数学
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知点 ， ， ，若 A、B、C 三点共线，则 x 的值为
A. B. C. 2 D. 7
【答案】D
【解析】解：根据三点共线，可以确定 ，
解得： ，
故选：D．
直接利用两点的斜率公式相等，即可判定三点共线，求出 x 的值．
本题考查三点共线的应用，斜率相等是求解三点共线的方法之一，必须掌握．
2. 已知直线 ： 与 ： 垂直，则 k 的值是
A. 1 或 3 B. 1 或 5 C. 1 或 4 D. 1 或 2
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查两直线垂直的条件，属于基本题型．
由两直线 与 垂直 解得即可．
【解答】
解：由题意得 ，
整理得 ，
解得 或 ．
故选 C．
3. 命题“ ， ”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查全称命题的否定为特称命题，属于基础题．
根据“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述，“全称命题”的否定一定是
“特称命题”，写出结果即可．
【解答】
解： 全称命题的否定是特称命题，
命题“ ， ”的否定是“ ， ”
故选 B．4. 在空间直角坐标系 中，点 关于点 的对称点是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用中点坐标公式即可得出．
【解答】
解：由中点坐标公式可得：点 2， 关于点 0， 的对称点是 ．
故选：A．
5. 已知点 和点 是关于直线 l 对称的两点，则直线 l 的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
由题意可得直线 l 为线段 PQ 的中垂线，求得 PQ 的中点为 ，求出 PQ 的斜
率可得直线 l 的斜率，由点斜式求得直线 l 的方程，化简可得结果．
本题主要考查两条直线垂直的性质，斜率公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于中档
题．
【解答】
解： 点 与 关于直线 l 对称，
直线 l 为线段 PQ 的中垂线，PQ 的中点为 ，PQ 的斜率为 ，
直线 l 的斜率为 1，
即直线 l 的方程为 ，
化简可得 ．
故选 C．
6. 两圆 与 公共弦所在直线的方程是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题是基础题，考查圆系方程的有关知识，公共弦所在直线方程，考查计算能力，是常考题
型．如果通过解交点的方法解答，比较麻烦．写出过两个圆的方程圆系方程，令 即可
求出公共弦所在直线方程．
【解答】
解：经过两圆 与 的交点的圆系方程为：
，
令 ，可得公共弦所在直线方程为：
故选 C．7. 如图是计算 的值的一个程序框图，其中
判断框内应填的是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的知识点是程序框图，利用当型循环结构进行累加运算时，如果每次累加的值为循
环变量值时，一般条件为循环条件小于等于终值，根据已知中程序的功能是求
的值，由累加项分母的初值和终值可以判断循环次数，进而得到条件．
【解答】
解：由于程序的功能是求 的值，
分母 n 的初值为 1，终值为 39，步长为 2，故程序共执行 20 次，
故循环变量 i 的值不大于 20 时，应不满足条件，继续执行循环，
大于 20 时，应满足条件，退出循环，
故判断框内应填的是 ．
故选 C．
8. 某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：
不喜欢 喜欢
男性青年观众 30 10
女性青年观众 30 50
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 人做进一步的调研，若在“不喜欢
的男性青年观众”的人中抽取了 6 人，则
A. 12 B. 16 C. 24 D. 32
【答案】C
【解析】解：由分层抽样的性质得：
，
解得 ．
故选：C．
由分层抽样的性质列方程能求出 n 的值．
本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9. 点 A，B 分别为圆 M： 与圆 N： 上的动点，点 C 在直线
