2020年1月浙江省普通高中学业水平考试
数学仿真模拟试题C· 解析版
选择题部分
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求
的，不选、多选、错选均不得分）
1．已知全集 ，集合 ， ，则 =
A． B． C． D．
1．【答案】D
【解析】由已知得 ，所以 ，故选D．
2．函数 的定义域为
A．（–1，+∞） B．（–1，0） C．（0，+∞） D．（–1，0）∪（0，+∞）
2．【答案】D
【解析】由题可知 ， ， ，故选D.
3．已知向量 ，若 （λ∈R），则m=
A．−2 B． C． D．2
3．【答案】C
【解析】∵向量 ， （λ∈R），
∴ ＝λ ，∴ ，∴m＝ ，故选C．
4．在等比数列 中， ，则 =
A．8 B．10 C．14 D．16
4．【答案】D
【解析】设等比数列的公比为 ，由 ，可得 ，又 ，所以
，化简得 ，所以 ，
所以 .故选D.
5．函数 的图象大致是
{1,2,3,4,5,6}U = {1,2,4,6}A = {4,5}B = ( )U A B
{4} {5} {3,5} {3,4,5}
={3 5}U A ， ( ) ={3 4 5}U A B ，，
ln( 1)( ) xf x x
+=
1 0
0
x
x
+ >
≠
1
0
x
x
> −∴ ≠
( ) ( )1,0 0,x∴ ∈ − +∞
( 1,2), ( , 1)m= − = −a b λ=a b
1
2
− 1
2
( 1,2), ( , 1)m= − = −a b λ=a b
( )1 2− ， ( )1m −， 1
2
mλ
λ
− =
= −
1
2
{ }na 1 3 52, 12a a a= + ＝ 7a
q 3 5 12a a+ = 2 4
1 1 12a q a q+ = 1 2a =
4 2 6 0q q+ − = 2 2( 3)( 2) 0q q+ − = 2 2q =
6
7 1a a q= 32 2 16= × =
2
2( ) 1
xf x x
= −A． B．
C． D．
5．【答案】A
【解析】∵函数f（x） ，∴当x 时，f（x）>0，故D错误；
x>1时，f（x） > (2,0)A (0, 1)B −
3 2 3 5 2 5
2a = 1b = 4 1 3c = − = 2 2 3c =
a b α a b∥
a α∥ b α∥ a α∥ b α⊂
a α⊥ b α⊥ a b α
a b∥ a α∥ b α∥ b α⊂
a b∥ a α∥ b α∥ b α⊂
a b∥ a α⊥ b α⊥
a b∥ a b α
ABC△ π
4A = 5a = 2b = ABC△
1
2
3
2
1
2
2
2
3
211．【答案】D
【解析】利用余弦定理得到： 或 （舍去），
∴ .故选D.
12．在正三棱锥 中， ，则侧棱 与底面 所成角的正弦值为
A． B． C． D．
12．【答案】B
【解析】连接P与底面正△ABC的中心O，因为 是正三棱锥，所以 平面 ，所以
为侧棱 与底面 所成角，
因为 ，所以 ，所以 ，故选
B．
13．过双曲线 的左焦点作倾斜角为 的直线 ，若 与 轴的交点坐标为
，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
13．【答案】A
【解析】由题意设直线 的方程为 ，令 ，得 ，所以 ，所以
，所以 .故选A.
14．设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是
A． B．
C． D．
14．【答案】B
【解析】由函数 的解析式可得：函数 的定义域为 又 ，则函数
为偶函数，当 时， ，易得函数 在 上为增函数，又
2 2 2 22 cos , 5 2 2 , 3a b c bc A c c c= + − ∴ = + − ∴ = 1c = −
1 3sin2 2ABCS bc A= =△
P ABC− 4, 3PA AB= = PA ABC
1
4
15
4
1
8
63
8
P ABC− PO ⊥ ABC
PAO∠ PA ABC
4, 3PA AB= =
2 3 3 13 2cos 4 4
AOPAO PA
× ×
∠ = = =
15sin 4PAO∠ =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 30° l l y
(0, )b
6
2
5
2 2 3
l 3 ( )3y x c= + 0x = 3
3y c= 3
3 c b=
2 2 2 2 2 23 2a c b b b b= − = − =
2
2
61 2
be a
= + =
2
1( ) lg | | 1f x x x
= − + 5(log ) 0f m ≥ m
1[ ,5]5
1(0, ] [5, )5
+∞
1( , ] [5, )5
−∞ +∞
1( ,0] [ ,5)5
−∞
( )f x ( )f x { | 0},x x ≠ ( ) ( )f x f x= −
( )f x 0x > 2
1( ) lg 1f x x x
= − + ( )f x (0, )+∞，所以 等价于 ，即 ，即 ，故
选B．
15．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为 的正方形及正方形内一
段圆弧组成，则这个几何体的表面积是
A． B． C． D．
15．【答案】C
【解析】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉 个球而形成的，所以它的表面
积为 .故选C.
