2019~2020 学年度高三年级 12 月份月考
应届理科数学试卷
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意)
1． （ ）
A． B． C． D．
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x + 6) = f(x),且y = f(x + 3)为偶函数，若f(x)在
(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是（ ）
A．f( - 4.5) < f(3.5) < f(12.5) B．f(3.5) < f( - 4.5) < f(12.5)
C．f(12.5) < f(3.5) < f( - 4.5) D．f(3.5) < f(12.5) < f( - 4.5)
3、已知两个等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，则使
得 为整数的正整数 的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（ ）
第 4 题图 第 5 题图
A．20cm3 B．24cm3 C． D．
5．已知函数 的部分图象如图所示，且 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
6. 的内角 的对边分别为 ．若 成等比数列，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
7．不等式 （其中 ）对任意实数 恒成立，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 在 内单调递减，则 的取值范围是( ).
A． B． C． D．
9．已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
10．平面内有三个向量 ，其中 与 夹角为 120°， 与 的夹角为 30°，
且 ，若 ，（λ，μ∈R）则（ ）
A．λ=4，μ=2 B． C． D．
11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将
底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的
三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知 平面 ，四边形
为正方形， ， ，若鳖臑 的外接球的体积为 ，则阳马
的外接球的表面积等于
第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图
A． B． C. D.
12.．如图，在 Rt△ABC 中，AC=1，BC=x，D 是斜边 AB 的中点，将△BCD 沿直线 CD 翻折，
若在翻折过程中存在某个位置，使得 CB⊥AD，则 x 的取值范围是（ ）
A．（0， ] B．（ ，2] C．（ ，2 ] D．（2，4]
二、填空题
13．已知函数 ，直线 与 的图象的相邻
两个交点的横坐标分别是 和 ，现有如下命题：
①该函数在 上的值域是 ；
②在 上，当且仅当 时函数取最大值；
③该函数的最小正周期可以是 ； ④ 的图象可能过原点．
其中的真命题有__________．（写出所有真命题的序号）
14．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝－7，S3＝－15.
求 Sn_________
i 1 i =1 i i
−+−
1 1 i2 2
− + 1 1 i2 2
− 3 1 i2 2
− − 1 3 i2 2
− −
{ } { }nn ba 和 n nn TS 和 nn TnSn )237()1 +=+（
n
n
b
a n
316cm
( ) 2sin( )( 0,| | )f x xω ϕ ω ϕ π= + > < ( ,1), ( , 1)2A B
π π − ϕ
5
6
π
6
π
6
π− 5
6
π−
2 3 3 4a a x bx− ≤ + + − [ ]0,1b∈ x a
]( ), 1 4,−∞ − ∪ +∞ [ ]1,4− [ ]1,2 ]( ), 1 2,−∞ − ∪ +∞
( ) ( )
( ) ( )
2 4 3 1
2 3 1 1
x ax xf x a x x
− + 0y > lg 2 lg8 lg 2x y+ = 1 1
3x y
+
2 2
PA ⊥ ABCE
ABCD 2AD = 1ED = P ADE− 7 14
3
π
P ABCD−
18π 17π 16π 15π
π( ) 2 sin(π ) 0, 0, 2f x a x aω ϕ ω ϕ = + ≠ > ≤
y a= ( )f x
2 4
[2,4] [ , 2 ]a a
[2,4] 3x =
8
3
( )f x15．数列 中， ，以后各项由公式 给出，则 等于_____.
16．已知 ， ．若 是 的必要不充分条件，
则实数 的取值范围是__．
三、解答题
17．已知函数 ．
（1）若函数 的图象关于直线 对称，且 ，求函数 的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当 时，函数 有且只有一个零点，求实数 的取值
范围．
18．如图，在直角梯形 中， ， ，且 ．现以
为一边向梯形外作矩形 ，然后沿边 将矩形 翻折，使平面 与平面
垂直．
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 到平面 的距离为 ，求三棱锥 的体积．
19．．已知 x>0，y>0，且 2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy 的最小值；
(2)x＋y 的最小值．
20．在直角梯形 PBCD 中， A 为 PD 的中点，如图．将△PAB
沿 AB 折到△SAB 的位置，使 SB⊥BC，点 E 在 SD 上，且 ，如图．
（Ⅰ）求证：SA⊥平面 ABCD；
（Ⅱ）求二面角 E﹣AC﹣D 的正切值．
21．已知以 为首项的数列 满足： （ ）.
