山大附中 2019-2020 学年第一学期 12 月月考
高一年级数学试卷
一．选择题（共 10 小题，每题 4 分）
1．已知全集 ， ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的定义域为
A． B． C． D．
3．与函数 表示同一个函数的是
A． B．
C． D．
4．已知 是定义在 ， 上的偶函数，那么 的值是
A． B． C． D．
5．已知 是函数 的一个零点，若 ， ，
则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．设 为定义在实数集上的偶函数，且 在 上是增函数， ，则
的解集为
A． B．
{1,2,3,4,5,6}U = {1,2,4,6}A = {4,5}B = BACU U)(
{4} {5} {3,5} {3,4,5}
( ) 3 1 (1 )f x x ln x= − + − ( )
1( ,1)3
1[ ,1)3
1[ ,1]3
1( ,1]3
1y x= − ( )
2log ( 1)2 xy −=
2 1
1
xy x
−= +
33 ( 1)y x= − 2( 1)y x= −
2( )f x ax bx= + [ 1a − 2 ]a a b+ ( )
1
3
− 1
3
1
2
− 1
2
0x 1( ) ( 0)f x lnx xx
= − > 1 0(0, )x x∈ 2 0(x x∈ )+∞
( )
1( ) 0f x < 2( ) 0f x > 1( ) 0f x > 2( ) 0f x <
1( ) 0f x < 2( ) 0f x < 1( ) 0f x > 2( ) 0f x >
( )f x ( )f x [0, )+∞ ( 3) 0f − =
(3 6) 0xf − < ( )
(1,2) 3( ,1) [log 6,2)−∞ ∪C． D．
7．某同学用二分法求方程 的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点
在 之间，他用二分法操作了 7 次得到了方程 的近似解，那么该近
似解的精确度应该为
A．0.1 B．0.01 C．0.001 D．0.0001
8．已知函数 ， 的实根个数
为
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
9．已知函数 , 若 有四个互不相等的实数根
,且 . 则 的取值 范围( ).
A． B． C． D．
10．如果函数 在其定义域内存在实数 ，使得 成立，则
称函数 为“可拆分函数”，若 为“可拆分函数”，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共 5 小题，每题 4 分）
11．设 ，且 ， ．
12．若函数 在区间 ， 上为减函数，则 的取值范围是 ．
13．已知 ，则 的取值范围 ．
( ,2)−∞ ( ,1) (2, )−∞ ∪ +∞
2 6 0lnx x+ − =
(2,3) 2 6 0lnx x+ − =
( )
2( ) | log |f x x= ( ) ( ) ( )
0,0 1
, 112 , 12
x
g x f x g x
x x
则方程
( )
( ) ( )2
2
log 1 , 1 1
x 2 , 1
x xf x
x
+ − < ≤= − > （ ）
( )f x a=
1 2 3 4, , ,x x x x 1 2 3 4x x x x< < < ( )1 2 1 2 3 4x x x x x x+ + +
( )0 9， ( )3 4， ( )2,3 ( )01，
)(xf 0x )1()()1( 00 fxfxf +=+
)(xf 12lg)( +=
x
axf a
1 3,2 2
3 ,32
3 ,32
( ]3,+∞
2 5a b m= = 1 1 2a b
+ = m =
2log ( 2)ay x ax= − + (−∞ 1] a
2 2
3 3( 1) (3 2 )a a
− −+ < − a14．某商品在最近 100 天内的单价 与时间 的函数关系是
， 日 销 售 量 与 时 间 的 函 数 关 系 是
．则该商品的日销售额 的最大值是
（日销售额＝日销售量×单价）．
15．已知函数 ，若关于 的方程 恰有三个实根，则实数
的取值范围为 ．
三．解答题（共 4 题，共 40 分）
16．（Ⅰ）求值： ；
（Ⅱ）已知 ， ，试用 ， 表示 ．
17．已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，当 时，有
．
（1）求实数 ， 的值；
（2）求函数 在区间 上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性；
（3）解关于 的不等式 ．
(t)f t
∈≤≤+−
∈
x ( ) 0f x =
a
21 1
0 2 432 41 3(2 ) ( 9.6) (3 ) (1.5) [( 5) ]4 8
− −− − − + + −
2log 3 a= 3log 7 b= a b 14log 56
( )f x ( 4,4)− 1)2( =f 04 ≤18．已知函数 （ 且 ）.
