江苏省无锡市2019-2020高二上学期期末考试数学试题（Word版附答案）.doc

2019-2020 学年第一学期高二期末考试数学学科试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1．设 ，则下列各不等式一定成立的是 (▲ ) A． B． C． D． 2．已知向量 ＝(0，1，1)， ＝(1，－2，1)．若向量 + 与向量 ＝(m，2，n)平行，则 实数 n 的值是（ ▲） A．6 B．－6 C．4 D．－4 3.已知椭圆 C： ，若长轴长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分，则 此椭圆的标准方程为（ ▲ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上 造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿， 5 人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中 表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ▲ ） A．一鹿、三分鹿之一 B．一鹿 C．三分鹿之二 D．三分鹿之一 5.已知等比数列 为单调递增数列，设其前 n 项和为 ，若 ， ，则 的 值为 （ ▲ ） A．16 B．32 C．8 D． 6.下列不等式或命题一定成立的是( ▲ ) ①lg(x2+ )⩾lg x(x>0); ②sin x+ ⩾2(x≠kπ,k∈Z)； ③x2+1⩾2|x|(x∈R); ④ (x∈R)最小值为 2. 0a b< < 2 2a ab b< < 2 2a ab b> > 2 2a b ab< < 2 2a b ab> > a b a b c ( )012 2 2 2 >>=+ bab y a x 189 22 =+ yx 13236 22 =+ yx 159 22 =+ yx 11216 22 =+ yx { }na nS 22 =a 73 =S 5a 4 1 4 1 xsin 1 2 3 2 2 + += x xyA. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 7． 已知关于 x 的不等式 的解集为空集,则实数 a 的取 值范围是( ▲ ) A. B. C. D. 8. 设 为数列 的前 项和,满足 ，则 （▲　　） A．192 B．96 C．93 D．189 01)2()4( 22 ≥−−+− xaxa ]5 6,2[− )5 6,2[− ]2,5 6(− ),2[]2,( +∞∪−−∞ nS { }na n 32 −= nn aS =6S9.若正数 a、b 满足 ，设 ，则 y 的最大值是 （ ▲ ） A.12 B. -12 C. 16 D. -16 10． 正四面体 ABCD 的棱长为 2，E、F 分别为 BC、AD 的中点，则 的值为（ ▲ ） A．-2 B．4 C．2 D．1 11．已知椭圆 的左右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e,若椭圆上存在点 P,使得 ，则该离心率 e 的取值范围是（ ▲ ） A. B. C. D. 12．当 n 为正整数时，定义函数 表示 n 的最大奇因数。如 ， ， ，则 （ ▲ ） A. 342 B. 345 C. 341 D. 346 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．命题 p：“ ，都有 ”的否定： ▲ . 14．不等式 的解集是___▲_______． 15.已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆 的焦点相同，那么 双曲线的渐近线方程为 ▲ 16．已知 ，那么 的最小值为____▲ ______ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分 10 分） 已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， . 2 2 2 2 1x y a b − = ( ) 52 ++= baab ( )( )babay −−−+= 124 AFAE ⋅ ( )012 2 2 2 >>=+ bab y a x ePF PF = 2 1 [ )1,12 −       1,2 2 ( ]12,0 −       2 2,0 ( )nN ( ) 33 =N ( ) 510 =N ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nNNNNnS 2321 +⋅⋅⋅+++= ( ) =5S 0>∀x 02 ≥− xx 31 >− x x 1925 22 =+ yx ( )1,0,,2 1 ∈= baab ba −+− 1 2 1 1 { }na nS 2552 =+ aa 555 =S（1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和 Tn. ▲▲▲ 18.（本题满分 12 分） 已知 ，函数 . （1）若 对 恒成立，求实数 a 的取值范围。 （2）当 a=1 时，解不等式 . ▲▲▲ 19.