秘密★启用前【考试时间：2020 年 1 月 5 日 l5：00-17: 00】
绵阳市高中 2017 级第二次诊断性考试
理科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．设全集 U= {x|x>0}，M={x|l0）的右焦点为 F，过 F 作与双曲线的两条渐近线平行的
直线且与渐近线分别交于 A，B 两点，若四边形 OAFB (O 为坐标原点)的面积为 bc，则双曲
线的离心率为
A. B.2 C. D.3
9．小明与另外 2 名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3 人同时随机等可能选择手心或
手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得 1 分，其余每人得 0 分，现 3 人共进行了
4 次游戏，记小明 4 次游戏得分之和为 x,则 X 的期望为
A．1 B．2 C．3 D.4
10.已知圆 C：x2 +y2 -6x-8y+9=0，点 M,N 在圆 C 上，平面上一动点 P 满足|PM|=|PN|且 PM⊥
PN,则|PC|的最大值为
A.8 B. 8 C．4 D．4
11.己 知 f(x)为 偶 函 数 ， 且 当 x≥0 时 ， ， 则 满 足 不 等 式
f(log2m)+f( )< 2f (1)的实数 m 的取值范围为
A．（ ，2） B．(0，2) C．(0， )∪(1，2) D．(2，+∞)
12．函数 f(x)=(2ax-1)2 -loga(ax+2）在区间[0， ]上恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是
A.( ， ) B.[3,+∞) C.(1,2) ∪[3, +∞) D.[2,3)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．直线 l1：ax-(a+l)y-1=0 与直线 4x-6y+3=0 平行，则实数 a 的值是 ．
14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法。受其启发，我们设计
如下实验来估计π的值：先请 200 名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于 l 的正实数对
(x,y)；再统计两数的平方和小于 l 的数对(x,y)的个数 m, 最后再根据统计数 m 来估计π的值，
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
2 3
2 2
3
3
1sincos)( xxxxxf +−=
m
2
1log
2
1
2
1
a
1
3
1
2
1已知某同学一次试验统计出 m=156，则其试验估计π为__ __．
15．函数 的图象如右图所示，则 f(x)在区间[-π，π]上的
零点之和为____．
16．过点 M(-1，0)的直线，与抛物线 C: y2=4x 交于 A，B 两点(A 在 M，B 之间)，F 是抛物
线 C 的焦点，点 N 满足： ，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17. (12 允)
每年的 4 月 23 日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的
抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生（其中男生 45 名），统计
了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间 t(小时)的频率分布直方图如图所示：
(1)求样本学生一个月阅读时间 t 的中位数 m.
(2)已知样本中阅读时间低于 m 的女生有 30 名，请根据题目信息完成下面的 2×2 列联
表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关．
18. （12 分 、
)2||,0)(sin(
πϕωϕω += xy
AFNA 5= 已知等羞数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1+a2=0，S6=24．各项均为正数的等比数
列{bn}满足 bl+b2=a4+1，b3=S4．
(1)，求 an 和 bn；
(2)求和：Tn=1+(1+b1)+(1+bl+b2)+…+（1+bl+b2+…+bn-1）．
19. (12 分)
在 △ ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c. 已 知 (sinA+sinB)(a
-b)=c(sinC+sinB).
(l)求 A；
(2)若 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥BC, BC=2 AD，求 sinB．
20. (12 分)
已知椭圆 C： ，直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点．
(l)若点 P(-1，1)满足 =0 (O 为坐标原点)，求弦 AB 的长；
(2)若直线 l 的斜率不为 0 且过点(2，0)，M 为点 A 关于 x 轴的对称点，点 N(n，O)
满足 ，求 n 的值．
21．(12 分)
己知函数 f(x) =2lnx+ x2-ax，其中 a∈R．
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)设函数 f(x)有两个极值点 xl，x2(其中 x2>x1)，若 f(x2)-f(xI)的最大值为 2ln2- ，求实
数 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题申任选一题做答。如果多做，则按所做
的
第一题计分。
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分）
在平面直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程为 （r>0， 为参数），以坐标
原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 经过点 P(2， )，曲线 C2 的直角
坐标方程为 x2-y2=1．
3
12
2
2
=+ yx
OCOBOA ++
NBMN λ=
2
1
2
3
=
+=
ϕ
ϕ
sin
cos1
ry
rx ϕ
3
π (1)求曲线 C1 的普通方程，曲线 C2 的极坐标方程；
(2)若 A(ρ1，α)，B(ρ2，α- )是曲线 C2 上两点，当α∈(0， )时，求
的取值范围．
23.【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）
已知关于 x 的不等式|x+l|-|2x-l|≤ ，其中 a>0．
(1)当 a=4 时，求不等式的解集；
(2)若该不等式对 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围．
6
π
4
π
22 ||
1
||
1
OBOA
+
a
2
1log
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