数 学 试 题
2019.12
1．已知集合 U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝ ．
2．若复数 z＝i（3﹣2i）（i 是虚数单位），则 z 的模为 ．
3．直线 l1：x﹣1＝0 和直线 l2： x﹣y＝0 的夹角大小是 ．
4．我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不
竭．”其含义是：一根
尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的
长度记为 1 个单位，则
第 n 天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为 an，则 an＝ ．
5．已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，角 α 的终边与单位圆的交点坐
标是（ ， ），则 sin2α＝ ．
6．已知正四棱柱底面边长为 2 ，体积为 32，则此四棱柱的表面积为 ．
7．设 x，y∈R+，若 4x 1．则 的最大值为 ．
8．已知数列{an}中，a1＝1，an﹣an﹣1 （n∈N*），则 an＝ ．
9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 A、B、C 三个不同的乡镇中
学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，
则不同的分配方案共有 种．
10．已知对于任意给定的正实数 k，函数 f（x）＝2x+k•2﹣x 的图象都关于直线 x＝m 成轴对
称图形，则 m＝ ．
11．如图，一矩形 ABCD 的一边 AB 在 x 轴上，另两个顶点 C、D 在函数 f（x） ，x＞
0 的图象上，则此矩形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ．12．已知点 P 在双曲线 1 上，点 A 满足 （t﹣1） （t∈R），且 • 60，
（0，1），则| |的最大值为 ．
13．使得（3x ）n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的 n 为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
14．对于两条不同的直线 m，n 和两个不同的平面 α，β，以下结论正确的是（ ）
A．若 m⊊α，n∥β，m，n 是异面直线，则 α，β 相交
B．若 m⊥α，m⊥β，n∥α，则 n∥β
C．若 m⊊α，n∥α，m，n 共面于 β，则 m∥n
D．若 m⊥α，n⊥β，α，β 不平行，则 m，n 为异面直线
15．过抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和 CD，则 的值为
（ ）
A． B． C．2p D．
16．设等比数列{an}的公比为 q，其前 n 项之积为 Tn，并且满足条件： a1＞1，a2019a2020＞
1， 0，给出下
列结论：①0＜q＜1；②a2019a2021﹣1＞0；③T2019 是数列{Tn}中的最大项；④使 Tn＞1
成立的最大自然数等于 4039，其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
17．（14 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，E 是 PC
的中点，已知 AB＝2，AD＝2 ，PA＝2，求：
（1）三角形 PCD 的面积；
（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小．18．（14 分）已知向量 （ cosωx，sinωx）， （cosωx，cosωx）其中 ω＞0，记 f（x）
• ．
（1）若函数 f（x）的最小正周期为 π，求 ω 的值；
（2）在（1）的条件下，已知△ABC 的内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 f
（ ） ，且 a＝4，b+c＝5．求△ABC 的面积．
19．（14 分）某企业生产的产品具有 60 个月的时效性，在时效期内，企业投入 50 万元经销
该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的 10%再投入到次月的经营中，市
场 调 研 表 明 ， 该 企 业 在 经 销 这 个 产 品 的 第 n 个 月 的 利 润 是 f （ n ）
（单位：万元）．记第 n 个月的当月利润率为 g（n）
，例 g（3） ．
（1）求第 n 个月的当月利润率；
（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润
率．
20．（16 分）已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 上的点到两个焦点的距离和为 10，椭圆 C 经过点
（3， ）．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过椭圆 C 的右焦点 F 作与 x 轴垂直的直线 l1，直线 l1 上存在 M、N 两点满足 OM⊥
ON，求△OMN 面积的最小值．（3）若与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 x 轴于定点 M，线段 AB 的垂