（1）当 时，且 ，写出 、 ；
（2）若数列 （ ， ）是公差为 的等差数列，求 的取值范围；
22 已知函数 f(x)＝λln x－e-x(λ∈R)．
(1)若函数 f(x)是单调函数，求λ的取值范围；
(2)求证：当 00，y>0，
则 1＝8
x
＋2
y
≥2 8
x·
2
y
＝ 8
xy
，得 xy≥64，
当且仅当 x＝4y，即 x＝16，y＝4 时等号成立．.........................................6 分
(2)解法一：由 2x＋8y－xy＝0，得 x＝ 8y
y－2
，
因为 x>0，所以 y>2，
则 x＋y＝y＋ 8y
y－2
＝(y－2)＋ 16
y－2
＋10≥18，
当且仅当 y－2＝ 16
y－2
，即 y＝6，x＝12 时等号成立．........................................12 分
解法二：由 2x＋8y－xy＝0，得8
x
＋2
y
＝1，
则 x＋y＝(8
x
＋2
y)·(x＋y)＝10＋2x
y
＋8y
x
≥10＋2 2x
y ·
8y
x
＝18，当且仅当 y＝6，x＝12 时等号成
立．.........................................12 分
20.
（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中 SA⊥AB①，易证 BC⊥SA②，由①②根据直线与
平面垂直的判定定理可得 SA⊥平面 ABCD；.........................................4 分
nnSn 82 −= 61
16
10, 2
( ) 23sin cos cos 1f x x x x bω ω ω= + + + 3sin 2 6 2x b
πω = + + +
( )f x
6x
π=
2 6 6 2k
π π πω π⋅ + = + k Z∈ [ ]0,3ω ∈ 1ω = k Z∈
2 2 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ + ≤ +
3 6k x k
π ππ π− ≤ ≤ + k Z∈
( )f x ,3 6k k
π ππ π − + k Z∈
( ) 3sin 2 6 2f x x b
πω = + + +
70, 12x
π ∈
42 ,6 6 3x
π π π + ∈
2 ,6 6 2x
π π π + ∈ 0, 6x
π ∈
( )f x
42 ,6 2 3x
π π π + ∈
7,6 12x
π π ∈
( )f x
( )0 3f f
π = 03f
π >
7
12f
π ≥ 06f
π =
( )f x
4 3 5sin sin3 2 6b
π π≤ − − < 31 02 b+ + =
3 3 52, 2 2b
− ∈ − ∪ −
6
1
D FΑ Ε D DΕ ⊥ Α
D FΑ Ε ⊥ CDΑΒ
DΕ ⊥ CDΑΒ D CΕ ⊥ Β
CDΑΒ D 1ΑΒ = Α = CD 2= DC 45∠Β = C 2Β =
CD∆Β D C 2Β = Β = CD 2=
2 2 2D C CDΒ + Β =
C DΒ ⊥ Β
CΒ ⊥ DΒ Ε
DΒΕ ⊥ CΒ Ε
DΕ ⊥ ΒΕ Η DΗ ⊥ CΒ Ε
6D 3
Η =
D∆Β Ε D D DΒ ⋅ Ε = ΒΕ⋅ Η
( )262 D D 23
⋅ Ε = Ε + D 1Ε =
F D FD
1 1 1V V 13 2 6−Β Ε Β−Ε= = × × =（2）（三垂线法）由 考虑在 AD 上取一点 O，使得 ，从而可得 EO∥SA，所以 EO⊥平
面 ABCD，过 O 作 OH⊥AC 交 AC 于 H，连接 EH，∠EHO 为二面角 E﹣AC﹣D 的平面角，在 Rt△AHO
中求解即可
（法二：空间向量法）
（1）同法一
（2）以 A 为原点建立直角坐标系，易知平面 ACD 的法向为 ，求平面 EAC 的法向
量，代入公式求解即可
解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD 为正方形，
所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，
因为 SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B
所以 BC⊥平面 SAB，
又 SA⊂平面 SAB，