（本题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 上的动点 到点 的距离减去 M 到直 线 的距离等于 1. (1)求曲线 C 的方程； (2)若直线 与曲线 C 交于 A，B 两点，求证：直线 FA 与直线 FB 的倾斜角互补. ▲▲▲ { }na 13 1 −= nba nn { }nb Ra ∈ ( ) xaxf 1−= ( ) xxf 2≤ ( )2,0∈x ( ) xxf 2≥ ( )( )0, >xyxM ( )0,2F 1−=x ( )2+= xky20.（本题满分 12 分） 某种汽车购买时费用为 14.4 万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共 0.9 万元，汽车的 维修费为：第一年 0.2 万元，第二年 0.4 万元，第三年 0.6 万元，…，依等差数列逐年递 增． ⑴．设使用 年该车的总费用(包括购车费用)为 f(n)，试写出 f(n)的表达式； ⑵．求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)． ▲▲▲ n21.（本题满分 12 分） 如图 1，在高为 6 的等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 CD=6，AB=12，将它沿对称轴 OO1 折起，使平面 ADO1O⊥平面 BCO1O. 如图 2，点 P 为 BC 中点，点 E 在线段 AB 上(不同于 A,B 两点)，连接 OE 并延长至点 Q，使 AQ∥OB. (1)证明：OD⊥平面 PAQ； (2)若 BE=2AE，求二面角 C−BQ−A 的余弦 值。 ▲▲▲ 22. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C1： ，F 为左焦点，A 为上顶点，B(2,0)为右顶点，若 ，抛物线 C2 的顶点在坐标原点，焦点为 F． (1)求 C1 的标准方程； ( )012 2 2 2 >>=+ bab y a x ABAF 27 = (2)是否存在过 F 点的直线，与 C1 和 C2 交点分别是 P，Q 和 M，N，使得 S△OPQ= S△OMN？ 如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． ▲▲▲ 2 12019-2020 学年第一学期高二期末考试数学学科试题 一、 选择题 B D A B A C C D A D A A 二、 填空题 13. 使得 14. 15. 16. 10 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分 10 分） 已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和 Tn. 17.（1）在等差数列 中， ， ， 解得 ,………………………………………………………………………….3 分 综上所述，数列 的通项公式是 ……………………………………….5 分 （2）由(1)知： ，又因为 ，……………………………………….7 分 ………………………………………………………………..10 分 综上所述，数列 的前 n 项和是 .………………………………………..10 分 ,0>∃x 02 0∴ +2x⩾2 ，当且仅当 =2x，即 x= 时等号成立，…………………….....4 分 ∴a⩽2 …………………………………………………………………………………….....6 分 (2)当 a=1 时，f(x)=1− ，∵f(x)⩾2x，∴1− ⩾2x， ①若 x>0，则 1− ⩾2x 可化为：2x2−x+1⩽0，所以 x∈∅；………………………………...8 分 ②若 x0)到点 F(2,0)的距离减去 M 到直线 x=−1 的距离等于 1， 所以动点 M 到直线 x=−2 的距离与它到点 F(2,0)的距离相等， 故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线 y2=8x. …………..………………………………………….....4 分 (2)证明：设 A(x1,y1),B(x2,y2). 联立 ,得 k2x2+(4k2−8)x+4k2=0,(k≠0). ……………………………………6 分 ∴△>0， , x1x2=4………………………………………………………8 分 ∴直线 FA 与直线 FB 的斜率之和= = = = 因为 x1x2=4∴直线 FA 与直线 FB 的斜率之和为 0， ……………………………………11 分 ∴直线 FA 与直线 FB 的倾斜角互补。……………………………………………………12 分 20.（本题满分 12 分） 【解】 ⑴．依题意 f(n)＝14．4 (0．2 0．4 0．6 … 0．2n) 0．9n…………………2 分 ＝14．4 0．1n(n＋1) 0．9n ＝0．1n2＋n＋14．4，n∈N*……………………………………………5 分(没有定义域扣 1 分) ⑵．设该车的年平均费用为 S 万元，则有 S＝ 1 n f(n)＝ 1 n (0．1n2＋n＋14．4)＝ 1 10n＋14．4 1 n ＋1………………………………………7 分 ∵n 是正整数，故 1 10n＋14．4 1 n ＋1≥2．4＋1＝3．