2019～2020 学年度高三年级 12 月份月考卷
应届数学试卷
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意)
1．设全集 ，集合 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．设复数 （其中 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．双曲线푥2
푎2 ― 푦2
푏2 = 1 (푎 > 0, 푏 > 0)的离心率为 3，则其渐近线方程为
A．푦 =± 2푥 B．푦 =± 3푥 C．푦 =± 2
2 푥 D．푦 =± 3
2 푥
5．设向量 满足 ，且 与 的夹角为 ，则 =（ ）
A．2 B．4 C．12 D．
6．已知椭圆 的一条弦所在的直线方程是 弦的中点坐标
是 则椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
7．已知 、 为双曲线 C： 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ P = ，则
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．过抛物线 的焦点作两条垂直的弦 ,则 （ ）
A． B． C． D．
9、一个几何体的三视图如图所示，
则这个几何的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
10、下面四个推理,不属于演绎推理的是( )
A. 因为函数 的值域为[−1,1], ,所以 的值域也
为[−1,1]
B. 昆虫都是 6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有 6 条腿
C. 在平面中,对于三条不同的直线 a,b,c,若 a∥b,b∥c 则 a∥c，将此结论放到空间中也是如此
D. 如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他
的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六
尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论
11、已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,若在直线 上存在点
使线段 的中垂线过点 ,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
12、定义在 R 上的函数 满足 且对任意的不相等的实数
， 成立，若关于 的不等式
上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13、若实数 满足约束条件 则 的最大值是
14．记 为数列 的前 项和.若 ，则 _____________．
15、已知函数 则曲线 在点 处的切线方程是
16、设 分别是椭圆 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 的坐标为(6,4),
则 的最大值为
nS { }na n 2 1n nS a= + 6S =
U = R { }2lg( 1)M x y x= = − { }0 2N x x= < < ( )RC M N =
{ }2 1x x− ≤ ≤ { }0 1x x< ≤ { }1 1x x− ≤ ≤ { }1x x <
3.1 0.2
0.50.2 , 3.1 , log 3.1a b c= = = , ,a b c
a b c> > b a c> > a c b> > b c a> >
2
1
iz i
= + i z
a b， ( )1 1 3a b= = ， ， a b
3
π
2a b+
2 3
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 5 0,x y− + =
( )4,1 ,M −
1
2
2
2
3
2
5
5
1F 2F 2 2 1x y− = 1F 2F 060
1 2·PF PF =
2 4y x= ,AB CD 1 1
AB CD
+ =
2 4 1
2
1
4
π638 + 3
1638
π+
π63
332 +
3
16
3
332 π+
)(sin Rxxy ∈= Rx ∈−12 ))(12sin( Rxxy ∈−=
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
.21, FF ax 2= P
1PF 2F
3
20，
1,3
2
2
10，
1,2
1
)(xf ),() xfxf =−（
[ )有+∞∈ ,0, 21 xx 0)()(
21
21 b>0)的离心率为 ，F 是椭圆 E 的右焦
点，直线 AF 的斜率为 ，O 为坐标原点.
(1)求 E 的方程；
(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方程
22、已知
(1)讨论 的单调区间；
(2)若 上单调递减，
求整数 的最大值
, ,a b c 2sin( ) 8sin 2
BA C+ =
cos B
6a c+ = ABC∆ b
{ }na { }nb 1 1 1a b= = 3 5 21a b+ =
5 3 13a b+ =
{ }na { }nb
n
n
n
ac b
= { }nc n nS
,60,0 ODABBDAC =∠=
//,2 FCABEDEA ===
;BEAD⊥
⊥AED ABCD BCDF −
2 4C y x=： F F ( 0)k k > l C A B
| | 8AB =
l
A B C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 3
2
2 3
3
.,ln)( Raxaxxf ∈−= 其中
)(xf
),1()()(2),122
12)( 223 +∞+=+−
++−= 在（且 xgxfxxFaxxaaxxg
a12 月份应届文科数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B A A D C B D A C B D
二、填空题
13、 9 14、 15、 16、 15
三、问答题
17．（1） ；（2）2．
试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知 ，再利用诱导公式化简 ，
利用降幂公式化简 ，结合 ，求出 ；（2）由（1）可知 ，
利用三角形面积公式求出 ，再利用余弦定理即可求出 .
试题解析：（1） ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）由（1）可知 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
18．(1) ， ;(2) .
【详解】(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以有 ，所以
， .
(2)因为 ， .，所以 ，
因此 ①，
②，①—②得：
，
.
20 、 解 ： （ 1 ） 由 题 意 得 ， l 的 方 程 为 . 设 ， 由
得 . ，故 .
所以 .由题设知 ，解得 （舍
去）， .因此 l 的方程为 .
