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模块综合评价(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a＞b，则下列正确的是( )
A．a2＞ b2 B．ac＞ bc
C．ac2＞ bc2 D．a－c＞ b－c
解析：A选项不正确，因为若a＝0，b＝－1，则不成立；B选项不正确，c≤0时不成立；C选项不正确，c＝0时不成立；D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．
答案：D
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．30°
解析：因为A＝60°，a＝4，b＝4，
由正弦定理＝，得
sin B＝＝＝.
因为a＞b，所以A＞B，
所以B＝45°.
答案：C
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3．数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1 020，那么n的最小值是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：因为1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.
若Sn>1 020，则2n＋1－2－n>1 020，
所以n≥10.
答案：D
4．若集合M＝{x|x2＞4}，N＝，则M∩N＝( )
A．{x|x＜－2} B．{x|2＜x＜3}
C．{x|x＜－2或x＞3} D．{x|x＞3}
解析：由x2＞4，得x＜－2或x＞2，
所以M＝{x|x2＞4}＝{x|x＜－2或x＞2}．
又＞0，得－1＜x＜3，
所以N＝{x|－1＜x＜3}；
所以M∩N＝{x|x＜－2或x＞2}∩
{x|－1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}．
答案：B
5．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1·a9＝16，则a2·a5·a8的值为( )
A．16 B．32 C．48 D．64
解析：由等比数列的性质可得，a1·a9＝a＝16.
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因为an＞0，
所以a5＝4，所以a2·a5·a8＝a＝64，故选D.
答案：D
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acos B＝bcos A，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析：因为＝＝2R，
即a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
所以acos B＝bcos A变形得：sin Acos B＝sin Bcos A，
整理得：sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0.
又A和B都为三角形的内角，
所以A－B＝0，即A＝B，
则△ABC为等腰三角形．
答案：A
7．若实数x，y满足则S＝2x＋y－1的最大值为( )
A．8 B．4 C．3 D．2
解析：作出不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过图中点(2，3)时取得最大值6.
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答案：A
8．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于( )
A．18 B．24 C．60 D．90
解析：因为a4是a3与a7的等比中项，所以a＝a3a7，即(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，整理得2a1＋3d＝0.①
又因为S8＝8a1＋d＝32，
整理得2a1＋7d＝8.②
由①②联立，解得d＝2，a1＝－3，
所以S10＝10a1＋d＝60，故选C.
答案：C
9．设数列{an}满足a1＋2a2＝3，且对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都有PnPn＋1＝(1，2)，则{an}的前n项和Sn为( )
A．n B．n
C．n D．n
解析：因为PnPn＋1＝(1，2)，(1，an＋1－an)＝(1，2)，an＋1－an＝2，公差为d＝2.
所以a1＋2(a1＋2)＝3，3a1＋1＝0，a1＝－，
所以Sn＝n＋·2
所以Sn＝n.
答案：A
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10．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋2，则{an}的通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝3n－1
C．an＝22n－1 D．an＝6n－4
解析：an＋1＝3an＋2⇒an＋1＋1＝3(an＋1)⇒＝3.
所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列．所以an＋1＝3×3n－1＝3n，所以an＝3n－1.故选B.
答案：B
11．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若对任意x>2，不等式(x－a)⊗x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，7] B．(－∞，3]
C．(－∞，7] D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
解析：由题意可知，(x－a)⊗x＝(x－a)(1－x)≤a＋2对任意x>2都成立，即a≤在(2，＋∞)上恒成立．
由于＝(x－2)＋＋3≥
2＋3＝7(x>2)，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
所以a≤7，故选C.
答案：C
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，A＝，则该三角形面积的最大值是( )
A．2 B．3
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C．4 D．4
解析：a2＝b2＋c2－2bccos A≥2bc－bc＝bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时取等号，
所以S△ABC＝bcsin A≤×16×sin＝8×＝4.故选C.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若△ABC的内角A满足sin 2A＝，则sin A＋cos A＝________．
解析：由sin 2A＝2sin Acos A＞0，可知A是锐角，所以sin A＋cos A＞0，又(sin A＋cos A)2＝1＋sin 2A＝，所以sin A＋cos A＝.
答案：
14．已知a＜b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值为________．
解析：因为ab＝50＞0，所以a与b同号，
若二者均为正数，则|a＋2b|≥2＝20，
只有a＝2b时等式成立，
所以a＝10，b＝5(不合题意，舍去)．
若二者均为负数，则－a＞0，－b＞0，
|a＋2b|＝－(a＋2b)≥2＝20，
只有a＝2b时等式成立，
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所以a＝－10，b＝－5符合题意．
所以最小值为 20.
答案：20
15．不等式组所表示的平面区域的面积为________．
解析：作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝.
答案：
16．在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2＋c2－a2＝bc，sin2A＋sin2B＝sin2C，则角B的大小为________．
解析：由b2＋c2－a2＝bc⇒cos A＝＝，
所以A＝60°.
