江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第四次月考试题数学（理）（Word版含答案）.doc

高三第四次月考数学（理科）试题 一、选择题 1.已知集合 X＝｛ ｝，Y＝｛ ｝，则 ＝（ ） A.［－3，－ln 2）　B.［－2，－ln 2］　C.［－3，－ln 2］　D.［－ln 2，2］ 2．复数 满足： （ 为虚数单位）， 为复数 的共轭复数，则下列说法正确的是 （ ） A． B． C． D． 3.平面直角坐标系 xOy 中，点 在单位圆 O 上，设 ，若 ，且 ， 则 的值为 　　 A. B. C. D. 4. 设 是首项为正数的等比数列，公比为 ，则“ ”是“对任意的正整数 ， ”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5.函数 的图象是(　　) A. B. C. D. 6.要得到函数 y＝- sin3x 的图象，只需将函数 y＝sin3x＋cos3x 的图象 A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 7.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a5－2a72＋2a8＝0，数列{bn}是等比数列且 b7＝a7，则 b2b12 等于（ ） A. B. C. D. 8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ） A． B． C． D． 9．已知变量 满足约束条件 若目标函数 的最小值 为 2，则 的最小值为( ) A． B．5+2 C． D． }{ na q 0 > 1 3 a b + 2+ 3 6 8+ 15 2 310.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和， ， ，则数列 与的前 20 项和为（ ） A. B. C. D. 11.已知函数 与函数 的图象上存在关于 轴对称的点， 则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12.已知定义在 R 上的奇函数 满足 ，且对任意的 ， 都有 ．又 ，则关于 的不等式 在区间 上的 解集为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13. 已知 平面向量 满足 ，且 ，则向量 与 夹角的余 弦值为__________ 14.设 ，则 _____．（不用化简） 15.已知函数 为偶函数，若曲线 的一条切线的斜率为 ，则该切点的 横坐标等于______． 16．已知 为锐角三角形，满足 ， 外接圆的圆心为 ，半径为 1，则 的取值范围是______. 三、解答题 17．已知函数 ， ． （Ⅰ）当 时，解关于 的不等式 ； （Ⅱ）若对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范 围． 18.已知函数 。 1a = x ( ) 4f x ≤ 1x R∈ 2x R∈ ( ) ( )1 2f x g x> a 1 1a = 1 2n na S+ = 1{ } na 19 3 1 2 2 3 − × 19 7 1 4 4 3 − × 18 3 1 2 2 3 − × 18 7 1 4 4 3 − × 2( ) lnxf x e x x= + + 2( ) +2xg x e x ax−= − -∞（ ，- e] 1- e ∞（ ，- ] -∞（ ，- 1] 1- 2 ∞（ ，- ] ( )f x (1 ) ( )f x f x+ = − 1 2 1[ 0 ]2x x ∈， ， 1 2( )x x≠ 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x π− >− ( ) sing x xπ= x ( ) ( )f x g x≥ 3 3[ ]2 2 − ， 3[ ] [ 0 ]2 4 4 π π− − ， ， 3[ ]2 4 π− −， 3[ 0]2 − ， 3[ 1] [ 0 1]2 − − ， ， (cos ,sin ) 2a bα α= = ， ( ) 2a a b+ =    1 1 1 1( ) 1 2 3 4 2 1f n n = − + − + + − ( 1) ( )f k f k+ = + ( ) x xf x e ae−= + ( )y f x= 8 3 ABC∆ ( )2 2 2sin sin sin sin sin tanB C B C A A= + − ABC∆ O ( )AA ACO B⋅ +  2( ) sin ( )4f x x π= − ( ) 2 2 3f x x a x a= − + − + ( ) 2 4,g x x ax a R= + + ∈(1)若 ，求 的值； (2)若动直线 x＝t(t∈[0，π])与函数 f(x)和函数 的图象分 别交于 P，Q 两点，求线段 PQ 长度的最大值，并求出此时 t 的值。 19. 已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ， . (1)证明数列 为等差数列，并求 的通项公式； (2)设 ，数列 的前 项和记为 ,证明： . 20. 中， ， ， 为线段 上一点，且满足 . (1)求 的值； (2)若 ，求 . 21．四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC； （2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D-AE-C 的余弦值． 1( ) ,tan 5, [ , ]2 6 2 2f α π πβ α= = ∈ − tan(2 )α β+ ( ) 3sin( )cos( )4 4g x x x π π= + + { }na n nS 2 1 2n n na S S −= + + ( 2 *)n n N≥ ∈， 1 2a = { }na { }na 3 2n n b S = { }nb n nT 11 6nT < ABC∆ 5AB = 4AC = D BC 2BD DC= sin sin BAD DAC ∠ ∠ 2BAD DAC∠ = ∠ AD22.已知函数 . （1）若 ，函数 的极大值为 ，求实数 的值； （2）若对任意的 ， 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 2020 届高三年级第四次月考数学（理科）试卷答题卡 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、 14、 15、 16、 三、解答题（共 70 分） 17.（10 分） 18. （12 分） ( ) ( ) ( )2 Rxf x ax x a e a−= + + ∈ 0a ≥ ( )f x 3 e a 0a ≤ ( ) ( )ln 1f x b x≤ + [ )0,x∈ +∞ b 座 位 号19. （12 分） 20. （12 分）21. （12 分）22.（12 分） 高三第四次月考数学（理科）答案 1.C 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.A 10.D 11.C 12.D 13. 14. 15. 16. 1 1 2 1 2k k −+ 72 3, 2  − − −   1 217.