上运动，则 的最小值为
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
根据题意，算出圆 M 关于直线 l 对称的圆 方程为 当点 P 位于线段 上
时，线段 AB 的长就是 的最小值，由此结合对称的知识与两点间的距离公式加以
计算，即可得出 的最小值．
【解答】
解：设圆 是圆 M： 关于直线 对称的圆，
可得 ，圆 方程为 ，
可得当点 P 位于线段 上时，线段 AB 长是圆 N 与圆 上两个动点之间的距离最小值，
此时 的最小值为 AB，
，圆的半径 ，
，
可得
因此 的最小值为 7，
故选 A．
10. 已知椭圆 与双曲线 有公共焦点；过抛物线 的焦点且垂
直于 x 轴的直线截抛物线所得弦长等于椭圆的短轴长，则该椭圆的离心率
A. B. C. D.
【答案】C【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质及几何意义、双曲线的概念及标准方程、抛物线的性质及几何意义，属
于一般题由椭圆 与双曲线 有公共焦点，求出 c 的值，又过抛物线
的焦点且垂直于 x 轴的直线截抛物线所得弦长等于椭圆的短轴长，求出 b 的值，从而
求出 c，即可求出离心率．
【解答】
解：由题意，椭圆 与双曲线 有公共焦点，
则 ，即 ，
又过抛物线 的焦点且垂直于 x 轴的直线截抛物线所得弦长等于椭圆的短轴长，
则 ，
解之得 ，从而 ，
则椭圆的离心率为 ，
故选 C．
11. 已知 ， 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ，线段
的垂直平分线过 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值
为
A. B. 3 C. 6 D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
通过图象可知 ，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得 的表达式，
通过基本不等式即得结论．
【解答】
解：由题意可知： ，
又 ， ，
， ，
两式相减，可得： ，
，
，
，当且仅当 时等号成立，
的最小值为 6，
故选 C．12. 若直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，则实数 k 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的
综合．
根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去 y，利用判别式大于 0 和
联立求得 k 的范围．
【解答】
解：渐近线方程为 ，由 消去 y，整理得
设 的两根为 ， ，
直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，
， ，
故选 D．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 设两条直线 ， 的交点为 M，若点 M 在圆 内，则实数 m
的取值范围为______ ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查点与圆的位置关系的应用，考查计算能力，是基础题．
求出两条直线的交点坐标，以及交点到圆心的距离小于半径，求解即可得答案．
【解答】
解：由题意可知： ，解得 ，交点 ，
交点 M 在圆 的内部，
可得 ，
解得 ．
实数 m 的取值范围为： ．
故答案为： ．
14. 一个频率分布表样本容量为 不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在 上
的频率为 ，则估计样本在 ， 内的数据个数之和是______．
【答案】21【解析】解：根据题意，设分布在 ， ， 内的数据个数分别为 x，y
样本中数据在 上的频率为 ，样本容量为 50
，解之得
即样本在 ， ， 内的数据个数之和为 21
故答案为：21
设分布在 ， ， 内的数据个数分别为 x， 根据样本容量为 50 和数据在
上的频率为 ，建立关于 x、y 的方程，解之即可得到 的值．
本题给出频率分布表的部分数据，要我们求表中的未知数据．着重考查了频率分布表的理解
和频率计算公式等知识，属于基础题．
15. 已知点 ，抛物线 C： 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，
与其准线相交于点 N，若 ，则 p 的值等于______．
【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为
点到准线的距离来解决．
作出 M 在准线上的射影，根据 ： 确定 ： 的值，进而列方程求得 a．
【解答】
解：依题意 F 点的坐标为 ，
设 M 在准线上的射影为 K
由抛物线的定义知 ，
，
则 ： ：1，
，
，求得 ，
故答案为 2．
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的右支与焦点为 F 的抛物线
交于 A，B 两点，若 ，则该双曲线的渐近线方程为
______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考
查了推理能力与计算能力，属于中档题．把 代入双曲线 ，可得： ，利用根与系数
的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
【解答】
解：把 代入双曲线 ，
可得： ，
，
， ，
，
．
该双曲线的渐近线方程为：
故答案为
三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）
17. 已知命题 p：“曲线 ： 表示焦点在 x 轴上的椭圆”，命题q：“曲线 ：
表示双曲线”．
若命题 p 是真命题，求 m 的取值范围；
若 p 是 q 的必要不充分条件，求 t 的取值范围．
【答案】解： 若 p 为真：则
解得 ，或 ；
若 q 为真，则 ，
即 ，
是 q 的必要不充分条件，
则 ，或 ，
即 或 ，
解得 或 ．
【解析】本题考查了椭圆与双曲线的概念及充分条件，必要条件的应用，属于基础题．
利用圆锥曲线的性质求出 m 的范围；
若 q 为真，则 ，即 ，由 p 是 q 的必要不充分条件，得到
，或 即可求出 t 的取值范围．
某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了 100 名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．
18.
