1
O x
y
1
6
11
12
衡 阳 市 八 中 2020 届 高 三 第 六 次 月 考
文 科 数 学 试 卷
时 量 ： 120 分 钟 满 分 ： 150 分
命 题 人 ： 仇 武 君 审 题 人 ： 刘 一 坚 刘 慧 英
一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选
项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .
1.已 知 全 集 0,1,2,3,4 , 1,2,3, , 0,1,3U A B ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )
A． B A B． {0, }4U AC ＝ C． 1,3A B D． 0,2A B
2.若 复 数 |1 3 |
1
iz i
,则 z 的 虚 部 是 （ ）
A． i B． i C． 1 D． 1
3.已 知 抛 物 线 24y x ， 其 焦 点 为 F ， 准 线 为 l ， 则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）
A.焦 点 F 到 准 线 l 的 距 离 为 1 B.焦 点 F 的 坐 标 为 (1,0)
C.准 线 l 的 方 程 为 1
16y D.对 称 轴 为 x 轴
4.在 ABC 中 ， ,BD DC E 是 AD 的 中 点 ， 则 BE （ ）
A. 3 1
4 4AB AC
B. 3 1
4 4AB AC
C. 2 1
3 3AB AC
D. 2 1
3 3AB AC
5.函 数 sin 0, 0, 2f x A x A
的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数
y f x 对 应 的 解 析 式 为 （ ）
A. cos 2 6y x
B. cos 2 6y x
C. sin 2 6y x
D. sin 2 6y x 2
6.函 数 x
xy e
， 在 区 间 [0, ]e 上 的 最 大 值 是 （ ）
A. 0 B. e
e
e
C. 1e D. 2
ee
7.若 ABC 的 内 角 , ,A B C 的 对 边 分 别 为 , ,a b c ，且 2(sin sin )A B 2sin sin sinC A B ，
则 角 C 为 （ ）
A．
6
B．
3
C． 2
3
D． 5
6
8.已 知 椭 圆 E ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的 右 焦 点 为 (3,0)F ， 过 点 F 的 直 线 交 E 于 A 、
B 两 点 ． 若 AB 的 中 点 坐 标 为 (1, 1) ， 则 椭 圆 E 的 离 心 率 为 ( )
A. 1
2
B. 2
2
C. 3
2
D. 2
3
9.已 知 三 棱 锥 P ABC 的 所 有 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ， PC 是 球 O 的 直 径 ． 若 平 面
PAC ⊥ 平 面 PBC ， PA AC ， PB BC ，三 棱 锥 P ABC 的 体 积 为 8
3
，则 球 O 的 体
积 为 （ ）
A. 36 B. 16 C. 12 D. 32
3
10.已 知 数 列 { }na 是 递 增 数 列 ， 且 对 *n N ， 都 有 2
na n n ， 则 实 数 的 取 值 范
围 是 ( )
A. ( ,2] B． ( ,1] C． ( ,2) D． ( ,3)
11.已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 1 2,F F 分 别 是 双 曲 线
2 2
14 3
x y 的 左 、 右 焦 点 ， 点 P 为 双 曲
线 左 支 上 任 一 点 （ 不 同 于 双 曲 线 的 顶 点 ） ． 在 线 段 2PF 上 取 一 点 Q ， 使 1PQ PF ，
作 1 2F PF 的 平 分 线 ， 交 线 段 1FQ 于 点 M ， 则 | O |M （ ）
A． 1
2
B． 2 C． 4 D． 13
12. 已 知 函 数
22log ( 1),0 1,
( ) 1 , 1,
x x
f x xx
若 关 于 x 的 方 程 1( ) ( )4f x x m m R 恰
有 两 个 互 异 的 实 数 解 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 （ ）
A． 5 9( , ] {1}4 4
B． 5 9[ , ] {1}4 4
C． 5 9[ , ]4 4
D． 5 9( , ]4 4
二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 .
13.若 曲 线 2y mx 在 点 （ 1， m ） 处 的 切 线 与 直 线 4 5 0x y 垂 直 ， 则 m ；
14.已 知 等 比 数 列 na 中 , 12 72 5a a a , nb 是 等 差 数 列 ,且 7 7b a 则 3 11b b ；
15.已 知 变 量 ,x y 满 足
2,
( ) ,
3 6,
x y
f x y x
x y
则 1y
x
的 最 小 值 是 ；
16.关 于 x 的 方 程 2 2 2 2x x kx k 有 两 个 不 等 的 实 数 根 ,则 实 数 k 的 取 值 范 围
为 .
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 .解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程
或 演 算 步 骤 .