4，……………………………10 分 当且仅当 1 10n＝ 1 n (14．4)，即 n＝12 时，等号成立．………………………………11 分 故汽车使用 12 年报废为宜．……………………………………………………………12 分 21.（本题满分 12 分） (1)解法一(几何法) 证明：取 OO1 的中点为 F,连接 AF,PF; ∴PF∥OB， ∵AQ∥OB,∴PF∥AQ， ∴P、F. A. Q 四点共面， ( )   += = 2 82 xky xy 2 2 21 48 k kxx −=+ 22 2 2 1 1 −+− x y x y ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 − ++− + x xk x xk ( )( ) ( )( ) )2)(2( 2222 21 2121 −− +−+−+ xx xxkxxk ( ) )2)(2( 42 21 21 −− − xx xxk + + + + + + + +又由图 1 可知 OB⊥OO1， ∵平面 ADO1O⊥平面 BCO1O， 且平面 ADO1O∩平面 BCO1O=OO1， ∴OB⊥平面 ADO1O， ∴PF⊥平面 ADO1O， 又∵OD⊂平面 ADO1O， ∴PF⊥OD. ……………………………………………….. 2 分 在直角梯形 ADO1O 中,..,OF=O1D,∠AOF=∠OO1D,∴△AOF≌△OO1D, ∴∠FAO=∠DOO1， ∴∠FAO+∠AOD=∠DOO1+∠AOD=90∘， ∴AF⊥OD. ……………………………………………….. 4 分 ∵AF∩PF=F，且 AF⊂平面 PAQ，PF⊂平面 PAQ， ∴OD⊥平面 PAQ. ……………………………………………….. 6 分 解法二(向量法) 由题设知 OA,OB,OO1 两两垂直,所以以 O 为坐标原点,OA,OB,OO1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设 AQ 的长度为 m， 则相关各点的坐标为 O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0). ∵点 P 为 BC 中点,∴P(0, ,3)， ∴ =(3,0,6), =(0,m,0) =(6,m− ,−3)，………………………………………………………………………….. 2 分 ∵ · =0, · =0 ∴ ⊥ , ⊥ 且 与 不共线，……………………………… ……….4 分 ∴OD⊥平面 PAQ. …………………………………………………………………………... 6 分 2 9 OD AQ PQ 2 9 OD AQ OD PQ OD AQ OD PQ AQ PQ(2)∵BE=2AE,AQ∥OB,∴AQ= OB=3， 则 Q(6,3,0),∴ =(−6,3,0), =(0,−3,6). 设平面 CBQ 的法向量为 =(x,y,z)， ∵ ∴ 令 z=1,则 y=2,x=1,则 =(1,2,1)，…………………………………………………………….. 8 分 又显然,平面 ABQ 的法向量为 =(0,0,1)，……………………………………..…………. 10 分 设二面角 C−BQ−A 的平面角为 θ，由图可知，θ 为锐角， 则 cosθ= = .…………………………………………………..…………………. 12 分 22（本题满分 12 分） (1) 依题意可知 ，即 由右顶点为 B(2,0)，得 a=2，解得 b2=3， 所以 C1 的标准方程为 ．……………………………………………….. 3 分 (2) 依题意可知 C2 的方程为 y2=−4x，………………………………………………..4 分 假设存在符合题意的直线， 设直线方程为 x=ky−1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)， 联立方程组 得(3k2+4)y2−6ky−9=0， 由韦达定理得 y1+y2= ，y1y2= ， 则|y1−y2|= = ，……………………………………………...6 分 2 1 QB BC 1n    =⋅ =⋅ 0 0 1 1 BCn QBn    =+− =+− 063 036 zy yx 1n 2n 21 21 nn nn ⋅ ⋅ 6 6 ABAF 27 = 2227 baa += 134 22 =+ yx    −= =+ 1 134 22 kyx yx 243 6 k k + 243 9 k+ − ( ) 21 2 21 4 yyyy −− 2 2 43 112 k k + +（写出 PQ 长度也可以） 联立方程组 ，得 y2+4ky−4=0， 由韦达定理得 y3+y4=−4k，y3y4=−4， 所以|y3−y4|= = ，………………………………………….... 8 分 （写出 MN 长度也可以） 若 S△OPQ= S△OMN，则 PQ=2MN，…………………………….………………………….. 10 分 则|y1−y2|= |y3−y4|，即 = ，解得 k= ， 所以存在符合题意的直线方程为 x+ y+1=0 或 x− y+1=0．…………………..... 12 分    −= −= 1 42 kyx xy ( ) 43 2 43 4 yyyy −− 14 2 +k 2 1 2 1 2 2 43 112 k k + + 12 2 +k 3 6± 3 6 3 6