（1）判断 的奇偶性并证明；
（ 2 ） 若 ， 是 否 存 在 ， 使 在 的 值 域 为
？若存在，求出此时 的取值范围；若不存在，请说明理由.
19．定义在 上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有
成立，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的一个上界．已
知函数 ， ．
（1）若函数 为奇函数，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，求函数 在区间 上的所有上界构成的集合；
（3）若函数 在 上是以 5 为上界的有界函数，求实数 的取值范围
( ) 3log 3m
xf x x
−= + 0m > 1m ≠
( )f x
0)( >πf βα
1 13 x 1 0(0, )x x∈ 2 0(x x∈ )+∞ (
)
1( ) 0f x < 2( ) 0f x > 1( ) 0f x > 2( ) 0f x 2( ) 0f x >
( )f x′ ( )f x
1( ) ( 0)f x lnx xx
= − >
2 2
1 1 1( ) xf x x x x
+∴ ′ = + =
0x > ( ) 0f x∴ ′ >
( )f x∴
0x 1( ) ( 0)f x lnx xx
= − > 1 0(0, )x x∈ 2 0(x x∈ )+∞
1( ) 0f x∴ < 2( ) 0f x >
A
( )f x ( )f x [0 )+∞ ( 3) 0f − =
(3 6) 0xf − < ( )
(1,2) 3( ,1) [log 6−∞ 2)
( ,2)−∞ (−∞ 1) (2∪ )+∞
3N
f ( 3) 0f= − = ( )f x [0 )+∞
( )f x
f∴ ( 3) 0f= − =
( )f x [0 )+∞则由 可得， ，
解可得， ，
故选： ．
7．某同学用二分法求方程 的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点
在 之间，他用二分法操作了 7 次得到了方程 的近似解，那么该近
似解的精确度应该为
A．0.1 B．0.01 C．0.001 D．0.0001
【考点】55：二分法的定义与应用
【分析】根据题意，由二分法的定义，每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的
，据此求出第 6 次和第 7 次使用二分法时区间的长度，进而可得该近似解的精确度
应该在 ， 之间，分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，该同学已经知道该方程的一个零点在 之间，区间的长度为
1，
每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的 ，
则该同学第 6 次用二分法时，确定区间的长度为 ，不能确定方程的近似解，
当他第 7 次使用二分法时，确定区间的长度为 ，确定了方程的近似解，
则该近似解的精确度应该在 ， 之间，
分析选项： 在区间 ， 内；
故选： ．
8．已知函数 ， 的实根个数
为
(3 6) 0xf − < 3 3 6 3x− < − <
1 2x< <
A
2 6 0lnx x+ − =
(2,3) 2 6 0lnx x+ − =
( )
1
2
1(64
1 )128
(2,3)
1
2
6
1 1
2 64
=
7
1 1
2 128
=
1(64
1 )128
B 1(64
1 )128
B
2( ) | log |f x x= ( ) ( ) ( )
0,0 1
, 112 , 12
x
g x f x g x
x x
则方程
( )A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【考点】53：函数的零点与方程根的关系
【 分 析 】 方 程 ， ，
．分别画出 ， 的图象．利用交点个数
即可得出方程的实数根的个数．
【解答】解：方程 ，
， ．
（1）分别画出 ， 的图象．
由图象可得： 时，两图象有一个交点； 时，两图象有一个交点； 时，
两图象有一个交点．
（2）分别画出 ， 的图象．
由图象可知： 时，两图象有一个交点．
