数学
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 直线 的倾斜角为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角与斜率的知识点，考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾
斜角的关系，应注意直线倾斜角的范围和特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．
先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜
角．
【解答】
解：由题意，直线的斜率为 ，即直线倾斜角的正切值是 ，
设倾斜角为 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，
故直线的倾斜角为 ，
故选 D．
2. 圆 的圆心到直线 的距离为：
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】解：圆 的圆心 ，
它到直线 的距离：
故选：D．
先求圆心坐标，然后用点到直线的距离公式求解即可．
本题考查点到直线的距离公式，圆的一般方程，是基础题．
3. 若点 在圆 的内部，则 a 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查点与圆的位置关系，根据题意可得 ，解不等式即可求得结
果．
【解答】解：圆 的圆心为 ，半径为 ， 点 在圆 的内部，
，解得 ，
即实数 a 的取值范围为 ．
故选 A．
4. 若圆 与圆 相内切，则 a 的值为
A. 1 B. C. D. 0
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是圆和圆的位置关系问题，比较简单根据两圆内切，则圆心距等于半径之差，可
求出．
【解答】
解：圆 即 ，
两圆圆心分别为 ， ，半径分别为 2 和 1，
因为两圆内切，所以两圆心距离等于它们的半径差，
．
故选 C．
5. 设抛物线 的焦点在直线 上，则该抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的性质，属于容易题．
求出直线与 x 轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程．
【解答】
解：把 代入 得： ，解得 ，
抛物线的焦点坐标为 ．
抛物线的准线方程为 ．
故选 A．
6. 我国古代数学名著 九章算术 有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，
验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为
A. 134 石 B. 169 石 C. 338 石 D. 1365 石
【答案】B【解析】【分析】
本题考查利用数学知识解决实际问题，用样本估计总体，考查学生的计算能力，属于基础
题．
根据 254 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，这批米内夹谷约为 石，
故选 B．
7. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【答案】C
【解析】解： ，
，
甲的成绩的方差为 ，
以的成绩的方差为 ．
故选：C．
根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得
到结论．
本题主要考查了平均数及其方差公式，同时考查了计算能力，属于基础题．
8. 方程 表示的曲线是
A. 一个圆 B. 两个半圆 C. 一条直线 D. 两条射线
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，考查了曲线的方程与方程的曲线的概念，是基础题．化简得 或 ，即可得出结论．
【解答】
解：由方程 ，
得 且 ，
即 或 ，为两个半圆，
故选 B．
9. 已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，过 的直线
l 交 C 于 A、B 两点，若 的周长为 ，则 C 的方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础
题．
利用 的周长为 ，求出 ，根据离心率为 ，可得 ，求出 b，即可得出椭圆
的方程．
【解答】
解： 的周长为 ，
且 的周长 ，
，
，
离心率为 ，
，解得 ，
，
椭圆 C 的方程为 ．
故选 A．
10. 直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公
式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，属于中档题．
要求的实数 k 的取值范围即为直线 l 斜率的取值范围，由于曲线 表示以 为圆
心，2 为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线 l 与半圆有不同的交点；当直线 l
与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于 k 的方程，求出方程的解得到 k 的值；当直线 l 过 B 点时，由 A 和 B 的坐标求出此时直线 l 的斜率，
根据两种情况求出的斜率得出 k 的取值范围．
【解答】
解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：直线 l 恒过定点 ，
又曲线 图象为以 为圆心，2 为半径的半圆，
当直线 l 与半圆相切，C 为切点时，
圆心到直线 l 的距离 ，即 ，
解得： ；
当直线 l 过 点时，直线 l 的斜率为 ，
则直线 l 与半圆有两个不同的交点时，实数 k 的范围为 ．
故选 A．
11. 方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程，充分条件、必要条件的判定，考查运算求解能力，属于基础
