2019—2020 学年第一学期联片办学期末考试
高二年级 理科数学试卷
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟
注意事项：
1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上对应区域，答在试卷上不得分
卷 I（选择题）
一、 选择题 （本大题共计 12 小题，每题 5 分，共 60 分，每题只有一项符合题目要求）
1. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）
A.若 ，则 ，或 B.若 ，则
C.若 或 ，则 D.若 或 ，则
2. “不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席 年 月所写的一首词《清平乐·六盘
山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神，其中“到长城”是“好汉”
的( )
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分条件 D.必要条件
3. 下列说法中，正确的是( )
A.“ ”是“ ”充分的条件 B.“ ”是“ ”成立的充分不必要条件
C.命题“已知 是实数，若 ，则 或 ”为真命题
D.命题“若 都是正数，则 也是正数”的逆否命题是“若 不是正数，则 都不是正数”
4. 命题“设 、 、 ，若 ，则 ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题
共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 当双曲线 的焦距取得最小值时，双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. ＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝
6. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则锐角 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 是直线被椭圆 所截得的线段的中点，则直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
8. 若抛物线 上的点 到其焦点的距离为 ，则实数 （ ）
A.
B.
C. D.
9. 抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形面积等于（ ）
A. B. C. D.
10. 方程 表示的曲线是( )
A. B. C. D.
11. 双曲线 C： 的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为
（ ）
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
12. 设 ， 是 双 曲 线 的 两 个 焦 点 ， 点 在 双 曲 线 上 ， 若
且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
卷 II（非选择题）
二、 填空题 （本大题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ）
13. 命题“ ， ”的否定是________．
14. 双曲线 上一点 到它的一个焦点的距离等于 ，那么点 到另一个焦点的距离
等于________．
15. 一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，则动圆圆
心 的轨迹方程是________．
16. 已知 F 是抛物线 的焦点，M 是抛物线上的一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N，
若 M 为 FN 的中点，则|FN|=_______．
三、 解答题 （本大题共计 6 小题 ，共计 70 分，答案写到答题卡上，解答题步骤要有
必要的文字说明 ）
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
1
sin50°
1
cos50°
xy 82 = 17.（本题满分 10 分） 设命题 ：实数 满足 ，其中 ；命题 ：实数
满足 ，
当 时，若 为真，求 的取值范围；
若￢ 是￢ 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
18.（本题满分 12 分） （1）求过点 且与双曲线 有公共渐近线的双曲线的
方程；（2）求双曲线 的焦点到其渐近线的距离．
19.（本题满分 12 分） 如图所示， ， 分别为椭圆 的左、右两个
焦点， ， 为两个顶点，已知椭圆 上的点 到焦点 ， 两点的距离之和为 ．
求椭圆 的方程和焦点坐标；
过椭圆 的焦点 作 的平行线交椭圆于 ， 两点，求线段 的长．
20.（本题满分 12 分） 已知双曲线 以 ， 为焦点，且过点 ．
求双曲线 与其渐近线的方程；
若斜率为 的直线与双曲线 相交于 ， 两点，且 （ 为坐标原点），求直线
的方程．
21.（本题满分 12 分）已知点 到点 的距离与点 到直线 的距离相等.
求点 的轨迹方程；
设点 的轨迹为曲线 ，过点 且斜率为 的直线与曲线 相交于不同的两点 为坐标
原点，求 的面积.
22. （本题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左焦
点为 ，右顶点为 ，上顶点为 .
OA OB
→ →
⊥已知椭圆的离心率为，线段 AF 中点的横坐标为 ，求椭圆的标准方程；
已知三角形 ABF 外接圆的圆心在直线 上，求椭圆的离心率 的值.2019—2020 学年第一学期联片办学期末考试
高二年级 理科数学试卷参考答案
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计 60 分 ）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D C B A C C B A C D A
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ）
13． ，
14. 或 15． 16．6
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计 70 分 ）
17.解： 当 时， 真，则 ，
解得 ；
真，则解得 ．
∵ 为真，则 真且 真，
故 的取值范围为 ．
￢ 是￢ 的必要不充分条件，则 是 的必要不充分条件，
∵ 真，有 ，
∴
故 ．
18.解：（1）因为所求双曲线与双曲线 有公共渐近线，
所以可设所求双曲线的方程为 ．因为所求双曲线过点 ，
所以 ，得 ，
所以所求双曲线的方程为 ．
（2）因为双曲线的方程为 ，
所以双曲线的一条渐近线方程为 ，
即 ．
因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等，
且 为双曲线的一个焦点，
所以双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ．
19.解： 由题设知： ，即 ，
将点 代入椭圆方程得 ，
解得 ，∴ ，
故椭圆方程为 ，
焦点 ， 的坐标分别为 和 .
由 知 ， ，
∴ ，
∴ 所在直线方程为 ，由 得 ，
设 ， ，
则 ， ，
弦长 ．
20.解： 设双曲线 的方程为 ，半焦距为 ，
则 ，
， ，
所以 ，
故双曲线 的方程为 ．
双曲线 的渐近线方程为 ．
设直线的方程为 ，将其代入方程 ，
可得
，若设 ， ，
则 ， 是方程 的两个根，
所以 ，又由 ，可知 ，
即 ，
可得 ，
故 ，解得 ，
所以直线方程为 ．
21 解： 设 ，
∵ 动点 到点 的距离与 到定直线 的距离相等，
∴ 点 到点 的距离等于 到直线 的距离，
由抛物线定义得：点 的轨迹是以 为焦点、直线 为准线的抛物线.
设抛物线方程为 ，可得
，
∴ 抛物线的方程为 ，即为点 的轨迹方程.
由直线的斜率为 ，
可得直线的方程为 ，即 .
与 联立，消去 ，整理得
.
设 ，则
，
∴ ，
因此 的面积22.解： 因为椭圆 的离心率为
所以 则 .
因为线段 中点的横坐标为 ，
所以
所以 ，则
所以椭圆的标准方程为
因为
所以线段 的中垂线方程为：
又因为 外接圆的圆心 在直线 上，
所以 .
因为
所以线段 的的中垂线方程为：
.
由 在线段 的中垂线上，得
整理得， 即
因为 所以 .
所以椭圆的离心率：
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