1，前n项和为Sn，bn＝.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{bn}前n项和为Tn，求Tn.‎ 解：因为等差数列{an}中a1＝1，‎ 公差d＝1.‎ 所以Sn＝na1＋d＝.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 所以bn＝.‎ ‎(2)bn＝＝＝2，‎ 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ‎＝2 ‎＝2＝.‎ ‎20．(本小题满分12分)求数列1，‎3a，‎5a2，‎7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和．‎ 解：当a＝1时，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝＝n2.‎ 当a≠1时，‎ Sn＝1＋‎3a＋‎5a2＋…＋(2n－3)an－2＋(2n－1)an－1，‎ aSn＝a＋‎3a2＋‎5a3＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an，‎ 两式相减，有：‎ ‎(1－a)Sn＝1＋‎2a＋‎2a2＋…＋2an－1－(2n－1)an＝‎ ‎1＋2－(2n－1)an，‎ 此时Sn＝＋.‎ 综上，Sn＝ ‎21．(本小题满分12分)等差数列{an}前n项和为Sn，已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．‎ 解：设{an}的公差为d.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 由S3＝a，得‎3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.‎ 由S1，S2，S4成等比数列得S＝S1S4.‎ 又S1＝a1－d，S2＝‎2a2－d，S4＝‎4a2＋2d，‎ 故(‎2a2－d)2＝(a2－d)(‎4a2＋2d)．‎ 若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，‎ 此时Sn＝0，不合题意；‎ 若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，‎ 解得d＝0或d＝2.‎ 因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎22．(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：＋＋…＋＜.‎ 证明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝‎ ‎3，所以＝3，‎ 所以是等比数列，首项为a1＋＝，公比为3，‎ 所以an＋＝·3n－1，‎ 因此{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)知：an＝，所以＝，‎ 因为当n≥1时，3n－1≥2·3n－1，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 所以≤，‎ 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝＜，‎ 所以＋＋…＋＜.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