综上可知：方程 实数根的个数为 4．
故选： ．
| ( ) ( ) | 1 ( ) ( ) 1f x g x f x g x− = ⇔ = ±
1,0 1
( ) 1 1| 2 | , 12
x
y g x
x x
1,0 1
( ) 1 3| 2 | , 12
x
y g x
x x
−
( )y f x= ( ) 1y g x= ±
| ( ) ( ) | 1 ( ) ( ) 1f x g x f x g x− = ⇔ = ±
1,0 1
( ) 1 1| 2 | , 12
x
y g x
x x
1,0 1
( ) 1 3| 2 | , 12
x
y g x
x x
−
( )y f x= ( ) 1y g x= +
0 1x< 1 2x< 2x >
( )y f x= ( ) 1y g x= −
7
2x >
| ( ) ( ) | 1f x g x− =
C9．B
【解析】
【分析】
作出函数 f（x）的图象，根据方程 有四个互不相等的实数根，得到 与 、
与 的关系，代入所求，将所求用 a 表示，然后计算即可得到结论．
【详解】
作出 的图像如图：
若 有四个互不相等的实数根 ,且 ，则 0＜a＜1，
且 是 的两个根， =4， =4-a，
( )f x a= 1x 2x 3x
4x
( ) ( )2
2
log 1 , 1 1
x 2 , 1
x xf x
x
+ − < ≤= − > （ ）
( )f x a= 1 2 3 4, , ,x x x x 1 2 3 4x x x x< < <
3 4x x、 2x 2 a− =（ ） 3 4x x∴ + 3 4x x且 = ，即- )= )，
∴ ) )=1，∴ =0，
∴所求 = =4-a ，
故选 B.
【点睛】
本题主要考查函数交点个数的应用，考查了二次方程韦达定理的应用及对数运算，利用
数形结合确定四个根之间的关系是解决本题的关键，属于难题.
10．B
【解析】
【分析】
根据条件将问题转化为方程 在 上有解的问题即可得解．
【详解】
解：
函数 为“可拆分函数”，
存在实数 ，使 成立，
方程 在 上有解，
即 在 上有解，
， ，
，
的取值范围为： ．
( )2 1log 1x + ( )2 2log 1x + 2 1log ( 1x + 2 2log ( 1x +
1( 1x + 2( 1x + 1 2 1 2x x x x+ +
( )1 2 1 2 3 4x x x x x x+ + + 3 4x x 3 4∈（ ，）
0 0
2
12 1 3(2 1)x x
a a
+ =+ + 0x R∈
( ) 2 1x
af x lg= +
, 0x R a∴ ∈ >
( ) 2 1x
af x lg= +
∴ 0x 0 0 0
2
1 32 1 2 1 3(2 1)x x x
a a a alg lg lg lg+ = + =+ + +
∴
0 0
2
12 1 3(2 1)x x
a a
+ =+ + 0x R∈
0
0 01 1
3(2 1) 3 3 1
2 22 1 2 1
x
x xa + +
+= = ++ + 0x R∈
0x R∈ ∴
0 1
1 (0,1)2 1x + ∈+
3 ,32a ∴ ∈
a∴ 3 ,32
故选：
【点睛】
本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，
属中档题．
二．填空题（共 5 小题）
11．设 ，且 ， ．
【考点】 ：对数的运算性质； ：指数函数与对数函数的关系
【分析】先解出 ， ，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到 的等
式，求 ．
【解答】解： ， ， ，由换底公式得
， ， ，
故应填
12．若函数 在区间 ， 上为减函数，则 的取值范围是 ，
．
【考点】 ：对数函数图象与性质的综合应用
【分析】先根据复合函数的单调性确定函数 的单调性，进而分 和
两种情况讨论：①当 时，考虑函数的图象与性质，得到其对称轴在
的右侧，当 时的函数值为正；②当 时，其对称轴已在直线 的右侧，
欲使得 ， 上增函数．最后取这两种情形的并集即可．
【解答】解：令 ，
①当 时， 在 ， 上为减函数，
B
2 5a b m= = 1 1 2a b
+ = m = 10
4H 4Q
a b m
m
