山西大学附中2019-2020高二上学期12月月考试题数学（文）（Word版附答案）.docx

试卷第 1 页，总 12 页 山西大学附中 2019～2020 学年高二第一学期 12 月（总第四次）模块诊断 数学试题（文） 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单选题（每题 5 分，共 60 分） 1．椭圆 的长轴长为( ) A．4 B．5 C．10 D．8 2．若直线 与直线 平行，则 的值为（ ） A．1 B． 或 0 C． D．0 3．若圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程是（ ） A． B． C． D． 4．如图，表示图中阴影部分所示平面区域(包括边界)的不等 式组是（ ） A． B． C． D． 5．圆 与圆 的公切线条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.若点 和点 在直线 的两侧，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知直线 与直线 互相垂直，交点为 ，则 等于（ ） A．0 B．4 C．20 D．24 2 2 116 25 x y+ = 2 2 0x ay+ − = ( 1) 3 0a x ay− − + = a 1 2 1 2 2 2 1 1):( ( 2) 5C x y+ − =− 2C y x= 2C 2 2( 2) ( 1) 5x y− + + = 2 2( 2) ( 1) 5x y− + − = 2 2( 2) ( 1) 5x y− + − = 2 2( 2) ( 1) 5x y− + + = 2 3 12 0 2 3 6 0 3 2 6 0 x y x y x y + − ≤  − − ≤  + − ≥ 2 3 12 0 2 3 6 0 3 2 6 0 x y x y x y + − ≥  − − ≤  + − ≥ 2 3 12 0 2 3 6 0 3 2 6 0 x y x y x y + − ≤  − − ≥  + − ≥ 2 3 12 0 2 3 6 0 3 2 6 0 x y x y x y + − ≤  − − ≤  + − ≤ 2 2 1 : 16C x y+ = 2 2 2 : 2 2 7 0C x y x y+ + + − = (0,0)O (1,1)A =x y a+ a ( , 0) (2, )−∞ +∞ ( ,0] [2, )−∞ +∞ (0,2) [0,2] 4 2 0mx y+ − = 2 5 0x y n− + = ( )1, p m n p+ −试卷第 2 页，总 12 页 8.设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 9. 已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两 点．若 的中点坐标为 ，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 10．已知点 ， 与直线 ： ，且直线 与线段 相交， 则直线 的斜率 的取值范围为（ ） A． 或 B. 或 C． D． 11．若圆 上恰有2个点到直线 的距离等于1，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 12.如图：已知 是椭圆 的右焦点，点 在椭圆 上，直 线 与圆 相切于点 ，且 ，则椭圆 的离心 率等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13．过点 作圆 的最短弦，则这条弦所在直线的方程是 _____________. 14.设 是椭圆 的两个焦点．若在 上存在一点 ，使 x y 3 3 1 0 x y x y y + ≤  − ≥  ≥ z x y= + 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (3,0)F F ,A B AB (1, 1)− 2 2 145 36 x y+ = 2 2 136 27 x y+ = 2 2 127 18 x y+ = 2 2 118 9 x y+ = ( )2,3A ( 3, 2)B − − l 1 0kx y k− − + = l AB l k 2k ≥ 3 4k ≤ 3 4k ≥ 1 4k ≤ − 34 4k− ≤ ≤ 3 24 k≤ ≤ 2 2 4x y+ = y x b= + b ( ) ( )2 2, 2 2,2 2− −  ( ) ( )3 2, 2 2,3 2− −  ( )2, 2− ( )3 2,3 2− ( ,0)F c 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > P C PF 2 2 2( )3 9 c bx y− + = Q 2PQ QF=  C 5 3 2 3 2 2 1 2 (3,5)A 2 2 4 8 80 0x y x y+ − − − = 1 2,F F 2 2 2 2: + 1( 0)x yC a ba b = > > C P试卷第 3 页，总 12 页 ，且 ，则 的离心率为_________． 