解：（Ⅰ）当 时， ，则 ……………2 分 当 时，由 得， ，解得 ； 当 时， 恒成立； 当 时，由 得， ，解得 ． 所以 的解集为 ．…………………………………………………5 分 （Ⅱ）对任意 ，都存在 ，得 成立，所以 ．…6 分 因为 ，所以 ， 且 ， ① 当 时，①式等号成立，即 ．………………………8 分 又因为 ， ② 当 时，②式等号成立，即 ．……………………………………9 分 所以 ，即 的取值范围为 ．…………………10 分 18. 19. 解：（1）由已知： ①, 得 ② ①－②可得 . 因为 ，所以 检验：由已知 ， ，所以 ， 那么 ，也满足式子 .所以 . 所以 为等差数列，首项为 ，公差为 .于是 . （2）由 ，所以 . 1a = ( ) 1 1f x x x= − + + ( ) 2 , 1, 2, 1 1, 2 , 1. x x f x x x x − < − = − ( )22 2 3 1 2 0a a a− + = − + > 2 2 3a a> − ( ) ( )2 2 2 22 3 2 3 2 3 2 3x a x a x a x a a a a a− + − + − − − + = − + = − +≥ 22 3a x a− ≤ ≤ ( ) 2 min 2 3f x a a= − + 2 2 2 2 4 4 42 4 4 a a ax ax x + + = + + − −   ≥ 2 ax = − ( ) 2 min 4 4 ag x = − 2 2 2 3 4 4 aa a− + > − a ( )2, 2,5  −∞ − +∞   2 1 2( 2, )n n na S S n n N ∗ −= + + ≥ ∈ 2 1 1 2 2( 3, )n n na S S n n N∗ − − −= + + ≥ ∈ 2 2 1 1( 3, )n n n na a a a n n N ∗ − −− = + ≥ ∈ 0na > 1 1( 3)n na a n−− = ≥ 2 2 1 2 1( ) 2a a a a= + + + 1 2a = 2 3a = 2 1 1a a− = 1 1n na a −− = 1 1( 2)n na a n−− = ≥ { }na 2 1 1na n= + 1na n= + (2 1) ( 3) 2 2n n n n nS + + ⋅ += =所以 . 则 . 20. 解：（1）由题： ，所以 , 即 . 所以 . （2）由 ，所以 ， 所以 ，所以， . 设 ，在 中，由 . 中， . 又因为 ,所以 ，即 . 化简可得 ，即 ，则 或 . 又因为 为线段 上一点，所以 且 ，所以 . 21．解：（1）证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，OD． ∵△ABC 是等边三角形，∴OB⊥AC． △ABD 与△CBD 中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD 是直角三角形， ∴AC 是斜边，∴∠ADC=90°． ∴DO= AC． ∴DO2+BO2=AB2=BD2． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD． 又 DO∩AC=O，∴OB⊥平面 ACD． 又 OB⊂平面 ABC， ∴平面 ACD⊥平面 ABC． （2）解：设点 D，B 到平面 ACE 的距离分别为 hD，hE．则 = ． ∵平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， 3 3 1 1 2 ( 3) 3n n b S n n n n = = = −+ + 1 2 3n nT b b b b= + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 5 3 6 4 7 2 1 1 2 3n n n n n n = − + − + − + − + + − + − + −− + − + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( )2 3 4 4 5 6 1 2 3n n n n = + + + + + − + + + + + ++ + +  1 1 1 1 1(1 ) ( )2 3 1 2 3n n n = + + − + ++ + + 11 1 1 1 11( )6 1 2 3 6n n n = − + + 1x < ( ) 0f x′ < 1x > ( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞ ( )f x ( ) 1 31f e e = ≠ 0a > 11 1a − < ( ) 0f x′ > 11 1xa − < < ( ) 0f x′ < 11x a < − 1x > ( )f x 11 ,1a  −   1,1 a  −∞ −   ( )1,+∞ ( )f x ( ) 2 1 31 af e e += = 1a = 1a = ( ) ( )2x xg a e x x a xe− −= + + ( ],0a∈ −∞ [ )0,x∈ +∞ ( )2 0xe x x− + ≥ ( ) ( )ln 1g a b x≤ + ( ],0a∀ ∈ −∞ ( ) ( ) ( )0 ln 1g a g b x≤ ≤ + ( )ln 1xxe b x− ≤ + [ )0,x∈ +∞ 0b ≤ ( )0,x∀ ∈ +∞ ( )ln 1 0b x + < 0xxe− > ( )ln 1xxe b x− > + 0b > ( ) ( ) [ )ln 1 , 0,xh x b x xe x−= + − ∈ +∞则 ，其中 ， ， 令 ， 则 在区间 上单调递增， ① 当 时，则 ， 所以对 ， ， 从而 在 上单调递增， 所以对任意 ， ， 即不等式 在 上恒成立． ② 时， 由 ， 及 在区间 上单调递增，可得 存在唯一的 ，使得 ，且 时， . 从而 时， ，所以 在区间 上单调递减， 所以当 时， ， 即 ，不符合题意． 综上所述 ． ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 x x x x b be xh x e xex x e − − + −= − − + ′ =+ ( )1 0xx e+ > [ )0,x∀ ∈ +∞ ( ) [ )2 1, 0,xp x be x x= + − ∈ +∞ ( )h x [ )0,+∞ 1b≥ ( ) ( )0 1 0p x p b≥ = − ≥ [ )0,x∀ ∈ +∞ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x [ )0,+∞ [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )0 0h x h≥ = ( )ln 1 xb x xe−+ ≥ [ )0,+∞ 0 1b< < ( )0 1 0p b= − < ( )1 0p be= > ( )p x [ )0,+∞ ( )0 0,1x ∈ ( )0 0p x = ( )00,x x∈ ( )0 0p x < ( )00,x x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )00, x ( )00,x x∈ ( ) ( )0 0h x h< = ( )ln 1 xb x xe−+ < 1b≥