2 5a b m= = 2loga m∴ = 5logb m=
1 1 log 2 log 5 log 10 2m m ma b
+ = + = = 2 10m∴ = 0m > ∴ 10m =
10
2log ( 2)ay x ax= − + (−∞ 1] a [2
3)
4T
2( ) 2g x x ax= − + 1a >
0 1a< < 1a > 1x =
1x = 0 1a< < 1x =
( )(g x −∞ 1]
2( ) 2( 0, 1)g x x ax a a= − + > ≠
1a > ( )g x (−∞ 1]；
②当 时， 在 ， 上为减函数，此时不成立．
综上所述： ．
故答案为： ， ．
13．已知 ，则 的取值范围 ．
【考点】 ：幂函数的性质
【分析】考察幂函数 当 时，函数为偶函数，且在 上是减函数，在
上是增函数，即可求得 的范围．
【解答】解：幂函数 当 时为偶函数，
在 上是减函数，在 上是增函数，
所以有
解得 ，
故答案为：
14. 某 商 品 在 最 近 100 天 内 的 单 价 f （ t ） 与 时 间 t 的 函 数 关 系 是 f （ t ） ＝
，日销售量 g（t）与时间 t 的函数关系是 g（t）＝﹣
（0≤t≤100，t∈N）．求该商品的日销售额 S（t）的最大值．（日销售额＝日
销售量×单价）
【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【分析】由已知中销售单价 f（t）与时间 t（t∈N）的函数 f（t），及销售量 g（t）与时
间 t（t∈N）的函数 g（t），结合销售额为 S（t）＝f（t）g（t），我们可以求出销售额
∴
2
1 2 32
1 2 0
a
a
a
∴
0 1a< < ( )g x (−∞ 1]
2 3a −
2 43 a< <
2( ,4)3为 S（t）的函数解析式，再利用“分段函数分段处理”的原则，分别求出每一段上函
数的最大值，即可得到商品日销售额 S（t）的最大值．
【解答】解：由已知销售价 f（t）＝ ，
销售量 g（t）＝﹣ （0≤t≤100，t∈N），
∴日销售额为 S（t）＝f（t）g（t），
即当 0≤t＜40 时，S（t）＝（ t+22）（﹣ t+ ）＝﹣ t2+2t+ ，
此函数的对称轴为 x＝12，又 t∈N，
最大值为 S（12）＝ ；
当 40≤t≤100 时，S（t）＝（﹣ t+52）（﹣ t+ ）＝ t2﹣36t+ ，
此时函数的对称轴为 t＝108＞100，最大值为 S（40）＝768．
由 768＜ ，可得这种商品日销售额 S（t）的最大值为 ，
此时 t＝12．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的解析式求法，函数的值域，二次函数的性质，
其中根据日销售额为 S（t）＝f（t）g（t），得到销售额为 S（t）的函数解析式，是解
答本题的关键．
15．已知函数 ，当 时，不等式 的解集是 ；
若关于 的方程 恰有三个实根，则实数 的取值范围为 ．
【考点】57：函数与方程的综合运用
【分析】结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质，利用数形结合进行求解即
可．
2
2 | | , 1( ) ( ) , 1
x a xf x x a a x
−= − − + >
1a = ( )f x x> 1( , )3
−∞ −
x ( ) 0f x = a【解答】解：当 时， ，
当 时，由 得 ，
当 ，不等式等价为 ，即 此时不等式不成立，
当 时，不等式等价为 ，得 ，
当 时，由由 得 ，得 ，得 ，此时无解，
综上不等式 的解集 ，
当 时， 的最小值为 ，在 ， 上的最大值为 （1） ，
当 时，函数 是开口向下的抛物线对称轴为 ，顶点为 ，
当 时， 最多有两个零点，
当 时， 最多有两个零点，
则要使 恰有三个实根，
则当 时，有两个零点， 时有一个零点，
或当 时，有一个零点， 时有两个零点，
①若当 时，有两个零点，则 ，得 ，即 ，
此时当 时只能有一个零点，
若对称轴 满足 ，此时当 时，必有一个零点，
则只需要当 时， （1） ，即 ，
得 ，此时 ，
若对称轴 满足 ，此时 在 上为增函数，
要使 此时只有一个零点，则 （1）
1a = 2 2
