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第2章 函数
2.1 函数的概念
2.1.2 函数的表示方法
A级 基础巩固
1．已知f(x)＝则f(f(－7))的值为( )
A．100 B．10
C．－10 D．－100
解析：因为f(x)＝所以f(－7)＝10.
f(f(－7))＝f(10)＝10×10＝100.
答案：A
2．函数f(x)＝满足f(f(x))＝x，则常数c等于( )
A．3 B．－3
C．3或－3 D．5或－3
解析：f(f(x))＝＝＝x，即x[(2c＋6)x＋9－c2]＝0，
所以解得c＝－3.
答案：B
3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，
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且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
解析：由题意设f(x)＝a(x－1)2＋b(a＞0)，由于点(0，0)在图象上，所以a＋b＝0，a＝－b，故符合条件的是D.
答案：D
4．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s，横轴表示该同学出发后的时间t，则比较符合该同学行进实际的是( )
解析：依题意：s表示该同学与学校的距离，t表示该同学出发后的时间，当t＝0时，s最远，排除A、B，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.
答案：D
5．g(x)＝1－2x，f(g(x))＝(x≠0)，则f＝( )
A．1 B．3 C．15 D．30
解析：由g(x)＝得：1－2x＝⇒x＝，
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代入得：＝15.
答案：C
6．(2015·陕西卷)设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1 B. C. D.
解析：f(－2)＝(－2)2＝4.
所以f(f(－2))＝f(4)＝1－＝－1.
答案：A
7．已知函数f(x)＝则方程f(x)＝x的解的个数为________．
解析：x>0时，x＝f(x)＝2；x≤0时，x2＋3x＝x⇒x＝0或－2.
答案：3
8.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f(f(f(2))＝________．
解析：由图象及已知条件知f(2)＝0，即f(f(f(2)))＝f(f(0))，
又f(0)＝4，所以f(f(0))＝f(4)＝2.
答案：2
9．若某汽车以52 km/h的速度从A地驶向260 km远处的B地，在B地停留h后，再以65 km/h的速度返回A地．则汽车离开A
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地后行走的路程s关于时间t的函数解析式为________________．
解析：因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，
所以s＝
答案：s＝
10．设f(x)＝若f(a)＞a，则实数a的取值范围是________．
解析：当a≥0时，f(a)＝a＋1＞a恒成立．
当a＜0时，f(a)＝＞a，所以a＜－1.
综上a的取值范围是a≥0或a＜－1.
答案：{a|a≥0或a＜－1}
11．已知二次函数满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求f(x)．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c.
因为f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，
所以9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5.
比较两端系数，得⇒
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所以f(x)＝x2－4x＋8.
12．已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0，1]．
B级 能力提升
13．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a的值为( )
A．2 B．1 C．3 D．4
解析：易知f(0)＝2，所以f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，所以a＝2.
答案：A
14．任取x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，若f＞[f(x1)＋f(x2)]，则f(x)在[a，b]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是( )
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解析：只需在图形中任取自变量x1，x2，分别标出它们对应的函数值及对应的函数值，并观察它们的大小关系即可．
答案：D
15．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝A，C为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是( )
A．75，25 B．75.16
C．60，25 D．60，16
解析：由条件可知，x≥A时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f(4)＝＝30⇒C＝60，
f(A)＝＝15⇒A＝16.
答案：D
16．已知函数f(x)＝
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(1)求f(2)，f(f(2))的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
解：(1)因为0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
所以f(2)＝22－4＝0，
f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，由x－4＝8，得x0＝±2∉[0，2]，故无解．
当x0＞2时，由2x0＝8，得x0＝4.
因此f(x0)＝8时，x0的值为4.
17．某市出租车的计价标准是：4 km以内10元，超过4 km且不超过18 km的部分1.2 元/km，超过18 km的部分1.8 元/km.
(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；
(2)如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？
解：(1)设车费为y元，出租车行驶里程为x km.
由题意知，当0＜x≤4时，y＝10；
当4＜x≤18时，y＝10＋1.2(x－4)＝1.2x＋5.2；
当x＞18时，y＝10＋1.2×14＋1.8(x－18)＝1.8x－5.6.
所以，所求函数关系式为y＝
(2)当x＝20时，y＝1.8×20－5.6＝30.4.
所以乘车行驶了20 km要付30.4元的车费．
18．某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系用图①表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下表所示：
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t/天
5
15
20
30
Q/件
35
25
20
10
(1)根据提供的图象(图①)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数解析式；
(2)在所给平面直角坐标系(图②)中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定一个日销售量Q与时间t的函数解析式；
(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．
解：(1)根据图象，每件的销售价格P与时间t的函数解析式为：
P＝
(2)描出实数对(t，Q)的对应点，如下图所示．
从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l：Q＝kt＋b.
由点(5，35)，(30，10)确定出l的解析式为Q＝－t＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l上．
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所以日销售量Q与时间t的一个函数解析式为
Q＝－t＋40(0＜t≤30，t∈N)．
(3)设日销售金额为y(元)，则
y＝
因此y＝
若0＜t＜25(t∈N)，则当t＝10时，ymax＝900；
若25≤t≤30(t∈N)，则当t＝25时，ymax＝1 125.
因此第25天时销售金额最大，最大值为1 125元．
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