题．
根据题意，由方程 表示双曲线，可得 m 的取值范围，进而由充分条件和必要
条件的定义分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，方程 表示双曲线，
则有 ，
解得 ，
要求方程 表示双曲线的一个充分不必要条件，
则所给集合必须是 的非空真子集，
依次分析选项，只有 A 符合条件，
故选 A．
12. 已知 ， 是双曲线 E 的左右焦点，点 P 在 E 上， ，且 ，
则 E 的离心率
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质及几何意义、涉及向量线性运算和数量积、向量的垂直的判定，余弦
定理，属中档题，
解法一：设出焦点坐标，运用向量数量积转化得到 ，在 中运用余弦
定理可得 ，再结合双曲线的定义求得 a，c 的关系，进而求离心率；
解法二：取线段 中点 M，由 ，得 ， ，进而求得
，求得 ，利用双曲线定义求得 a 与 c 的关系，进
而得离心率．
【解答】
解法一：设 ，
，
，
，
，
，
由余弦定理得：
，
由双曲线定义可得 ，
即： ，
，
解法二：取线段 中点 M，由 ，
得 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
，即 ， ．
故选 D．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知直线 l： ，若直线 l 与直线 垂直，则 m 的值为______．
【答案】0 或 2
【解析】【分析】
本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属
于基础题．
对 m 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
【解答】
解：当 时，两条直线分别化为： ， ，
此时两条直线垂直，因此 满足条件；
当 时，两条直线分别化为： ， ，
此时两条直线不垂直，因此 不满足条件；
当 ，1 时，两条直线分别化为：
， ，
若两条直线垂直，则 ，
解得 ．
综上可得当且仅当 或 2 时两条直线相互垂直．
故答案为 0 或 2．
14. 设某总体是由编号为 01，02， ，19，20 的 20 个个体组成的，利用下面的随机数表
依次选取 6 个个体，选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取
两个数字，则选出来的第 6 个个体的编号为__________．
【答案】19
【解析】【分析】
本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于基础题根据
随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【解答】
解：从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字小于 20 的编号依次为
18，07，17，16，09，19，则第 6 个个体的编号为 19，
故答案为 19．
15. 根据以下样本数据，可得 y 与 x________相关．填“正”或“负”
x 1 2 3 4
y
【答案】正【解析】【分析】
本题考查了根据散点图判断两个变量的相关关系，属于基础题．
由统计资料可得当年平均收入增多时，年平均支出也增多，可得结果．
【解答】
解：由统计资料可以看出：
当年平均收入增多时，年平均支出也增多，
因此两者之间具有正线性相关关系．
故答案为正．
16. 在某次飞镖集训中，甲、乙、丙三人 10 次飞镖成绩的条形图如下所示，则他们三人中
成绩最稳定的是______．
【答案】丙
【解析】【分析】
根据频率分布条形图所表示的意义，观察图象即可得到结论，本题主要考查了频率分布条形
图的应用问题，是基础题．
【解答】
解：根据题意，分析条形图中的数据，
知丙图中的数据都分布在 8 附近，成单峰分布，最稳定，
甲乙两图中的数据较分散些．
故答案为丙．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）
17. 设命题 p：实数 x 满足 ，其中 ，命题 q：实数 x 满足 ．
若 ，有 p 且 q 为真，求实数 x 的取值范围．
若 是 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
【答案】解： 命题 p：实数 x 满足 ，其中 ，解得 ，
命题 q 中：实数 x 满足 ，
若 ，则 p 中： ，
且 q 为真， ，解得 ，
故所求 ；
若 是 的充分不必要条件，
则 q 是 p 的充分不必要条件，，解得 ，
的取值范围是 ．
【解析】本题考查了不等式的解法、复合命题、充分条件的判断应用，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题．
命题 p：实数 x 满足 ，其中 ，解得 ，若 ，则 p： ，
由 p 且 q 为真，可得 p 与 q 都为真，即可得出．
若 是 的充分不必要条件，可得 q 是 p 的充分不必要条件，即可得出．
18. 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
请画出上表数据的散点图；
请根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 相关公式：
，
【答案】解： 散点图如图：
， ，
， ，
， ．
故线性回归方程为 ．
【解析】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性
回归方程的系数，属于中档题．
以记忆力为 x 轴，判断力为 y 轴，根据表格数据，可得散点图；
计算系数，即可得到线性回归方程；
某城市 100 户居民的月平均用电量单位：度，以 ，
分组的频率分布直方图如图：
求直方图中 x 的值；
求月平均用电量的众数和中位数；
在月平均用电量为 的四组用户中，用分层抽样的 方 法 抽 取 11 户 居 民 ， 则 月 平 均 用 电 量 在 的 用 户 中 应 抽 取 多 少 户 ？
19.
