浙江省2020年1月普通高中学业水平考试数学模拟试卷B（Word版含解析）.doc

2020年1月浙江省普通高中学业水平考试 数学仿真模拟试题B· 解析版 选择题部分 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求 的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 1．【答案】C 【解析】易得 ， ， 所以 .故选C． 2．已知 ， 是实数，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也不必要条件 2．【答案】B 【解析】当 ， 时， ，但不满足 ，故不是充分条件； 由不等式的性质可知， 由 可得 ，故是必要条件.故选B． 3．设函数 ，则 A．−1 B．0 C．1 D．3 3．【答案】B 【解析】因为 ，所以 ，故选B． 4．设 是双曲线 上的动点，则 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为 A．4 B． C． D． 4．【答案】A 【解析】由题得 .由双曲线的定义可知 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为 .故选A. *{ | 0 5, }A x x x= < < ∈N 2{ | 6 0}B x x x= − − = A B = { |1 3}x x< < { | 0 3}x x< < {3} {1,2,3} { } { }2 6 0 2,3B x x x= − − = = − { } { }*0 5, 1,2,3,4A x x x= < < ∈ =N { } { } { }1,2,3,4 2,3 3A B = − =  a b 5a b+ > 2 3 a b >  > 1a = 5b = 5a b+ > 2 3 a b >  > 2 3 a b >  > 2 3 5a b+ > + = 1, 1( ) , 1 x xf x x x  − ≥=  − ω 5 π ω = 2π | |T ω= 0>ω 2π 10π 5 ω = = 1 20202019a = 2019log 2020b = 2020 1log 2019c = c b a> > b c a> > a b c> > a c b> > 1 202 00 2019019 12a >= = 2019 2019log 2020 log 2019 10 b< < == 2020 2020 1log log 1 02019c = < = a b c> > | 1| | 1| 1x y− + − ≤ 1 2 2 4 3, 1, 1 1, 1, 11 1 1 1, 1, 1 1, 1, 1 x y x y x y x yx y x y x y x y x y + ≤ ≥ ≥  − ≤ ≥ 4b = ( ) 2 5 4f x x x kx= − + − 1 2 3, ,x x x 1 2 3x x x⋅ ⋅ = 2 5 4y x x= − + y kx= ( ) ( ) [ ] 2 2 2 5 4, ,1 4,5 4 5 4, 1,4 x x xy x x x x x  − + ∈ −∞ +∞= − + = − + − ∈  ( ) 2 5 4f x x x kx= − + − [ ]1,4x∈ 2 5 4 0x x kx− + − − = [ ]1,4 ( )25 16 0k∆ = − − = 9k = 1k = 9k = 2x = − 1k = 2x = 2 2x = ( ) ( ),1 4,x∈ −∞ +∞ 2 5 4 0x x kx− + − = 4 1 3 4x x = 1 2 3 8x x x = 2( )f x x ax b= + + a 2[ ]1 ,2x∈ | ( ) |f x x≥ bA． B． C． D． 16．【答案】D 【解析】问题条件的反面为“若存在实数 ，对任意实数 使得不等式 成立”，即 只要 在 上的最大值与最小值之差小于2即可. 当 ， 得 ；当 ，得 ；当 . 所以 . 综上可得，所求实数 的取值范围是 ，故选D． 17．平面直角坐标系 中， 是抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，且满足 ， ，则 为 A． B． C． D． 17．【答案】A 【解析】设 ，则 ， 由 得 ， 因为 ，所以 结合 ， ，得 ， 因此 ， 从而 ， 故选A． 18．如图，在菱形ABCD中， ，线段AD，BD，BC的中点分别为E，F，K，连接EF，FK．