再由sin2A＋sin2B＝sin2C⇒a2＋b2＝c2，所以C＝90°，
所以B＝30°.
答案：30°
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}的公差d不为零，首项
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a1＝2且前n项和为Sn.
(1)当S9＝36时，在数列{an}中找一项am(m∈N*)，使得a3，a9，am成为等比数列，求m的值；
(2)当a3＝6时，若自然数n1，n2，…，nk，…满足3＜n1＜n2＜…nk＜…，并且a1，a3，an1，…，ank，…是等比数列，求nk.
解：(1)数列{an}的公差d≠0，a1＝2，S9＝36，
所以36＝9×2＋×9×8d，
所以d＝，所以a3＝3，a9＝6.
由a3，a9，am成等比数列，
则a＝a3·am，得am＝12，
又12＝2＋(m－1)·，
所以m＝21.
(2)因为{an}是等差数列，a1＝2，a3＝6，
所以an＝2n.
又a1，a3，an1成等比数列，所以公比q＝3.
所以ank＝a1·qk＋1＝2·3k＋1.
又ank是等差数列中的项，
所以ank＝2nk，所以2nk＝2·3k＋1，
所以nk＝3k＋1(k∈N*)．
18．(本小题满分12分)已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
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解：(1)由题意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13，
所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)·(a7＋1)得(a1＋5)2＝(a1＋1)·(a1＋13)，
解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1.
(2)由(1)知an＝2n＋1，则
Sn＝n(n＋2)，＝，
Tn＝＋＝＝－.
19．(本小题满分12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为25－x万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?
解：(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－－50，
(0＜x≤10，x∈N)，即y＝－x2＋20x－50，(0＜x≤10，x∈N)，
由－x2＋20x－50＞0，
解得10－5＜x＜10＋5，
而2＜10－5＜3，
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故从第3年开始运输累计收入超过总支出．
(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出．
所以销售二手货车后，小王的年平均利润为
＝[y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25)＝
19－，而19－≤19－2 ＝9，
当且仅当x＝5时取得等号．
即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．
20．(本小题满分12分)实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：
(1)点(a，b)对应的区域的面积；
(2)的取值范围；
(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．
解：方程x2＋ax＋2b＝0的两根区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y＝f(x)＝x2＋ax＋2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组
⇔
由解得A(－3，1)，
由解得B(－2，0)，
由解得C(－1，0)，
所以在下图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．
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(1)△ABC的面积为S△ABC＝·|BC|·h＝(h为A到Oa轴的距离)．
(2)的几何意义是点(a，b)和点D(1，2)连线的斜率．
因为kAD＝＝，kCD＝＝1，由图可知kAD＜＜kCD，
所以＜＜1，即∈.
(3)因为(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1，2)之间距离的平方，
所以(a－1)2＋(b－2)2∈(8，17)．
21．(本小题满分12分)已知，，(x≥0)成等差数列．又数列{an}(an＞0)中，a1＝3 ，此数列的前n项的和Sn(n∈N*)对所有大于1的正整数n都有Sn＝f(Sn－1)．
(1)求数列{an}的第n＋1项；
(2)若是，的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn.
解：因为，，(x≥0)成等差数列，所以×2＝＋.
所以f(x)＝(＋)2.
因为Sn＝f(Sn－1)(n≥2)，
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所以Sn＝f(Sn－1)＝(＋)2.
所以＝＋，－＝.
所以{}是以为公差的等差数列．
因为a1＝3，所以S1＝a1＝3.
所以＝＋(n－1)＝＋－＝n.
所以Sn＝3n2(n∈N*)．所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3(n＋1)2－3n2＝6n＋3.
(2)因为数列是，的等比中项，
所以()2＝·，
所以bn＝＝＝
.
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝
＝.
22．(本小题满分12分)规定：max(a，b，c)与min(a，b，c)分别表示a，b，c中的最大数与最小数，若正系数二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，试证：
(1)max(a，b，c)≥f(1)；
(2)min(a，b，c)≤f(1)．
证明：由题意知a，b，c＞0，f(1)＝a＋b＋c，Δ＝b2－4ac≥0.
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(1)若b≥f(1)，结论显然成立；下面证明当b＜f(1)时，结论也成立．
记f(1)＝a＋b＋c＝d，由b2－4ac≥0，可知ac≤＜d2，而a＋c＝d－b＞d，所以a2＋d2≥a2＋ac＝a(a＋c)＞ad，即＞0，
解得a＜d或a＞d.
若a＜d，则a＋c＞d，c＞d.
因此，必有a＞f(1)或b＞f(1)或c＞f(1)，
于是max(a，b，c)＞f(1)．
(2)若a≤f(1)，结论显然成立；下面证明当a＞f(1)时，结论也成立．
因为b＋c＝d－a＜d且b2≥4ac＞cd，
所以c＋＜c＋b＜d，
整理为＜0，
解得c＜d.
因此，必有a≤f(1)或c＜f(1)，于是min(a，b，c)≤f(1)．
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