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第二章章末复习课
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[警示·易错提醒]
1．数列的概念及表示方法
(1)定义：按照一定顺序排列的一列数．
(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．
(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．
2．求数列的通项(易错点)
(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：
an＝
(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2
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－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．
(3)当已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1···…·.
(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．
(5)归纳、猜想、证明法．
3．等差数列、等比数列的判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；＝
q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列．
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；a＝an·an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝aqn－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
4．求数列的前n项和的基本方法(易错点)
(1)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
(2)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(3)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．
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(4)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(5)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式．
专题一 等差、等比数列的判断
判定一个数列是等差或等比数列有如下多种方法：
定义法
an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列
＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列
中项
公式法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列
a＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)⇔{an}是等比数列
通项
公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列
an＝cqn(c，q均为非零常数)⇔{an}是等比数列
前n项
和公式
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列
Sn＝kqn－k(k为常数，且q≠0，k≠0，q≠1)⇔{an}是等比数列
[例1] 已知数列{an}、{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a为常数)，且bn＝an·an＋1，其中n＝1，2，3，….
(1)若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和Sn的公式．
(2)当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？
解：(1)因为{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a，
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所以a≠0，an＝an－1.
又bn＝an·an＋1，
则b1＝a1·a2＝a，＝＝＝＝a2，
即{bn}是以a为首项，a2为公比的等比数列．
所以，Sn＝
(2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下：
法一：设{bn}的公式比为q，则＝＝＝q且a≠0，
又a1＝1，a2＝a，a1，a3，a5…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列；a2，a4，a6，…，a2n，…是以a为首项， q为公比的等比数列．
即{an}为：1，a，q，aq，q2，aq2，…，
当q＝a2时，{an}是等比数列；当a≠a2时，{an}不是等比数列．
法二：{an}可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：
设{bn}的公式为q.
①取a＝q＝1时，an＝1(n∈N*)，
此时bn＝anan＋1＝1，{an}、{bn}都是等比数列．
②取a＝2，q＝1时，
an＝
bn＝2(n∈N*)．
所以{bn}是等比数列，而{an}不是等比数列．
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归纳升华
判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．
(2)等比中项法：a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列．
(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．
[变式训练] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝5Sn－3，求数列{an}的通项公式．
解：当n＝1时，因为a1＝5a1－3，所以a1＝.
当n≥2时，因为an＝5Sn－3，
所以an－1＝5Sn－1－3，
所以an－an－1＝5(Sn－Sn－1)．
即an－an－1＝5an，＝－，
所以{an}是首项a1＝，公比q＝－的等比数列．
所以an＝a1qn－1＝(n∈N*)．
专题二 数列的通项公式的求法
(1)定义法：
定义法是指直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．
(2)已知Sn求an.
若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．
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(3)由递推公式求数列通项法．
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．
(4)待定系数法(构造法)．
求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法．
[例2] (1)等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a，则数列{an}的通项公式为________________；
(2)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n，n≥1，则数列{an}的通项公式为______________．
解析：(1)设数列{an}的公差为d(d＞0)，
因为a1，a3，a9成等比数列，所以a＝a1a9，
即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)⇒d2＝a1d，
因为d≠0，所以a1＝d.①
因为S5＝a，
所以5a1＋·d＝(a1＋4d)2.②
由①②得：a1＝，d＝，
所以an＝＋(n－1)·＝n.
(2)n＝1时，a1＝S1，
所以a1＝2a1－1，即a1＝1，n≥2时，
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an＝Sn－Sn－1＝2(an－an－1)＋2·(－1)n，
所以an＝2an－1＋2·(－1)n－1，
an－1＝2an－2＋2·(－1)n－2，a2＝2a1－2，
所以an＝[2n－2＋(－1)n－1]．
又因为a1＝1适合an＝[2n－2＋(－1)n－1]，
所以an＝[2n－2＋(－1)n－1]．
答案：(1)an＝n
(2)an＝[2n－2＋(－1)n－1]
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(1)已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．
(2)由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}．
[变式训练] 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3·5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式．
解：设an＋1＋x·5n＋1＝2(an＋x·5n)①
将an＋1＝2an＋3·5n代入①式，
得2an＋3·5n＋x·5n＋1＝2an＋2x·5n，
等式两边消去2an，
得3·5n＋x·5n＋1＝2x·5n，
两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1，
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代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n)．②
由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得，
an－5n≠0，则＝2.