16．等差数列 中，公差 ，当 时，下列关系式正确的是
A． B． C． D．
16．【答案】B
【解析】设 ，因为 ，
，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 .故选B．
17．若函数 没有零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
17．【答案】A
(1) 0f = 5(log ) 0f m ≥ 5(| log |) (1)f m f≥ 5log 1m ≥ 1(0, ] [5, )5m∈ +∞
a
2π(3 )4 a− 2π(6 )2 a− 2π(6 )4 a− 23π(6 )4 a−
1
8
2
2 2 2 2π 1 π3 3 4π (6 )4( ) 8 4
aS a a a a= + − + × = −
{ }na 0d ≠ 1( )n n ∗> ∈N
1 1 2n na a a a+ > 1 1 2n na a a a+ < 1 1 2n na a a a+ = 1 1 2n na a a a+ ≥
( )1 1na a n d+ −= ( ) 2
1 1 1 1 1 1na a a a nd a na d+ = + = +
( ) ( )( ) ( )2 2
2 1 1 1 11 1na a a d a n d a na d n d= + + − = + + − ( ) 2
1 1 2 1n na a a a n d+ − = − −
1, 0n d> ≠ 1 1 2 0n na a a a+ − < 1 1 2n na a a a+ <
( ) | 2 | | 2 1|f x x x ax= − + − − a
33 2a− ≤ < 3 1a− ≤ < 3 32a a≥ < −或 1 3a a≥ < −或【解析】因为函数 没有零点，所以方程 无实根，即
函数 与 的图象无交点，如图所示，则 的斜率 应满足
，故选A.
18．若正方体 的棱长为 ，点 ， 在 上运动， ，四面体 的
体积为 ，则
A． B． C． D．
18．【答案】C
【解析】正方体 的棱长为 ，点 ， 在 上运动， ，如图所示：
点 到平面 的距离 ＝ ，且 ，所以 ，所以
三棱锥 的体积 ＝ ，利用等体积法得
.故选C．
非选择题部分
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
19．已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 _________， ________.
19．【答案】 ；
【解析】由题得 ；
( ) | 2 | | 2 1|f x x x ax= − + − − | 2 | | 2 1|x x ax− + − =
( ) | 2 |2 1g x x x= − + − ( )h x ax= ( )h x a
33 2a− ≤ <
1 1 1 1ABCD A B C D− a M N AC MN a= 1 1M B C N−
V
32
6V a= 32
6V a> 32
12V a= 32
12V a<
1 1 1 1ABCD A B C D− a M N AC MN a=
1B 1MNC 1 1
1
2d B D= 2
2 a MN a=
1
2
1
1 1
2 2MNCS MN CC a= ⋅ =△
1 1B C MN−
1 1B C NMV −
1
2 31 1 1 2 2
3 3 2 2 12MNC
aS d a a× × = × × =△
1 1 1 1
32
12M B C N B C NMV V a− − ==
| | 2=a | | 4=b a b 120° ⋅ =a b | |+ =a b
4− 2 3
2 4 cos120 4⋅ = × × = −a b.
故答案为 ； .
20．若 ，那么 的最小值是________.
20．【答案】
【解析】 ，即 ， ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值是 ，故答案为 .
21．已知 且 ，设函数 的最大值为1，则实数 的取值范围是________.
21．【答案】
【解析】由题意知，函数 在 上单调递增，且 ，
由于函数 的最大值为 ，
则函数 在 上单调递减且 ，
则有 ，即 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 ，故答案为 .
22．在数列 中，已知 ， ，记 ， 为数列 的
前 项和，则 ________.
22．【答案】
【解析】由 得 ，
∴ ，∴ ，
令 ，则 ，∴ ，由累乘法得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
2 1( ) 4 16 2 2 4 ( ) 2 32
+ = + = + + × × × − =a b a b
4− 2 3
2 2log log 1m n+ = m n+
2 2
2 2log log 1m n+ = 2log 1mn = 2mn∴ =
2 2 2m n mn+ ≥ = 2m n= =
m n+ 2 2 2 2
0a > 1a ≠ 2, 3( ) 2 log , 3a
x xf x x x
− ≤= + >
a
1[ ,1)3
( )y f x= ( ],3−∞ ( )3 1f =
( ) 2, 3
2 log , 3a
x xf x x x
− ≤= + > 1
( ) 2 logaf x x= + ( )3,+∞ 2 log 3 1a
+ ≤
0 1
2 log 3 1a
a<
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