15．设 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上的动点， ，则 的最小值为_______. 16．过点 且斜率为 的直线 与曲线 有公共点，则实数 的取 值范围是______________________. 三、解答题（共 70 分） 17．（10 分） 在 中，已知点 ， 边上的中线 所在直线的方程为 ， 边上的高所在直线的方程为 . （1）求直线 的方程； （2）求点 的坐标. 18．（12 分） 如图，在三棱锥 中， ， ， ， 是 的中点， ， ， ． （1）证明： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离． 19．（12 分） 已知关于 的方程 ． （1）若方程 表示圆，求 的取值范围； （2）当 时，曲线 与直线 相交于 两点，求 的值． 20．（12 分） 1 2PF PF⊥ 1 2 45PF F∠ =  C 1F 2 25 9 45x y+ = P (1,0)A 1| | | |PA PF+ (1,4) k l 2 4 3 1y x x= − − − + k ABC∆ ( )3,2A AC BM 3 4 0x y− − = AB ( )1 72y x= − AB B P ABC− AC BC⊥ 3BC = AP CP= O AC 1PO = 2OB = 5PB = BC ⊥ PAC A PBC ,x y 2 2: 2 4 4 0C x y x y m+ − − + = C m =1m C : 2 4 0l x y+ − = ,M N MN试卷第 4 页，总 12 页 已知圆 经过 ， 两点，且圆心在直线 上. (1)求圆 的方程； (2)过原点作圆 的切线，求切线方程. 21．（12 分） 已知椭圆 过点 ,且离心率 . (1)求椭圆 的方程； (2)直线 与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值. 22．（12 分） 已知 是椭圆 : 的左右焦点， (1)若 是椭圆上一点，求 的最小值； （2）直线 与椭圆 交于 两点, 是坐标原点.椭圆 上存在点 满足 ，求 的值. 山西大学附中 2019～2020 学年高二第一学期 12 月（总第四次）模块诊断 : 2 4 0l x y+ − = C 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ( )2,1P 3 2e = 1 2y x m= + A B， PAB△ C ( )3,0M ( )2,1N C C C 1 2F F， M 2 2 12 x y+ = C 1 2CF CF   y x m= + M ,A B O M P OP OA OB= +   m试卷第 5 页，总 12 页 数学答案（文） 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（5×12=60 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B C A B C A D D A B A 二、填空题（5×4=20 分） 13. 14. 15.5 16. 三、解答题 17．在 中，已知点 ， 边上的中线 所在直线的方程为 ， 边上的高所在直线的方程为 . （1）求直线 的方程； （2）求点 的坐标. 解：（1）由 边上的高所在直线方程为 得 ， 则 ………………………………………………………………………..2 分 又∵ ，∴直线 的方程为 ，………………………….4 分 即 （或 ）. ………………………5 分 （2）因为 边上的中线过点 ，则联立直线方程： .……………7 分 解得： ，………………………9 分 即点 坐标为 ……………………………..10 分 18. （12 分） 8 0x y+ − = 2 2 9 17 3,8 2  −     ABC∆ ( )3,2A AC BM 3 4 0x y− − = AB ( )1 72y x= − AB B AB ( )1 72y x= − 1 2k = 1 2ABk k = − = − ( )3,2A AB ( )2 2 3y x− = − − 2 8 0x y+ − = 2 8y x= − + AC B 2 8 0 3 4 0 x y x y + − =  − − = 4 0 x y =  = B ( )4,0试卷第 6 页，总 12 页 如图，在三棱锥 中， ， ， ， 是 AC 的中点， ， ， ． （1）证明： 平面 ； （2）求点 A 到平面 的距离． （1）∵ ，O 是 AC 中点，∴ ，………………………….1 分 由已知得 ，∴ ，…………………………………..2 分 又 ，∴ 平面 ABC，…………………3 分 ,……………………………4 分 ∵ ， 平面 PAC… ∴ 平面 PAC…………………………6 分 （2）设点 A 到平面 PBC 的距离为 h， ∵在 中， ， 则 ， 平面 PAC∴ ，…………………………………………. 