直平分线交 x 轴于点 N，且 为定值，求点 M 的坐标．
21．（18 分）已知函数 f（x）的定义域为[0，2]．且 f（x）的图象连续不间断，若函数 f（x）
满足：对于给定的实数 m 且 0＜m＜2．存在 x0∈[0，2﹣m]，使得 f（x0）＝f（x0+m），则
称 f（x）具有性质 P（m）．
（1）已知函数 f（x） ，判断 f（x）是否具有性质 P（ ），并说明
理由；
（2）求证：任取 m∈（0，2）．函数 f（x）＝（x﹣1）2，x∈[0，2]具有性质 P（m）；
（3）已知函数 f（x）＝sinπx，x∈[0，2]，若 f（x）具有性质 P（m），求 m 的取值范
围．1．∵集合 U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}
∴A∪B＝{1，3，9}
∴∁U（A∪B）＝{5}，
答案{5}．
2．复数 z＝i（3﹣2i）＝3i+2，
则|z| ．
答案：13．
3．∵直线 l1：x﹣1＝0 的倾斜角为 ，直线 l2： x﹣y＝0 的斜率为 ．倾斜角为 ，
故直线 l1：x﹣1＝0 和直线 l2： x﹣y＝0 的夹角大小为 ，
答案：6．
4．依题意，第 1 天“日取其半”后 a1 ；
第 2 天“日取其半”后 a2 ；
第 3 天“日取其半”后 a3 ；、
……
∴第 n 天“日取其半”后 an ，
答案： ．
5．角 α 的终边与单位圆的交点坐标是（ ， ），
所以 ， ，所以 ．
答案：
6．设正四棱柱的高为 h，由底面边长为 a＝2 ，体积为 V＝32，
则 V＝a2h，即 h 4；
所以此四棱柱的表面积为：
S＝S 侧面积+2S 底面积
＝4×4×2 2×2 2
＝32 16．
答案：16+322．
7．∵4x 1，x，y∈R+，
∴ ， 即 ， 当 且 仅 当
“ ”时取等号，
答案：116．
8．数列{an}中，a1＝1，an﹣an﹣1 （n∈N*），
可得 a2﹣a1 ，a3﹣a2 ，a4﹣a3 ，…an﹣an﹣1 ，
累加可得：an＝1 ，
则 an＝1 ．答案：54．答案 ．
9．根据题意，分 2 步进行分析：
①，在三个中学中任选 1 个，安排甲乙两人，有 C31＝3 种情况，
②，对于剩下的三人，每人都可以安排在 A、B、C 三个不同的乡镇中学中任意 1 个，则
剩下三人有 3×3×3＝27 种不同的选法，
则有 3×27＝81 种不同的分配方法；
答案：81
10．由题意可知，k＞0，函数 f（x）＝2x+k•2﹣x 的图象都关于直线 x＝m 成轴对称图形，
则 f（m+x）为偶函数，关于 y 轴对称，
故 f（m﹣x）＝f（m+x）恒成立，
∴2m﹣x+k•2﹣（m﹣x）＝2m+x+k•2﹣（m+x），
∵对于任意 x∈R 成立，故 2m﹣k•2﹣m＝0，
∴m
答案：
11．由 y＝f（x）=1+2 ，当且仅当 x＝1 时取等号，
得 x ；
又矩形绕 x 轴旋转得到的旋转体是圆柱，
设 A 点的坐标为（x1，y），B 点的坐标为（x2，y），
则圆柱的底面圆半径为 y，高为 h＝x2﹣x1，
且 f（x1） ，f（x2） ，
所以 ，
即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，
所以 x2•x1＝1，所以 h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1 ）2﹣4 4，
所以 h ，
所以 V 圆柱＝πy2•h＝πy π•
π•（ ） π，当且仅当 y 时取等号，
故此矩形绕 x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 ．
答案： ．
12．∵ （t﹣1） ，∴ ，
则 ，∴ ，
设 A（xA，yA），P（xP，yP），
∴（xA，yA）＝t（xP，yP），
则 ，即 ，将点（ ）代入双曲线中得：
，∴ ①，
∵ • 60，∴| |•| |
＝|t|• 60…②，
由①②得 60＝|t|• |t|• ，
∴|yA|≤8，∴| |＝|yA|≤8．
则| |的最大值为 8．
答案：8．
13．（3x ）n 的展开式的通项公式为：Tr+1 ，
令 n ，可得 n ，
∴当 r＝2 时，n 取得最小值为 5，
答案：B．
14．若 m⊊α，n∥β，m，n 是异面直线，则 α，β 相交或平行，故 A 错误；
若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β，由 n∥α，则 n∥β 或 n⊂β，故 B 错误；
若 m⊊α，n∥α，m，n 共面于 β，则 m∥n，故 C 正确；
若 m⊥α，n⊥β，α，β 不平行，则 m，n 为异面直线或相交，故 D 错误．
答案：C．
15．抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（ ），所以设经过焦点直线 AB 的方程为 y＝
k（x ），
所以 ，整理得 ，设点 A（x1，y1），
B（x2，y2），
所以 ，所以 ，
同理设经过焦点直线 CD 的方程为 y （x ），所以 ，整理得 ，
所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以 ，
则则 ．
答案：D．
16．∵a1＞1，a2019a2020＞1， 0，
∴a2019＞1，a2020＜1．
∴0＜q＜1，故①正确；
a2019a2021 1，∴a2019a2021﹣1＜0，故②不正确；
∵a2020＜1，∴T2019 是数列{Tn}中的最大项，故③正确；
T4039＝a1a2•…•a4038•a4039 1，
T4038＝a1a2•…•a4037•a4038 1，