求这 100 名学生中参加实践活动时间在 小时内的人数；
估计这 100 名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数
【答案】解： 依题意，100 名学生中参加实践活动的时间在 小时内的人数为：
，
即这 100 名学生中参加实践活动时间在 小时内的人数为 58．
由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为 7，
故这 100 名学生参加实践活动时间的众数的估计值为 7 小时，
由 ，解得 ，
则 ，
即这 100 名学生参加实践活动时间的中位数为 小时，
这 100 名学生参加实践活动时间的平均数为：
小时．
【解析】本题考查频率分布直方图的应用，考查频数、中位数、众数、平均数等基础知识，
考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．
利用频率分布直方图能求出 100 名学生中参加实践活动的时间在 小时内的人数．
由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为 7，由此能求出这 100 名学生参加
实践活动时间的众数的估计值；由 ，求出 ，由此利
用频率分布直方图能求出这 100 名学生参加实践活动时间的中位数和平均数．
19. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，
为此做了四次试验，得到的数据如表所示：
零件的个数 个 2 3 4 5
加工的时间 3 4
Ⅰ在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；Ⅱ求出y 关于 x
的线性回归方程 ；Ⅲ试预测加工 10 个零件需要多少时间？
【答案】解：Ⅰ散点图如图所示，Ⅱ由表中数据得： ， ， ， ，
，
，；Ⅲ将 代入回归直线方程，
小时．
预测加工 10 个零件需要 小时．
【解析】本题考查了回归分析，解答此类问题的关键是利用公式计算，计算要细心．属于基
础题．Ⅰ由题意描点作出散点图；Ⅱ由表中数据求得 ， ，从而解
得；Ⅲ将 代入回归直线方程， 小时．
20. 已知双曲线 C： 的一个焦点与抛物线 的焦点相同，且经过点
．Ⅰ求双曲线 C 的标准方程和其渐近线方程；Ⅱ设直线 l 经过点 ，且斜率为
求直线 l 与双曲线 C 有两个公共点时 k 的取值范围．
【答案】解：Ⅰ由已知，双曲线的焦点为 和 ，
据定义有： ，
故 ， ， ，从而所求双曲线 C 的方程为 ．
其渐近线方程为： ；Ⅱ由 得： ，
当 ，即 时，
若 ，即
得 ，解得 时，直线与双曲线相交，有两个公共点，
所以，当 ，且 时，直线与双曲线有两个公共点．
【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系和双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考
查转化思想以及计算能力．Ⅰ求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线定义求出 a，然后求双曲
线 C 的方程，渐近线方程；Ⅱ联立 利用 ，求出 ，结合渐近线求解k 的
范围即可．
21. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的焦距为 2，离心率为 ，椭圆
的右顶点为 A．
求该椭圆的方程：
过点 作直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P，Q，求证：直线 AP，AQ 的斜率之
和为定值．
【答案】解： 由题意可知：椭圆 ，焦点在 x 轴上， ， ，
椭圆的离心率 ，则 ， ，
则椭圆的标准方程： ；
证明：设 ， ， ，
当斜率不存在时， 与椭圆只有一个交点，不合题意．
由题意 PQ 的方程： ，
则联立方程
整理得： ，
由韦达定理可知： ， ，
则 ，
则 ，
由 1
，
，
直线 AP，AQ 的斜率之和为定值 1．
【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，
考查计算能力，属于中档题．
由题意可知 ， ，离心率 ，求得 ，则 ，即可求得椭圆的方程；
则直线 PQ 的方程： ，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分
别求得直线 AP，AQ 的斜率，即可证明直线 AP，AQ 的斜率之和为定值．
22. 已知抛物线 过点 ，且焦点为 F，直线 l 与抛物线相交于 A，B 两
点．
求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；
若 ，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点．
【答案】解： 由 ，得 ，
故抛物线 C 的方程为 ，
其准线方程为 ；证明：设直线 l 的方程为 ，
代入 ，得 ，
设 ， ，
则 ， ，
，
，
所以直线 l 必过一定点 ．
【解析】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运
用，属于中档题．
点 M 代入抛物线方程，可得 p，即可求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；
直线 l 的方程为 代入 ，得 ，利用韦达定理结合 ，求出
b，即可证明直线 l 必过一定点，并求出该定点．
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