现 1( , ] [2, )3 −∞ − +∞ 1 1( , ] [ , )3 4 −∞ − +∞ 1 1( , ] [ , )4 9 −∞ +∞ 1 9( , ] [ , )3 4 −∞ − +∞ a 2[ ]1 ,2x∈ ( )f x x< 1[ ,2], 1 1.2 bx x ax ∀ ∈ − < + + < ( )= bg x x x + 2[ ]1 ,2x∈ 4b ≥ 时 1( ) (2) 2,2g g− < b∈∅ 1 44 b< < 时, g(2) 2 2 1( ) 2 22 b g b  − 180α =  E FK α∠ ′ = 0α =  E FK α∠ ′ > E FK α∠ ′ ≥ EFK α∠ ≥ EDK∠ α E DK′∠ α 0α =  E DK α∠ ′ > 180α =  E DK α∠ ′ < π(0, )6a∈ 2sin sin 2 1a a+ = tan a = sin 2a = 1 2 4 5 2 2 2 2 1sin sin 2 1 sin cos sin 2 cos tan 2a a a a a a a+ = = + ⇒ = ⇒ = 2 2tan 1 4sin 2 11 tan 51 4 aa a = = =+ + 1tan 2a = 4sin 2 5a =20．已知直线 ，若 ，则 ______. 20．【答案】1或−3 【解析】因为l1⊥l2，所以k·（k﹣1）+（1﹣k）·（2k+3）＝0，解得 k＝1或k＝﹣3，故答案为1或﹣3. 21．已知向量 ， ， ， ，若 ，则 的最小值为______. 21．【答案】 【解析】∵ ，∴ ，即 ， ∵ ， ，∴ ， 当且仅当 时取等号， ∴ 的最小值是 ．故答案为 ． 22．已知数列 满足 ， ， 为数列 的前 项和，则满足不等式 的 的最大值为______. 22．【答案】8 【解析】对 变形得： ，即 ，故可以分析得到数列 是首项为12，公比为 的等比数列. 所以 ， ， 所以 ， 故 ，解得最大正整数 . 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分） 在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）设 ，解不等式 . 1 2: (1 ) 3 0, :( 1) (2 3) 2 0l kx k y l k x k y+ − − = − + + − = 1 2l l⊥ k = ( ,1)m=a (4 ,2)n= −b 0m > 0n > ∥a b 1 8 m n + 9 2 ∥a b 4 2 0n m− − = 2 4n m+ = 0m > 0n > 1 8 1 1 8( 2 )4 n mm n m n  + = + +   1 16104 n m m n  = + +   1 16 9(10 2 )4 2 n m m n ≥ + × = 84 3n m= = 1 8 m n + 9 2 9 2 { }na 1 13a = 13 4 0n na a+ + − = nS { }na n 1| 9 | 1000nS n− − > n 13 4 0n na a+ + − = 13( 1) ( 1)n na a+ − = − − 1 1 1 1 3 n n a a + − = −− { 1}na − 1 3 − 111 12 ( )3 n na −− = × − 1112 ( ) 13 n na −= × − + 112[1 ( ) ] 13 9 9 ( )1 31 ( )3 n n nS n n − − = + = − × − + − − 1 19 | 9 ( ) |3 1000 n nS n− − = − × − > 8n = ABC△ A B C a b c 2b c a+ = 5 sin 7 sinc B a C= cos B ( ) sin( )f x x B= + 1( ) 2f x ≥23．（本小题满分10分） 【解析】（Ⅰ）因为 ，所以 ， 又 ，所以 .（3分） 所以 .（5分） （Ⅱ）因为 ， ，所以 .（6分） 所以 ，（8分） 解得 ， .（10分） 24．（本小题满分10分） 已知椭圆 的焦距为4，点P（2，3）在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点P引圆 的两条切线PA，PB，切线PA，PB与椭圆C的另 一个交点分别为A，B，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 24．（本小题满分10分） 【解析】（Ⅰ）因为椭圆C的焦距为4，所以c＝2，则左焦点为F1（﹣2，0），右焦点为F2（2， 0）， 所以|PF1|＝5，|PF2|＝3，所以2a＝|PF1|+|PF2|＝5+3＝8，即 ，（2分） 所以b2=a2−c2=12， 故椭圆C的方程为 ．