∴使 Tn＞1 成立的最大自然数等于 4038，故④不正确．
∴正确结论的序号是①③．
答案：B．
17．（1）∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂底面 ABCD，
∴CD⊥PA．
∵矩形 ABCD 中，CD⊥AD，而 PA、AD 是平面 PAD 的交线．
∴CD⊥平面 PDA，
∵PD⊂平面 PDA，∴CD⊥PD，三角形 PCD 是以 D 为直角顶点的直角三角形．
∵Rt△PAD 中，AD＝2 ，PA＝2，
∴PD 2 ．
∴三角形 PCD 的面积 S PD×DC＝2 ．（2）[解法一]
如图所示，建立空间直角坐标系，可得 B（2，0，0），C（2，2 ，0），E（1，
，1）．
∴ （1， ，1）， （0，2 ，0），
设 与 夹角为 θ，则 cosθ ，
∴θ ，由此可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为 ．
[解法二]
取 PB 的中点 F，连接 AF、EF、AC，
∵△PBC 中，E、F 分别是 PC、PB 的中点，
∴EF∥BC，∠AEF 或其补角就是异面直线 BC 与 AE 所成的角．
∵Rt△PAC 中，PC 4．
∴AE PC＝2，
∵在△AEF 中，EF BC ，AF PB
∴AF2+EF2＝AE2，△AEF 是以 F 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠AEF ，可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为 ．18 ． （ 1 ）
，
∴ ，
∵f（x）的最小正周期为 π，且 ω＞0，
∴ ，解得 ω＝1；
（2）由（1）得 ，
∵ ，
∴ ，由 0＜A＜π 得， ，
∴ ，解得 ，
由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即 16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，且 b+c＝5，
∴16＝25﹣3bc，∴bc＝3，
∴ ．
19．（1）依题意得 f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（9）＝f（10）＝10，
当 n＝1 时，g（1） ，当 1＜n≤10，n∈N*时，f（1）＝f（2）＝…＝f（n﹣1）＝
10，则 g（n） ，
n＝1 也符合上式，故当 1≤n≤10，n∈N*，g（n） ，当 11≤n≤60，n∈N*时，
g （ n ）
，
所以第 n 个月的当月利润率为 g（n） ；
（2）当 1≤n≤10，n∈N*，g（n） 是减函数，此时 g（n）的最大值为 g（1）
，当 11≤n≤60，n∈N*时，
g（n） ，
g（n）在 11≤n≤33，n∈N*单调递增，g（n）在 34≤n≤60，n∈N*单调递减，
当且仅当 n ，即 n 时，g（n）有最大值，又 n∈N*，
g（33） ，g（34） ，
因为 ，所以当 n＝33 时，g（n）有最大值 ，
即该企业经销此产品期间，第 33 个月利润最大，其当月利润率为 ．
20．（1）设椭圆的方程为 ，椭圆 C 上的点到两个焦点的距离和为 10，
所以 2a＝10，a＝5，又椭圆 C 经过点（3， ），代入椭圆方程，求得 b＝4，
所以椭圆的方程为： ；
（2）设 M（3，yM），N（3，yN），F（3，0），
由 OM⊥ON，所以 ，
，故△OMN 面积的最小值为 9；
（3）设直线 l 的方程为：y＝kx+m，则点 M（ ），
联立 ，消去 y 得（25k2+16）x2+50kmx+25m2﹣400＝0，
， ，
所以|AB| ，
则 AB 的中点 P 的坐标为（ ），又 PN⊥AB，得 ，
则直线 PN 的方程为：y m ，
令 y ＝ 0 ， 得 N 点 的 坐 标 为 （ ） ， 则
|MN| ，
所以 ，当且仅当 时，比值为定值，此时点 M（ ），为 M（±3，0），
故 M（﹣3，0）或（3，0）．
21．（1）f（x）具有性质 P（ ），
设 x0∈[0， ]，令 f（x0）＝f（x0 ），则（x0﹣1）2＝（x0 ）2，
解得 x0 ，又 ∈[0， ]，所以 f（x）具有性质 P（ ）；
（2）任取 x0∈[0，2﹣m]，令 f（x0）＝f（x0+m），则（x0﹣1）2＝（x0+m﹣1）2，
因为 m≠0，解得 x0 1，又 0＜m＜2，所以 0 1＜1，
当 0 ＜ m ＜ 2 ， x0 1 时 ，（ 2 ﹣ m ） ﹣ x0 ＝ （ 2 ﹣ m ） ﹣ （ 1 ） ＝ 1
1＞0，
即 0 1＜2﹣m，即任取实数 m∈（0，2），f（x）都具有性质 P（m）；
（3）若 m∈（0，1]，取 x0 ，则 0 且 2﹣m 0，故 x0∈[0，
2﹣m]，
又 f（x 0）＝sin（ ），f（x 0+m）＝sin（ ）＝sin（ ）＝f
（x0），所以 f（x）具有性质 P（m）；
假设存在 m∈（1，2）使得 f（x）具有性质 P（m），即存在 x0∈[0，2﹣m]，使得 f（x0）＝
f（x0+m），
若 x0＝0，则 x0+m∈（1，2），f（x0）＝0，f（x0+m）＜0，f（x0）≠f（x0+m），
若 x0∈（0，2﹣m]，则 x0+m∈（m，2]，进而 x0∈（0，1），x0+m∈（1，2]，f（x0）＞0，f
（x0+m）≤0，
f（x0）＝f（x0+m），所以假设不成立，所以 m∈（0，1]．
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