7 分 ……………………………….8 分 ………………9 分 P ABC− AC BC⊥ 3BC = AP CP= O 1PO= 2OB= 5PB = BC ⊥ PAC PBC AP CP= PO AC⊥ 2 2 2PO OB PB+ = PO OB⊥ AC OB O OB ABC= ⊂ ， 平面 PO⊥ PO BC∴ ⊥ AC BC⊥ ,PO AC O PO= ⊂ B C ⊥ Rt OCB 2 2 1OC OB BC= − = 2 2 2PC OP OC= + = B C ⊥ BC PC⊥ 6 2PBCS∆∴ = A PBC P ABCV V− −=试卷第 7 页，总 12 页 …………………………………10 分 ∴ …………………………………………..11 分 即点 A 到平面 PBC 的距离为 ．……………………………………….12 分 19．已知关于 的方程 ． （1）若方程 表示圆，求 的取值范围； （2）当 时，圆 与直线 相交于 两点，求 的值． （1）解法一： 方程 可化为 ，……………………………..2 分 显然 时方程 表示圆．…………………………4 分 解法二： ，………………………………..2 分 …………………………4 分 （2）圆 的圆心 ………………….5 分 圆心到直线 的距离为 ， …………………………7 分 圆 的半径 ，…………………………………..8 分 又 ， - 1 3 3 3P ABC ABCS OV P∆ ∆= ⋅ = 1 3 23 3PBCS h h∆ = ∴ = ， 2 ,x y 2 2: 2 4 4 0C x y x y m+ − − + = C m =1m C : 2 4 0l x y+ − = ,M N MN C ( ) ( )2 21 2 5 4x y m− + − = − 55 4 0 , 4m m− > 5 4m < C ( )1,2 : 2 4 0l x y+ − = 2 2 1 2 2 4 1 51 2 d + × −= = + C 1r = 2 2 2 1 2r d MN = +    2 2|MN|=2 -r d试卷第 8 页，总 12 页 = ………….10 分 所以 ………10 分 = ………………12 分 所以 ．……………………12 分 20．已知圆 经过 ， 两点，且圆心在直线 上. (1)求圆 的方程 (2)从原点向圆 作切线，求切线方程. (1)解法一:设圆的方程为 由题意: ①………………………1 分 ②………………………2 分 又圆心 在直线 上 故 ， ③………………………3 分 由①②③解得: ， ， ，………………………5 分 圆的方程为: (或写成: ，……………………6 分 : 2 4 0l x y+ − = C C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 9 3 0D F+ + = 5 2 0D E F+ + + = ,2 2 D E − −   2 4 0x y+ − = 4 02 ED− − − = 4D=− 0E = 3F = 2 2 4 3 0x y x+ − + = 2 2( 2) 1x y− + = 12 1- 5 2 2|5 |1 ,5 2 MN   = +        4 5 5 4 5 5MN = C ( )3,0M ( )2,1N试卷第 9 页，总 12 页 解法二:由题意，圆心在 的中垂线 上，………………………2 分 又在已知直线 上， 解得圆心坐标为 ，………………………4 分 于是半径 ………………………5 分 所求圆的方程为: ; ………………………6 分 注：其他方法给相应分值 (2)解法一:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆 相切………………………7 分 当斜率存在时，设直线方程为 ………………………8 分 代入 得 即 令 ，………………………9 分 解得 ，………………………10 分 即切线方程为 .………………………12 分 解法二:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆 相切；………………………7 分 当斜率存在时，设直线方程为 ，……………………8 分 因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径， MN 2y x= − : 2 4 0l x y+ − = ( )2,0C 1r MC= = 2 2( 2) 1x y− + = C y kx= 2 2: 4 3 0C x y x+ − + = 2 2( ) 4 3 0x kx x+ − + = ( )2 21 4 3 0k x x+ − + = ( )2 2( 4) 4 3 1 0k∆ = − − × + = 3 3k = ± 3 3y x= ± C y kx=试卷第 10 页，总 12 页 根据点到直线的距离公式: 可得 ……………………9 分 解得 .