（4分） （Ⅱ）设PA： ，则 ，所以 ； 设PB： ，则 ，所以 ， 所以 ， 为方程 的两根，即 ．（6分） 设 ， ，联立 ， 5 sin 7 sinc B a C= 5 7 5 7cb ac b a= ⇒ = 2b c a+ = 7 3, 25 5b a c a b a= = − = 2 2 2 2 2 2 3 7( ) ( ) 15 5cos 32 22 5 a aaa c bB aac a + −+ −= = = − ⋅ ⋅ 0 πB< < 1cos 2B = − 2π 3B = 1( ) sin( ) 2 2π 3f x x= + ≥ 2 3 π π 5π2 π 2 π ,6 6k x k k⇒ + ≤ + ≤ + ∈Z x∈ π π[2 π ,2 π ]2 6k k− + k ∈Z 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2( 3) (0 2 3 3)x y r r+ − = < < − 4a = 2 2 116 12 x y+ = 1( 2) 3y k x= − + 1 2 1 3 3 2 1 kr k − + −= + 2 2 2 1( 4) 0r k r− + = 2 ( 2) 3y k x= − + 2 2 2 3 3 2 1 kr k − + −= + 2 2 2 2( 4) 0r k r− + = 1k 2k 2 2 2( 4) 0r k r− + = 1 2 0k k+ = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2 ( 2) 3 116 12 y k x x y = − + + =有 ， ， ． 同理联立 ，可得： ，（8分） 则 ． 故直线AB的斜率是定值，且定值为 .（10分） 25．（本小题满分11分） 已知函数 . （Ⅰ）当 时，求 在 时的值域； （Ⅱ）若对任意 ， ，均有 ，求 的取值范围. 25．（本小题满分11分） 【解析】（Ⅰ）当 时， ， 因为 ，所以 ，则 ， 所以 在 时的值域为 .（3分） （Ⅱ）依题意对任意 ， ， 恒成立， 所以 在 时恒成立，则 .（5分） 对任意 ，函数 在区间 上单调递减， 由已知 ，均有 ， 所以 在 时恒成立， 即 在 时恒成立.（7分） ①当 ， 时， ，则 符合题意.（8分） ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 1 13 4 16 24 16 48 12 0k x k k x k k+ − − + − − = 2 1 1 1 2 1 16 242 3 4 k kx k −+ = + 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 16 24 8 24 623 4 3 4 k k k kx k k − − −= − =+ + 2 2 2 ( 2) 3 116 12 y k x x y = − + + = 2 1 1 2 2 1 8 24 6 3 4 k kx k + −= + ( ) 1 2 1 1 2 12 1 1 12 1 2 1 2 1 24 4 3 4 1 48 2 3 4 AB k k x ky k kx x xyk k x x − + +− += = = =− − + 1 2 2 1( ) log ( )( )f x a ax = + ∈R 1a = ( )f x [1, )x∈ +∞ [2,4]t ∈ 1 2, [ 1, 1]x x t t∈ − + 1 2| ( ) ( )| 2f x f x− ≤ a 1a = ( ) 2 1log (1 )f x x = + [1, )x∈ +∞ ( ]11 1,2x + ∈ ( ) ( ]2 1log (1 ) 0,1f x x = + ∈ ( )f x [1, )x∈ +∞ ( ]0,1 [ ]2,4t ∈ [ ]1, 1x t t∈ − + 1 0a x + > 1 01 at + >+ [ ]2,4t ∈ 1 5a > − [ ]2,4t ∈ ( )f x [ ]1, 1t t− + [ ]1 2, 1, 1x x t t∈ − + ( ) ( )1 2 2f x f x− ≤ 2 2 1 1log ( ) log ( ) 21 1a at t + − + ≤− + [ ]2,4t ∈ 2 1 4 5 33 1 1 1 ta t t t −≥ − =− + − [ ]2,4t ∈ 0a ≥ [ ]2,4t ∈ 2 5 3 01 t t −