数学
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 以点 为圆心，且与 y 轴相切的圆的标准方程为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相切的性质，求出圆的半径，是解题的关键，
属于基础题．
由条件求得圆的半径，即可求得圆的标准方程．
【解答】
解：以点 为圆心且与 y 轴相切的圆的半径为 3，
故圆的标准方程是 ，
故选 C．
2. 直线 和直线 的距离是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了两平行直线间的距离，属于基础题．
直线 和直线 ，代入两平行线间的距离公式，即可得到答案．
先把两平行直线的对应变量的系数化为相同的，再利用两平行线间的距离公式求出两平行线
间的距离．
【解答】
解：由题意可得： 和直线 ，
即直线 和直线 ，
结合两平行线间的距离公式得：
两条直线的距离是 ，
故选：B．
3. 命题 p： ， ；命题 q： ， ，下列选项真命题的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查命题的真假的判断与复合命题的真假，是基础题．
判断命题 p，q 的真假，然后求解结果即可．
【解答】解：因为 时不成立，故命题 p： ， 是假命题；
命题 q： ， ，当 时，命题成立，所以是真命题．
所以 是真命题；
是假命题；
是假命题；
是假命题；
故选 A．
4. 有两个问题： 有 1000 个乒乓球分别装在 3 个箱子内，其中红色箱子内有 500 个，蓝
色箱子内有 200 个，黄色箱子内有 300 个，现从中抽取一个容量为 100 的样本； 从 20
名学生中选出 3 人参加座谈会．则下列说法中正确的是
A. 随机抽样法 系统抽样法 B. 分层抽样法 随机抽样法
C. 系统抽样法 分层抽样法 D. 分层抽样法 系统抽样法
【答案】B
【解析】解：1000 个乒乓球分别装在 3 个箱子内，其中红色箱子内有 500 个，蓝色箱子内
有 200 个，黄色箱子内有 300 个，总体的个体差异较大，可采用分层抽样；从 20 名学生中
选出 3 名参加座谈会，总体个数较少，可采用抽签法．
故选 B．
简单随机抽样是从总体中逐个抽取；系统抽样是事先按照一定规则分成几部分；分层抽样是
将总体分成几层，再抽取．
抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽
签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，
可采用分层抽样．
5. “若 或 ，则 ”的否命题为
A. 若 或 ，则 B. 若 ，则 或
C. 若 或 ，则 D. 若 且 ，则
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查否命题与原命题的关系，是基础题．
利用原命题与否命题的定义写出结果即可．
【解答】
解：“若 或 ，则 ”的否命题为：若 且 ，则 ．
故选 D．
6. 下列说法中正确的是
A. 表示过点 ，且斜率为 k 的直线方程
B. 直线 与 y 轴交于一点 ，其中截距
C. 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a 与 b 的直线方程是
D. 方程 表示过点 ， 的直线【答案】D
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了直线方程的几种形式，关键是对直线方程形式的理
解，属于基础题．
分别由直线的点斜式方程、直线在 y 轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式
逐一核对四个选项进行分析判断，即可得答案．
【解答】
解：对于 A，点 不在直线上，故 A 不正确；
对于 B，截距不是距离，是 B 点的纵坐标，其值可正可负．故 B 不正确；
对于 C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是 0，不能表示为 ，故 C 不正确；
对于 D，此方程即直线的两点式方程变形，即 ，故 D 正确．
故选：D．
7. 已知命题 p：若 为钝角三角形，则 ；命题 q： ， ，若 ，则
或 ，则下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查命题的逆否命题，及复合命题的真假判断，考查三角形内角的函数值大小比较、考
查了推理能力与计算能力，属于中档题．
命题 p：由 为钝角三角形，当 B 为钝角时，可得 ， ，即可判断出真假；
命题 q：判断其逆否命题的真假即可得出结论．
【解答】
解：命题 p：若 为钝角三角形，当 B 为钝角时，可得 ， ，
，可知命题 p 是假命题；
命题 q 的逆否命题为：若 且 ，则 ，是真命题，因此命题 q 是真命题，
则选项中命题为真命题的是 ．
故选 B．
某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016
年 12 月期间月接待游客量单位：万人的数据，绘制了下面的折线图．
8.