………………………10 分 即切线方程为 .………………………12 分 21．已知椭圆 过点 ,且离心率 . (1)求椭圆 的方程； (2)直线 ，椭圆 交于 两点，求 面积的最大值. (1)已知椭圆 过点 ,且离心率 . 可得： ,………………………3 分 解得 ，…………………………….4 分 椭圆方程为： …………………..5 分 (2)设 0 0 2 2 Ax By Cd A B + += + 2 | 2 | 1 1 k k = + 3 3k = ± 3 3y x= ± 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ( )2,1P 3 2e = C 1 2y x m= + C A B， PAB△ 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ( )2,1P 3 2e = 2 2 2 2 2 4 1 1 3 2 a b c a c a b  + =  =  = + 2 2 2 6 a b c  =  =  = 2 2 18 2 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y试卷第 11 页，总 12 页 联立方程 ，得 直线与椭圆要有两个交点，所以 解得， 由韦达定理得： …………………………7 分 利用弦长公式得： ……………………..8 分 由点到直线的距离公式得到 到 的距离 ……………………………..9 分 ……..11 分 当且仅当 ，即 时取到最大值，最大值 2………………………….12 分 22．已知 椭圆 : 的左右焦点， (1)若 C 是椭圆上一点，求 的最小值； （2）直线 与椭圆 交于 两点, 是坐标原点.椭圆 M 上存在点 满足 ，求 的值. (1)设 则 ， ,………………………….1 分 …………………………………2 分 2 2 1 2 18 2 y x m x y  = +  + = 2 22 2 4 0x mx m+ + − = ( )2 2(2 ) 4 2 4 0m m∆ = − − > 2 2m− < < 2 1 2 1 22 , 2 4x x m x x m+ = − = − ( )2 2 1 2| | 1 5 4AB k x x m= + − = − P l 2 | | 5 md = ( ) ( ) 2 2 2 2 21 1 2 | | 4| | 5 4 4 22 2 25 m m mS AB d m m m + −= = − ⋅ = − ≤ = 2 2m = 2m = ± 1 2F F， M 2 2 12 x y+ = 1 2CF CF   y x m= + M ,A B O P OP OA OB= +   m ( , ),C x y 2 2 12 x y+ = 1 2 (1,0)F F( - 1, 0) ， 1 2=( 1 , ), =(1 , )C F x y C F x y− − − − −  2 2 1 2 2 2 2 1 ...................................3 1 11 1 [ 2, 2]................42 2 CF CF x y x x x x = − + = − + − = ∈ −    分 ， 分试卷第 12 页，总 12 页 当 时， 的最小值为 0…………………………………..6 分 （2）设 ，联立 ，得 ， ， 解得 ， ………………………………………………………..8 分 ，………………………………..9 分 ， ……………………….10 分 在椭圆 上， ，…………….11 分 解得 .…………….12 分. 0x = 1 2CF CF   ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 12 y x m x y = + + = 2 23 4 2 2 0x mx m+ + − = ( )2 2 2(4 ) 12 2 2 8 24 0m m m∆ = − − = − + > 3 3m− < < 1 2 4 3x x m+ = − ( )1 2 1 2, ,OP OA OB P x x y y= + ∴ + +    1 2 1 2 1 2 4 2, 23 3x x m y y x x m m+ = − + = + + = 4 2,3 3P m m ∴ −   4 2,3 3P m m −   2 2 12 x y+ = 2 24 22 23 3m m   ∴ − + × =       3 2m = ±