2 | | , 1 2 | | 1 1( ) ( ) , 1 ( 1) 1 1
x a x x xf x x a a x x x
− − = = − − + > − − + >
1x ( )f x x> 2 | | 1x x− >
0 1x 2 1x x− > 1x >
0x < 2 1x x− − > 1
3x < −
1x > ( )f x x> 2( 1) 1x x− − + > 2 0x x− < 0 1x< <
( )f x x> 1( , )3
−∞ −
1x ( ) 2 | |f x x a= − (0)f a= − (0 1] f 2 a= −
1x > ( )f x x a= ( , )a a
1x ( ) 2 | |f x x a= −
1x > 2( ) ( )f x x a a= − − +
( ) 0f x =
1x 1x >
1x 1x >
1x
(0) 0
(1) 2 0
f a
f a
= −
0 2a<
1x >
a 1 2a< x a
1 x a< f 2 2(1 ) 3 1 0a a a a= − − + = − + −
2 3 1 0a a− +
3 5 3 5
2 2a
− +
1 2a<
a 0 1a< ( )f x (1, )+∞
( )f x f 2 2(1 ) 3 1 0a a a a= − − + = − + − 即 ，得 ，此时 ，
②若当 时，有一个零点，此时 （1） ，
即 时，
此时当 时，函数的对称轴 ，
要使 时有两个零点，则 （1）
即 ，得 舍或 ，此时 ，
综上实数 的取值范围是 或 ，
故答案为： ， 或 ．
三．解答题（共 5 小题）
2 3 1 0a a− +
3 5 3 5
2 2a
− +
0 1a<
1x f 2 0a= − <
2a >
1x > 2a >
1x > f 2 2(1 ) 3 1 0a a a a= − − + = − + − <
2 3 1 0a a− + > 3 5
2a
−< 3 5
2a
+> 3 5
2a
+>
a 3 5
2a
+> 0 2a<
1( , )3
−∞ − 3 5
2a
+> 0 2a< 16．（1）求值： ；
【分析】（1）根据有理指数幂的运算性质可得；
【解答】解：（1）原式
；
（2）已知 ， ，试用 ， 表示 ．
【考点】 ：换底公式的应用；
【分析】（2）利用对数的诱导公式变形，化为含有 ， 的代数式得答案．
【解答】解：（Ⅱ） ．
．
．
17．已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 （2） ，当 时，有
．
（1）求实数 ， 的值；
（2）求函数 在区间 上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性；
（3）解关于 的不等式 ．
【考点】 ：函数奇偶性的性质与判断； ：函数单调性的性质与判断
【分析】（1）根据 是定义在 上的奇函数及 时的 解析式即可得出
，并可求出 ，从而可得出 ，求出 ；
21 1
0 2 432 41 3(2 ) ( 9.6) (3 ) (1.5) [( 5) ]4 8
− −− − − + + −
21
2329 27 2( ) 1 ( ) ( ) 54 8 3
−= − − + +
21 3 ( )2 323 3 4( ) 1 ( ) 52 2 9
× −×= − − + +
3 4 41 52 9 9
= − − + +
11
2
=
2log 3 a= 3log 7 b= a b 14log 56
4I
2log 3 3log 7
2 2 2
14
2 2 2
56 7 8log 56 14 7 2
log log log
log log log
+= = +
2 2 3log 7 log 3 log 7 ab= =
14
3log 56 1
ab
ab
+∴ = +
( )f x ( 4,4)− f 1= 4 0x− <
( ) 4
ax bf x x
+= +
a b
( )f x (0,4)
m ( 1) ( 2 ) 0m mf e f e−+ + − >
3K 3E
( )f x ( 4,4)− 4 0x− < ( )f x
0b = ( 2) 1f − = − 2( 2) 12
af
−− = = − 1a =（ 2 ） 根 据 上 面 知 ， 时 ， ， 从 而 可 设 ， 从 而 得 出