根据该折线图，下列结论错误的是
A. 月接待游客逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月
D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的知识点是数据的分析，难度不大，属于基础题．
根据已知中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量的数据，逐一分析给定四个结论
的正误，可得答案．
【解答】
解：由已知中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量单位：万人的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故 A 错误；
年接待游客量逐年增加，故 B 正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，故 C 正确；
各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正
确；
故选 A．
9. 过双曲线 的右顶点 A 作斜率为 的直线，该直线与双曲线的
两条渐近线的交点分别为 B、 若 ，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，
能将已知条件转化到基本知识的运用．
分别表示出直线 l 和两个渐近线的交点，进而表示出 和 ，进而根据 求得 a 和 b
的关系，进而根据 ，求得 a 和 c 的关系，则离心率可得．
【解答】
解：直线 l： 与渐近线 ： 交于 ，
l 与渐近线 ： 交于 ，又 ，
， ，
，
， ，
，
， ，故选：C．
10. 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由于 ，
则 ， ； ， ；
， ；
， ；
， ，此时不再循环，
则输出 ．
故选：D．
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用
循环计算 S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问
题最常用的办法．
11. 已知点 A，B 是抛物线 上的两点，点 是线段 AB 的中点，则 的值为
A. 4 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，中点坐标公式，考查计算能
力，属于中档题．
利用中点坐标公式及作差法，求得直线 AB 的斜率公式，求得直线直线 AB 的方程，代入抛
物线方程，利用弦长公式及韦达定理，即可求得 的值．
【解答】
解：设 ， ，
则 ， ，
由中点坐标公式可知： ，
两式相减可得， ，
则直线 AB 的斜率 k， ，
直线 AB 的方程为 即 ，联立方程
消去 y，得 ，
，
， ，
．
故选 C．
12. 若 x、y 满足 ，则 的最小值是
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程与圆的标准方程，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径 r，设圆上一点的坐标为 ，原点
坐标为 ，则 表示圆上一点和原点之间的距离的平方，根据图象可知此距离的最小
值为圆的半径 r 减去圆心到原点的距离，利用两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，利
用半径减去求出的距离，然后平方即为 的最小值．
【解答】
解：把圆的方程化为标准方程得： ，
设圆心为点 A，
则圆心坐标为 ，圆的半径 ，
设圆上一点的坐标为 ，原点 O 坐标为 ，
如图所示：
则 ， ，所以 ，
则 的最小值为 ，
故选 C．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知双曲线的渐近线方程为 ，且过点 ，则此双曲线的方程为______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，设出双曲线的方程是解题的关键，
属于中档题．
设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，求解即可．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为 ，
可设双曲线方程为： ，
双曲线经过点 ，
可得： ，解得 ，
所求双曲线方程为： ．
故答案为 ．
14. 98 与 63 的最大公约数为 a，二进制数 110011 化为十进制数为 b，则
____________．
【答案】58
【解析】【分析】
利用辗转相除法，用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数
和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数，可求
a；根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到 b 的
值，求和即可得解．
【解答】
解：由题意， ，
，
，
，
与 63 的最大公约数为 7，可得： ；
又 ，可得： ，
．
故答案为 58．15. 某班有学生 52 人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为 4 的样
本，已知 5 号、31 号、44 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是______．
【答案】18
【解析】解：某班有学生 52 人，现将所有学生随机编号，
用系统抽样方法，抽取一个容量为 4 的样本，
则抽样间隔为 ，
号、31 号、44 号学生在样本中，
样本中还有一个学生的编号是： ．
故答案为：18．
用系统抽样方法，抽取一个容量为 4 的样本，则抽样间隔为 ，由此能求出样本中还有
一个学生的编号．
本题考查样本编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力．
16. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 且与 x 轴垂直的直线交椭
圆于 A、B 两点，直线 与椭圆的另一个交点为 C，若 ，则椭圆的离心率
为______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线和椭圆的位置关系，离心率的求法，属于中档题．
由题意画出图形，求出 A 的坐标，结合向量加法的坐标运算，求得 C 的坐标，代入椭圆方
程可解 e 的值．
【解答】
解：不妨设点 A 在 x 轴下方，如图，
由题意， ， ， ，
， ，
， ，
，代入椭圆 ，
得 ，由 ，
整理得： ，解得 ，
椭圆的离心率 ．故答案为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）
17. 已知 p： ，q： ．