17.（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 记 S n 为 等 比 数 列 na 的 前 n 项 和 ， 已 知 S 2 =−4， S 3 =12．
（ 1） 求 na 的 通 项 公 式 ；
（ 2） 求 S n ；
（ 3） 判 断 S n +1 ， S n ， S n +2 是 否 成 等 差 数 列 ， 若 是 ， 写 出 证 明 过 程 ； 若 不 是 ， 说 明
理 由 。4
18.（ 本 小 题 满 分 12 分 ）如 图 ，在 四 棱 锥 P－ ABCD 中 ，PA⊥ 平 面 ABCD，底 面 ABCD
是 等 腰 梯 形 ， AD∥ BC， AC⊥ BD.
(1)证 明 ： BD⊥ 平 面 PAC；
(2)若 AD＝ 8， BC＝ 4， 设 AC∩ BD＝ O， 且 ∠ DPO＝ π
6
， 求 四 棱 锥 P－ ABCD 的 体 积 ．5
19． （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 椭 圆 E： x 2
a 2
＋ y 2
b 2
＝ 1(a>b>0) 经 过 点 A(0, 3 )， 右 焦
点 到 直 线 x＝ a 2
c
的 距 离 为 3.
(1)求 椭 圆 E 的 标 准 方 程 ；
(2)过 点 A 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 l 1 ， l 2 分 别 交 椭 圆 于 M， N 两 点 ． 求 证 ： 直 线
MN 恒 过 定 点 P 3(0, )7
.6
20.（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 在 衡 阳 市 “创 全 国 文 明 城 市 ”(简 称 “创 文 ”)活 动 中 ， 市
教 育 局 对 本 市 A， B， C， D 四 所 高 中 学 校 按 各 校 人 数 分 层 抽 样 ， 随 机 抽 查 了 200
人 ， 将 调 查 情 况 进 行 整 理 后 制 成 下 表 ：
假 设 每 名 高 中 学 生 是 否 参 与 “创 文 ”活 动 是 相 互 独 立 的 ．
(1)若 本 市 共 8000 名 高 中 学 生 ， 估 计 C 学 校 参 与 “创 文 ”活 动 的 人 数 ；
(2)在 上 表 中 从 A， B 两 校 没 有 参 与 “创 文 ”活 动 的 同 学 中 随 机 抽 取 2 人 ， 求 恰 好
A， B 两 校 各 有 1 人 没 有 参 与 “创 文 ”活 动 的 概 率 ；
(3)在 随 机 抽 查 的 200 名 高 中 学 生 中 ，进 行 文 明 素 养 综 合 素 质 测 评（ 满 分 为 100 分 ），
得 到 如 上 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 其 中 a＝ 4b.求 a， b 的 值 ， 并 估 计 参 与 测 评 的 学 生
得 分 的 中 位 数 ． (计 算 结 果 保 留 两 位 小 数 )
学 校 A B C D
抽 查 人 数 10 15 100 75
“创 文 ”活 动 中 参 与 的 人 数 9 10 80 497
21.（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 函 数 f(x)＝ aln x， g(x)＝ x 2 － 1
2a(a∈ R)．
(1)令 F(x)＝ f(x)－ g(x)， 讨 论 F(x)的 单 调 性 ；
(2)若 f(x)≤g(x)， 求 a 的 取 值 范 围 ．8
请 考 生 在 第 22、23 题 中 任 选 一 题 作 答 ．如 果 多 做 ，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 ．作
答 时 请 写 清 题 号 ．
22． (本 小 题 满 分 10 分 )选 修 4－ 4： 坐 标 系 与 参 数 方 程
在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 以 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标
系 ， 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ρ(1－ cos2θ)＝ 8cosθ.
(1)求 曲 线 C 的 普 通 方 程 ；
(2)直 线 l 的 参 数 方 程 为 1 cos ,
sin ,
x t
y t
(t 为 参 数 )， 直 线 l 与 y 轴 交 于 点 F， 与 曲 线
C 的 交 点 为 A， B， 当 |FA|·|FB|取 最 小 值 时 ， 求 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 ．
23． (本 小 题 满 分 10 分 )选 修 4－ 5： 不 等 式 选 讲
已 知 函 数 f(x)＝ |x－ 1|＋ |x＋ 1|＋ m.
(1)当 m＝ － 5 时 ， 求 不 等 式 f(x) 2 的 解 集 ；
(2)若 二 次 函 数 y＝ － x 2 ＋ 2x＋ 3 与 函 数 y＝ f(x)的 图 象 恒 有 公 共 点 ， 求 实 数 m 的 取
值 范 围 ．
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