，从而得出 时， ，然后根据函数单调性的
定义即可判断 在 上的单调性：设任意的 ， ，且 ，然后作差，
通分，提取公因式，然后判断 与 的大小关系即可得出 在 上的单调
性．
【解答】（1） ， （2） （3）
解：（1） 函数 是定义在 上的奇函数，
，即 ， ，
又因为 （2） ，所以 （2） ，
即 ，所以 ，
综上可知 ， ，
（2）由（1）可知当 时， ，
当 时， ，且函数 是奇函数，
，
当 时，函数 的解析式为 ，
任取 ， ，且 ，则 ，
， ，且 ，
， ， ，
于是 ，即 ，
故 在区间 上是单调增函数；
( 4,0)x∈ − ( ) 4
xf x x
= + (0,4)x∈
( ) ( ) 4
xf x f x x
−= − − = − − + (0,4)x∈ ( ) 4
xf x x
= −
( )f x (0,4) 1x 2 (0,4)x ∈ 1 2x x<
1( )f x 2( )f x ( )f x (0,4)
3a = 0b = 3( ) 4
xf x x
= − − (0, 3)ln
( )f x ( 4,4)−
(0) 0f∴ = 04
b = 0b∴ =
f 1= ( 2)f f− = − 1= −
2 12
a− = − 1a =
1a = 0b =
( 4,0)x∈ − ( ) 4
xf x x
= +
(0,4)x∈ ( 4,0)x− ∈ − ( )f x
∴ ( ) ( ) 4 4
x xf x f x x x
−= − − = − =− + − +
∴ (0,4)x∈ ( )f x ( ) 4
xf x x
= − +
1x 2 (0,4)x ∈ 1 2x x< 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
4( )( ) ( ) 4 4 (4 )(4 )
x x x xf x f x x x x x
−− = − =− + − + − −
1x 2 (0,4)x ∈ 1 2x x<
14 0x∴ − > 24 0x− > 1 2 0x x− <
1 2( ) ( ) 0f x f x− < 1 2( ) ( )f x f x<
( ) 4
xf x x
= − + (0,4)（3） 是定义在 上的奇函数，且 ，
，且 在 上是增函数，
，解得 ，
原不等式的解集为 ．
18．（1）奇函数；证明见解析；（2）存在， .
【解析】
【分析】
（1）求出函数 的定义域，然后利用奇偶性的定义验证函数 的奇偶性；
（2）由 ，可得出 ，利用复合函数可分析出函数 在区间
上为减函数，由题意得 ，于是得出关于 的方程
在区间 上有两解，即关于 的方程 在 上有两个
不等的实根，然后结合二次函数的图象列出关于 的不等式组，解出即可.
【详解】
（1）函数 是奇函数；证明如下：
由 解得 或 ，所以，函数 的定义域为
，关于原点对称．
，
因此，函数 为奇函数；
( )f x ( 4,4)− ( 1) ( 2 ) 0m mf e f e−+ + − >
( 1) (2 )m mf e f e−∴ + > ( )f x (0,4)
∴
1 4
2 4
1 2
m
m
m m
e
e
e e
−
−
+ <
0 3m ln< <
∴ (0, 3)ln
3 2 20, 3
−
( )y f x= ( )y f x=
( ) 0f π > 0 1m< < ( )y f x=
[ ],α β ( )
( )
1 log
1 log
m
m
f
f
α α
β β
= + = +
x 3
3
x mxx
− =+
( )3,+∞ x ( )2 3 1 3 0mx m x+ − + = ( )3,+∞
m
( )y f x=
3 03
x
x
− >+ 3x < − 3x > ( )y f x=
( ) ( ), 3 3,−∞ − +∞
( ) ( )3 3 3log log log3 3 3m m m
x x xf x f xx x x
− − + −− = = = − = −− + − +
( )y f x=（2）由题意知， ，且 ， .
令 在 上为增函数，
而函数 为减函数，所以，函数 在 上为减函数，
假设存在 ，使得题意成立，则函数 在 上为减函数，
则有 ，即 ，
所以 、 是方程 的两正根，
整理得 在 有 个不等根 和 ，由韦达定理得
，则 .