若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围；
若“ ”是“ ”的充分条件，求实数 m 的取值范围．
【答案】解： ： ，q： ．
故 p： ，q： ，
若 p 是 q 的充分条件，
则 ，
故
解得： ；
若“ ”是“ ”的充分条件，
即 q 是 p 的充分条件，
则 ，
，
解得： ．
【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及充分而不必要条件的应用，同时考查
了运算求解的能力，属于基础题．
解出关于 p，q 的不等式，根据若 p 是 q 的充分条件，得到 ，求出 m 的
范围即可；
根据 q 是 p 的充分条件，得到 ，求出 m 的范围即可．
18. 已知圆 C 经过 ，两点，且圆心 C 在直线 上
求圆 C 的方程；
动直线 l： 过定点 M，斜率为 1 的直线 m 过点 M，直线 m
和圆 C 相交于 P，Q 两点，求 PQ 的长度．
【答案】解： 设圆 C 的方程为 ，
则 ，
解得 ， ， ，
圆 C 的方程： ，即为：
动直线 l 的方程为 ．
则 ，得 ，
动直线 l 过定点 ，直线 m： ，
圆心 到 m 的距离为 ，
的长为 ．
【解析】本题考查圆的方程、线段长的求法，考查直线、圆、弦长公式等基础知识，考查推
理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
设圆 C 的方程为 ，利用待定系数法能求出圆 C 的方程；
动直线 l 的方程为 ，列出方程组求出动直线 l 过定点 ，从而
求出直线 m： ，由此能求出圆心 到 m 的距离．
19. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款年
底余额如下表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号 t 1 2 3 4 5
储蓄存款 千亿元 5 6 7 8 10
Ⅰ求 y 关于 t 的回归方程 ．Ⅱ用所求回归方程预测该地区 2015 年 的人民
币储蓄存款．
附：回归方程 中：
．
【答案】解：Ⅰ由题中数据可计算得到下表：
i
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
6
7
8
10
1
4
9
16
25
5
12
21
32
50
15 36 55 120， ，
， ，
， ，
关于 t 的回归方程 ．Ⅱ 时， 千亿元，
所以该地区 2015 年 的人民币储蓄存款为 千亿元．
【解析】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．Ⅰ利用公式求出 ，
，即得到 y 关于 t 的回归方程 ；Ⅱ ，代入回归方程，即可预测该地区 2015 年
的人民币储蓄存款．
20. 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试，测得他们的最大速度单位：
的数据如下表：
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
画出茎叶图；
分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度单位： 数据的平均数、方差，并判断
选谁参加比赛更合适？
【答案】解： 画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数．
由茎叶图把甲、乙两名选手的 6 次成绩按从小到大的顺序依次排列为
甲：27，30，31，35，37，38；
乙：28，29，33，34，36，38．
所以甲组数据的平均值为：
乙组数据的平均值为：
甲组数据的方差为：
乙组数据的方差为：
因为平均值相等，乙的方差更小，所以乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更合适．
【解析】 以十位数为茎，个位数为叶，能画出茎叶图．
由茎叶图把甲、乙两名选手的 6 次成绩按从小到大的顺序依次排列，能求出甲、乙两名
自行车赛手最大速度单位： 数据的平均数、方差，因为平均值相等，乙的方差更小，
所以乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更合适
本题考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．
21. 已知椭圆 的左焦点为 ，且椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 1．
求椭圆的方程；
已知经过点 F 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，且 ，求直线 l 的方
程．
【答案】解： 由题意可得 ，
椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 1，即为 ，
解得 ， ，
即有椭圆方程为 ；
当直线的斜率不存在时，可得方程为 ，
代入椭圆方程，解得 ，则 不成立；
设直线 AB 的方程为 ，
代入椭圆方程，可得 ， ，
设 ， ，
即有 ， ，
则
，
即为 ，解得 ，
带入 验证可得都有成立．
则直线 l 的方程为 ．
【解析】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆上的点与焦点的距离的最值，考查直线和
椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
由题意可得 ， ，由 a，c，b 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程；
讨论直线 l 的斜率不存在和存在，设直线的方程 ，代入椭圆方程，运用韦达定
理和弦长公式，解方程可得斜率 k，进而得到直线 l 的方程．
22. 已知椭圆 ，斜率为 的动直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、B．
设 M 为弦 AB 的中点，求动点 M 的轨迹方程；
设 、 为椭圆 C 在左、右焦点，P 是椭圆在第一象限上一点，满足 ，
求 面积的最大值．
【答案】解： 设 ， ， ，则 ， ；
得： ，
即 ，
即 ．
又由中点在椭圆内部得 ，
所以 M 点的轨迹方程为 ， ．
由 ，
得 P 点坐标为 ，
设直线 l 的方程为 ，
代入椭圆方程中整理得： ，
由 得 ，
则 ， ，
， ，
所以 ．
，
当 时， ．
即 面积的最大值为 1．
【解析】本题考查了椭圆的性质及几何意义，曲线的轨迹方程及最值问题，属于中档题．
设 ， ， ，代入椭圆方程作差，利用点差法求得轨迹方程又由中点
在椭圆内部得 ，从而可得 M 点的轨迹方程．由 ，得 P 点坐标为 ，设直线 l 的方程为 ，与椭圆方程联立，
利用韦达定理结合弦长公式将三角形的面积表示出，再利用基本不等式求面积的最大值．
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