科目：数学(理科)
(试题卷)
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的 封面上，并认真核对
条形码上的姓名、准考证号和科目。
2.学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作 答无效。考生在答题
卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4.本试题卷共 5 页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。
姓 名
准考证号
绝密★启用前
郴州市 2020 届高三第一次教学质量监测试卷
理科数学
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题有且只有一项是符合题目要求
的.
1.设集合 A={ }，B={ }，则
A. C. D. B.
2.若复数 为纯虚数，则实数
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.下列结论中正确的个数是
①在 中，若 sin24=sin2B，则 是等腰三角形；
②在 中，若 sinA>sinB，则 A>B
③两个向量 共线的充要条件是存在实数 ，使
④等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.已知向量 =(2,3)， ，且 ，则向量 在 方向上的投影为
2(ayaxZ += a
2
1
4
1
13
2
2 =− yx 21,FF 122 =+ yx
063 =−+ yx m mFPF
FPF =∠
∠
21
12
sin
sin
122 FFPF ⋅A.3 B.2 C.-3 D.-2
10.丹麦数学家琴生(Jensen)是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹
凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数 在(a，b)上的导函数为 ，
在(a，b)上的导函数为 ，若在(a，b)上 恒成立，则称函数 在(a，b)上
为“凸函数已知 在（1，4)上为“凸函数”，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
11.已知函数 ，若正实数 满足 ，则 的
最小值为
A.7 B. C. D.
12.在边长为 的菱形 ABCD 中， ，沿对角线 BD 对折，使得 A 到 A'，且
，则四面体 外接球表面积为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 展开式中的常数项为 .
14. 设等差数列{ }满足 ，则数列{ }的前 项和为 .
15.如图，B 是 AC 上一点，以 AB，BC，AC 为直径作半圆.
过 B 作 BD 丄 AC，与半圆相交于 D，AC=8,BD= ，在整
个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率
是 .
16.已知直线 与椭圆 交于 A、B 两点，与圆
交于 C、D 两点.若存在 ，使得 ，则椭圆
的离心率的取值范围是 .
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17 题-21 题为必考题. 22
题、23 题为选考题.
)(xf )(' xf )(' xf
)('' xf 0>(1: 2
2
2
2
1 bab
y
a
xC =+
1)1()2(: 22
2 =−+− yxC ]1,2
3[ −−∈k DBAC = 1C17.(本小题满分 12 分）
在 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且向量 与向量
共线.
(I)求角 B 的大小；
(II)若 ，且 CD=1，AD= ，求三角形 ABC 的
面积.
18.(本小题满分 12 分）
如图，在五棱锥 P-ABCDE 中，PA 丄平面 ABCDE，AB∥CD，
AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB= ，BC=2AE=2, 是等腰三角形.
(I )求证：CD 丄平面 PAC;
(II)求由平面 PAC 与平面 PED 构成的锐二面角的余弦值.
19.(本小题满分 12 分）郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶
6 元，售价每瓶 8 元，未售出的饮料降价处理，以每瓶 3 元的价格当天全部处理完.根据往年
销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位:℃）有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500
瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20,需求量为 200
瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分
布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(I)求六月份这种饮料一天的需求量 X(单位:瓶）的分布列；
(II)设六月份一天销售这种饮料的利润为 Y(单位:元），当六月份这种饮料一天的进货量 n(单
位:瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
20.(本小题满分 12 分）
已知点 在椭圆上 ，点 为平面上一点，0
为坐标原点.
ABC∆ )cos,2( Ccan −=
)cos,( Bbm =
DCBD 2= 7
22 PAB∆
)2
2,1(M )0>>(1: 2
2
2
2
bab
y
a
xE =+ )2,2( baN(I)当 取最小值时，求椭圆 E 的方程；
(II)对(1)中的椭圆 E，P 为其上一点，若过点 Q(2,0)的直线 与椭圆 E 相交于不同的 两点 S
和 T，且满足 ，求实数 的取值范围.
21.(本小题满分 12 分）
设函数 ，其中 是自然对数的底数.
(I)若 在 上存在两个极值点，求 的取值范围；
(II)当 ,设 ，若 在 上存在两个极值点 ，
且 ，求证： .
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 为参数，且 ，
以原点 0 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
.
(I)求曲线 C 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
(II)设点 M 在曲线 C 上，求点 M 到直线 距离的最小值与最大值.
23.(本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲
设 .
(I)求不等式 的解集；
(II)若对任意的 ，使得 ，求实数 的取值范围.
|| ON
l
)0( ≠=+ tOPtOTOS t
xmxxaexxxf x +=−= 2
2
1)(,ln)( ϕ eRa ,∈
)(xf ),0( +∞ a
0)1(' =
ef RmxxfxF ∈−= ),()()( ϕ )(xF ),0( +∞ 21, xx
21 < xx 2
21 e>, xx
xOy θθ
θ
(sin
cos1
=
+=
y
x ],0[ πθ ∈
x l
2)6sin( =+ πθρ
l
l
1||2|)(,2|12|)( +−−=+−= xaxxgxxf
|4x>|)( +xf
Rxx ∈21, )(x>)( 21 gxf a
微信/支付宝扫码支付