令 ，则函数 在 有 个零点，
则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查对数型函数的奇偶性，同时也考查了利用函数的值域求参数，解题的关键就是
利用函数的单调性将问题转化为二次函数的零点个数问题，一般求解时分析二次函数的
图象的开口方向、对称轴、判别式以及端点（与零点比较大小的数）的函数值符号，考
( ) 3log log 1 03m mf
ππ π
−= > =+
30 13
π
π
−< > ( )y f x= [ ],α β
( )
( )
1 log
1 log
m
m
f
f
α α
β β
= + = +
( )
( )
3log log3
3log log3
m m
m m
m
m
α αα
β ββ
− = + − =+
3
3
3
3
m
m
α αα
β ββ
− = +∴ − =+
α β 3
3
x mxx
− =+
( )2 3 1 3 0mx m x+ − + = ( )3,+∞ 2 α β
3 9m
αβ = > 10 3m< <
( ) ( )2 3 1 3h x mx m x= + − + ( )y h x= ( )3,+∞ 2
( )
( )
2
10 3
3 1 12 0
1 3 32
3 18 0
m
m m
m
m
h m
<
− >
= >
3 2 20 3m
−< <
m 3 2 20, 3
− 查化归与转化思想，属于中等题.
19．1．（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求解实数 的值．（2）求出函数
在区间 上的值域为 ，结合新定义，即可求得结论；
（3）由题意得函数 在 上是以 为上界的有界函数，即 在区间
上恒成立，可得 上恒成立，求出左边的最大值右边
的最小值，即可求实数 的范围．
试题解析：（1）因为函数 为奇函数，
所以 ，即 ，
即 ，得 ，而当 时不合题意，故 ．
（2）由（1）得： ，
而 ，易知 在区间 上单调递增，
所以函数 在区间 上单调递增，
所以函数 在区间 上的值域为 ，所以 ，
故函数 在区间 上的所有上界构成集合为 ．
（3）由题意知， 在 上恒成立，
1a = − [3, )+∞ [ 7,3]−
a
1
2
1( ) log 1
axg x x
−= −
9[ ,3]7
[ 3, 1]− −
( )f x [0, )+∞ 5 ( ) 5f x ≤
[0, )+∞ 1 1 16 ( ) ( ) 4 ( )4 2 4
x x xa− − ≤ ≤ −
a
( )g x
( ) ( )g x g x− = − 1 1
2 2
1 1log log1 1
ax ax
x x
+ −= −− − −
1 1
1 1
ax x
x ax
+ −=− − − 1a = ± 1a = 1a = −
1
2
1( ) log 1
xg x x
+= −
1 1
2 2
1 2( ) log log (1 )1 1
xg x x x
+= = +− − ( )g x (1, )+∞
1
2
1( ) log 1
xg x x
+= −
9[ ,3]7
1
2
1( ) log 1
xg x x
+= −
9[ ,3]7
[ 3, 1]− − ( ) 3g x ≤
( )g x 9[ ,3]7
[3, )+∞
( ) 5f x ≤ [0, )+∞， ．
∴ 在 上恒成立
∴
设 ， ， ，由 ，得 ．
易知 在 上递增，
设 ， ，
所以 在 上递减，
在 上的最大值为 ， 在 上的最小值为 ，
所以实数 的取值范围为 ．
考点：函数的最值及其几何意义；函数的奇偶性的性质；函数的恒成立问题的求解．
【方法点晴】
本题主要考查了与函数的性质相关的新定义问题，同时考查了函数的奇偶性及其应用、
函数的最值及意义、函数的恒成立问题的的求解的综合应用，着重考查了换元法和转化
的思想方法，涉及知识面广，难度较大
5 ( ) 5f x− ≤ ≤ 1 1 16 ( ) ( ) 4 ( )4 2 4
x x xa− − ≤ ≤ −
1 16 2 ( ) 4 2 ( )2 2
x x x xa− ⋅ − ≤ ≤ ⋅ −
[0, )+∞
max min
1 1[ 6 2 ( ) ] [4 2 ( ) ]2 2
x x x xa− ⋅ − ≤ ≤ ⋅ −
2x t= 1( ) 6h t t t
= − − 1( ) 4P t t t
= − [0, )x∈ +∞ 1t ≥
( )P t [1, )+∞
1 21 t t≤ < 2 1 1 2
1 2
1 2
( )(6 1)( ) ( ) 0t t t th t h t t t
− −− = >
( )h t [1, )+∞
( )h t [1, )+∞ (1) 7h = − ( )p t [1, )+∞ (1) 3p =
a [ 7,3]−
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