所以 BC⊥SA，
又 SA⊥AB，BC∩AB=B
所以 SA⊥平面 ABCD，
（2）在 AD 上取一点 O，使 ，连接 EO
因为 ，所以 EO∥SA
因为 SA⊥平面 ABCD，
所以 EO⊥平面 ABCD，
过 O 作 OH⊥AC 交 AC 于 H，连接 EH，
则 AC⊥平面 EOH，
所以 AC⊥EH．
所以∠EHO 为二面角 E﹣AC﹣D 的平面角， ．
在 Rt△AHO 中，
∴ ，
即二面角 E﹣AC﹣D 的正切值为 .........................................12 分
解法二：（1）同方法一
（2）解：如图，以 A 为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，
0），S（0，0，2），E（0， ）
∴平面 ACD 的法向为 .........................................6 分
设平面 EAC 的法向量为 =（x，y，z），
由 ，
所以 ，可取
所以 =（2，﹣2，1）．.........................................9 分
所以
所以
即二面角 E﹣AC﹣D 的正切值为 .........................................12 分
21.（1） ， ；（2）
【解析】(1)因为以 为首项的数列 满足： ， ， ，
所以 ，所以 ；由 得 ；...........4 分
(2)因为数列 （ ， ）是公差为 的等差数列，
所以 ，所以 ，.......................6 分
所以 ，所以 ，
所以 ， .........................................8 分
故 ，所以 ，
因为 ， .........................................10 分
0
0
n AC
n AE
⋅ = ⋅ =
2
2
3a = − 3
1
3a = − 1 9a ≤ −
1a { }na 1 1n na a+ = + 1
1
3a = − 1 0na− < <
2 1
21 3a a= + = 2
2
3a = − 3 2
11 3a a= + = 3
1
3a = −
{ }na 1 10n≤ ≤ *n N∈ 1−
1 1 1n n na a a+ = − = + ( ) ( )2 21 1n na a− = +
2 2n na a− = 0na ≤
n na a= −
( )1 1na a n− = − − − ( )1 1 0na a n= + − ≤
1 10n≤ ≤所以由题意只需： ，故 ..........................................12 分
22.解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f(x)＝λln x－e-x，∴f′(x)＝λ
x
＋e－x＝λ＋xe－x
x
，
∵函数 f(x)是单调函数，∴f′(x)≤0 或 f′(x)≥0 在(0，＋∞)上恒成立，....2 分
①当函数 f(x)是单调递减函数时，f′(x)≤0，
∴λ＋xe－x
x
≤0，即 λ＋xe－x≤0，λ≤－xe－x＝－x
ex
，
令 φ(x)＝－x
ex
，则 φ′(x)＝x－1
ex
，
当 00 时，φ(x)min＝φ(1)＝－1
e
，∴λ≤－1
e
；.........................................4 分
②当函数 f(x)是单调递增函数时，f′(x)≥0，
∴λ＋xe－x
x
≥0，即 λ＋xe－x≥0，λ≥－xe－x＝－x
ex
，
由①得 φ(x)＝－ x
ex
在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又 φ(0)＝0，x→＋∞
时，φ(x)ln x1－ln x2.
要证 e1-x2－e1-x1>1－x2
x1.只需证 ln x1－ln x2>1－x2
x1
，即证 ln x1
x2>1－x2
x1
，
令 t＝x1
x2
，t∈(0,1)，则只需证 ln t>1－1
t
，.........................................10 分
令 h(t)＝ln t＋1
t
－1，则当 0
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