（2）由（1）得 AB 的中点坐标为 ，所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即
.
63− 0)12( =−+− yx
15
17
A C Bπ+ = − ( )sin A C+
28sin 2
B 2 2sin cos 1B B+ = cos B 8sin 17B =
ac b
( ) 2sin 8sin 2
BA C+ = ( )sin 4 1 cosB B= − 2 2sin cos 1B B+ =
( )2 216 1 cos cos 1B B− + = ( )( )17cos 15 cos 1 0B B− − = 15cos 17B =
8sin 17B =
1 sin 22ABCS ac B
= ⋅ = 17
2ac =
( )22 2 2 2 2 2 217 152 cos 2 15 2 15 36 17 15 42 17b a c ac B a c a c a c ac= + − = + − × × = + − = + − − = − − =
2b =
2 1na n= − 12n
nb −= 16 (4 6) ( )2
n
nS n= − + ⋅
{ }na d { }nb ( 0)q q >
3 5 21a b+ = 5 3 13a b+ =
4
2
21 2 21
21 4 13
dd q
qd q
= + + = ⇒ =+ + =
2 1na n= − 12n
nb −=
2 1na n= − 12n
nb −= 11(2 1) ( )2
nn
n
n
ac nb
−= = − ⋅
0 1 2 11 1 1 11 ( ) 3 ( ) 5 ( ) (2 1) ( )2 2 2 2
n
nS n −= × + × + × + + − ⋅
1 2 31 1 1 1 11 ( ) 3 ( ) 5 ( ) (2 1) ( )2 2 2 2 2
n
nS n= × + × + × + − ⋅
0 1 2 11 1 1 1 1 11 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) (2 1) ( )2 2 2 2 2 2
n n
nS n−= × + × + × + ⋅ − − ⋅
1
2 1
1 1[1 ( ) ]1 1 1 1 1 1 12 21 2[ ( ) ( ) ] (2 1) ( ) 1 2 (2 1) ( )12 2 2 2 2 2 21 2
n
n n n
n nS n S n
−
−
−
= + + + + − − ⋅ ⇒ = + × − − ⋅ ⇒
−
16 (4 6) ( )2
n
nS n= − + ⋅
(1,0)F ( 1)( 0)y k x k= − > 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B
2
( 1),
4
y k x
y x
= −
=
2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 216 16 0k∆ = + > 1 2
2
2
2 4
kx kx
++ =
1 2
2
2
4 4| | | | | | ( 1) ( 1)x kAB AF BF kx
+= + = + + + =
2
2
4 4 8k
k
+ = 1k = −
1k = 1y x= −
(3,2) 2 ( 3)y x− = − −
5y x= − +设所求圆的圆心坐标为 ，则
解得 或
因此所求圆的方程为 或 .
21．（1） （2）
试题解析：（1）设 ，因为直线 的斜率为 ，
所以 ， . 又 解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）解：设 由题意可设直线 的方程为： ，
联立 消去 得 ，
当 ，所以 ，即 或 时
.所以
点 到直线 的距离
所以 ，设 ，则 ，
，当且仅当 ，即 ，
解得 时取等号，满足
所以 的面积最大时直线 的方程为： 或 .
0 0( , )x y
0 0
2
2 0 0
0
5,
( 1)( 1) 16.2
y x
y xx
= − + − ++ = +
0
0
3,
2
x
y
=
=
0
0
11,
6.
x
y
=
= −
2 2( 3) ( 2) 16x y− + − = 2 2( 11) ( 6) 144x y− + + =
2
2 14
x y+ = 7 22y x= ± −
( ),0F c AF 2 3
3
( )0, 2A −
2 2 3
3c
= 3c = 2 2 23 ,2
c b a ca
= = − 2, 1a b= =
E
2
2 14
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y l 2y kx= −
2
2 1{ 4
2,
x y
y kx
+ =
= −
， y ( )2 21 4 16 12 0k x kx+ − + =
( )216 4 3 0k∆ = − > 2 3
4k > 3
2k < − 3
2k >
1 2 1 22 2
16 12,1 4 1 4
kx x x xk k
+ = =+ + ( )22
1 2 1 21 4PQ k x x x x= + + −
2
2
2 2
16 481 1 4 1 4
kk k k
= + − + +
2 2
2
4 1 4 3
1 4
k k
k
+ −= +
O l 2
2
1
d
k
=
+
2
2
1 4 4 3
2 1 4OPQ
kS d PQ k∆
−= = +
24 3 0k t− = > 2 24 3k t= +
2
4 4 4 144 2 4OPQ
tS t t t
∆ = = ≤ =+ + 2t = 24 3 2k − =
7
2k = ± 2 3
4k >
OPQ∆ l 7 22y x= − 7 22y x= − −
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