所以{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以an－5n＝1×2n－1＝2n－1，
所以an＝2n－1＋5n(n∈N*)．
专题三 数列求和
数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．
一般常见的求和方法有：
(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式)；
(2)分组求和法；
(3)错位相减法；
(4)倒序相加法；
(5)裂项相消法．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互拆消，从而求得其和；
(6)并项求和法．一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
[例3] (1)已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列{}的前n项和Sn＝
________________.
(2)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
①求数列{an}的通项公式；
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②令bn＝nan，求数列{bn}的前n项Sn.
(1)解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，
解得q＝3，所以an＝a1qn－1＝3·3n－1＝3n，
故bn＝log3an＝n，
所以＝＝－.
则Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：
(2)解：①由已知，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋
a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
②由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n·22n－1①
从而22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n·22n＋1②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·
22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
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用错位相减法求和时，应注意：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“
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错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．
[变式训练] 设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①
所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②
由①－②得3n－1an＝，所以an＝，
在①中，令n＝1，得a1＝，所以数列{an}的通项公式
an＝(n∈N*)．
(2)因为bn＝＝n·3n，
所以Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③
所以3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④
由④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)＝
n·3n＋1－，
所以Sn＝＋.
专题四 函数与方程思想
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(1)在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d(或q)，n，an及Sn，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值．
(2)数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数．运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题．等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数也有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题．
[例4] (1)已知数列{an}的首项为a1＝21，前n项和为Sn＝
an2＋bn，等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n＋1＋a，则Sn的最大值为________；
(2)若等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2·a4·a6＝45.则通项公式an＝__________________．
解析：(1)由Tn＝2·2n＋a，可求得
a＝－2，所以Sn＝－2n2＋bn，所以数列{an}为等差数列，又因为a1＝21，Sn＝－2n2＋bn，故b＝21－(－2)＝23，
所以Sn＝－2n2＋23n＝－2＋，
当n＝6时，Sn取得最大值66.
(2)因为a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，
所以a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5，
所以a2＋a6＝10且a2·a6＝9，
所以a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的两根，
解得或
若a2＝1，a6＝9，则d＝2，所以an＝2n－3；
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若a2＝9，a6＝1，则d＝－2，所以an＝13－2n.
故an＝2n－3或an＝13－2n.
答案：(1)66 (2)2n－3或13－2n
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函数的思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q＞0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝·(qn－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)也与指数函数相联系．
[变式训练] 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.求数列{an}的通项an与前n项和Sn.
解：设数列{an}的公差为d，由题意得
所以d＝2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1＋，
Sn＝＝n(n＋)．
专题五 数列的交汇问题
[例5]设数列{an}满足＋＋…＋＝－1，其中常数λ>.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若λ＝，bn＝(2n－4 001)an，当n为何值时，bn最大？
解：(1)由题意得
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＋＋…＋＝－1，①
当n≥2时，＋＋…＋＝－1，②
由①－②得＝－，
即＝(n≥2)．
又当n＝1时，＝－1，
所以a1＝2λ－1.
因为λ>，所以数列{an}是以2λ－1为首项，
以为公比的等比数列．
所以an＝(2λ－1)，
即an＝.
(2)当λ＝时，an＝，
所以bn＝.
设bn最大，则
即
解得≤n≤.
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因为n∈N*，所以n＝2 002，
故当n＝2 002时，bn最大．
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数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处．它包含知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．
[变式训练] 已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0
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