【答案】解： 由直方图的性质可得
，
解方程可得 ， 直方图中 x 的值为 ；
月平均用电量的众数是 ，
，
月平均用电量的中位数在 内，
设中位数为 a，由 可得 ，
月平均用电量的中位数为 224；
月平均用电量为 的用户有 ，
月平均用电量为 的用户有 ，
月平均用电量为 的用户有 ，
月平均用电量为 的用户有 ，
抽取比例为 ，
月平均用电量在 的用户中应抽取 户．
【解析】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．
由直方图的性质可得 ，解方程
可得；
由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在 内，设中位数为 a，
解方程 可得；
可得各段的用户分别为 25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．
20. 已知直线 l： 被圆 C： 截得的弦长为 ，求
的值；
求过点 并与圆 C 相切的切线方程．
【答案】解： 依题意可得圆心 ，半径 ，
则圆心到直线 l： 的距离 ，由勾股定理可知 ，代入化简得 ，
解得 或 ，
又 ，
所以 ；
由 知圆 C： ，
又 在圆外，
当切线方程的斜率存在时，设方程为 ，
由圆心到切线的距离 ，
解得 ，
切线方程为 ，
当过 斜率不存在，易知直线 与圆相切，
综合 可知切线方程为 或 ．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能
力．
求出圆心 ，半径 ，圆心到直线 l： 的距离，通过勾股定理求解即可；
判断点与圆的位置关系，通过 当切线方程的斜率存在时，设方程为 ，由圆
心到切线的距离 求解即可； 当过 斜率不存在，判断直线 与圆是否相切，推出
结果．
21. 求适合下列条件的直线方程：
经过点 且在两坐标轴上的截距相等；
经过点 ，倾斜角等于直线 的倾斜角的 2 倍．
【答案】解： 当横截距 时，纵截距 ，此时直线过点 ， ，
直线方程为 ；
当横截距 时，纵截距 ，此时直线方程设为 ，
把 代入，解得 ，
所求的直线方程为： ．
综上：过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 或 ．
假设 的倾斜角是 ，那么有 ，
设过 A 点直线的倾斜角是 ，那么 ，
那么所求直线的斜率 ，
直线方程是： ，即：直线方程为 ．
【解析】 当横截距 时，纵截距 ，此时直线过点 ， ；当横截距 时，
纵截距 ，此时直线方程设为 ，把 代入，解得 由此能求出过点 且
在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
先假设直线 的倾斜角是 ，进而根据直线倾斜角与斜率之间的关系得到 ，然
后根据正切函数的二倍角公式求出所求直线的斜率，最后根据点斜式方程得到答案．
本题考查直线方程的求法，考查正切函数的二倍角公式，解题时要注意截距式方程的合理运用．
22. 设椭圆 ，过点 ，右焦点 ．Ⅰ求椭圆 C 的方程；Ⅱ设直
线 l： 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，且与椭圆交于 M，N 两点，
若 ，求 k 值，并求出弦长 ．
【答案】解：Ⅰ因为椭圆过点 ，
所以 ，
由题意可得 ，即 ，
所以 ， ，
所以椭圆的方程为 ；Ⅱ易知直线l： 与 x 轴的交点为 ，与 y 轴的交点
为 ，
联立 ，消 y 得 ，
设 ， ，
则 ，
所以 ， ，
由 ，得： ，
解得 ．
由 得 ，代入 得 ，
所以 ， ，
可得
．
【解析】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联
立，运用韦达定理和向量相等的条件，同时考查弦长公式的运用，以及运算能力，属于中档
题．Ⅰ将 Q 的坐标代入椭圆方程，以及 a，b，c 的关系，解方程可得 a，b，进而得到椭圆
方程；Ⅱ求出直线 l 与 x 轴，y 轴的交点，并将直线 l 的方程代入椭圆方程，运用韦达定理，
以及相等向量的坐标表示，可得 k 的值，运用弦长公式可得弦长 ．
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