理科数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡
上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设集合 A＝{x∈N｜｜x≤2}，B＝{y｜y＝1－x2}，则 A∩B 的子集个数为
A．2 B．4 C．8 D．16
2．复数 z＝ 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2016
年 1 月至 2018 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线
图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
4．定义在 R 上的函数 f（x）＝ －2 为偶函数，a＝f（ ），b＝f（ ），c＝
f（m），则
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样
（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方形
内随机投掷 2 000 个点，己知恰有 800 个点落在阴影部分，据此可估
计阴影部分的面积是
A． B．
1 i
i
＋
1( )3
x m−
2
1log 2
1
31( )2
16
5
18
5C．10 D．
6．已知向量 a 与 b 夹角为 ，且｜a｜＝1，｜2a－b｜＝ ，则｜b｜＝
A． B．
C．1 D．
7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的
问题：松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹
何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入
的 a，b 分别为 3，1，则输出的 n 等于
A．5 B．4
C．3 D．2
8 ． 函 数 f （ x ） ＝ · cosx 的 图 象 大 致 是
32
5
3
π
3
3 2
3
2
2 1
2 1
x
x
＋
－9．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排 3 名
志愿者完成 5 项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共
有多少种
A．60 B．90 C．120 D．150
10．已知抛物线 y2＝2x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M，N
两点，若 ＝3 ，则｜MN｜＝
A． B． C．2 D．
11．已知三棱锥 P—ABC 内接于球 O，PA⊥平面 ABC，△ABC 为等边三角形，且边长为
，球 O 的表面积为 16π，则直线 PC 与平面 PAB 所成的角的正弦值为
A． B． C． D．
12．f（x）＝ g（x）＝ x3－ x2＋m＋2，若 y＝f（g（x））－m 有 9
个零点，则 m 的取值范围是
A．（0，1） B．（0，3） C．（1， ） D．（ ，3）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13 ． 曲 线 y ＝ x － 2x2 ＋ 1 在 点 （ 0 ， 1 ） 处 的 切 线 方 程 为
________．
14．若 是等差数列{ }的前 n 项和，若 a1≠0，a2＝3a1，则 ＝_______．
15．已知双曲线 C： （a＞0，b＞0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径做
圆，
圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线相交于 M，N 两点，若 ＝ （O 为坐标原点），
则双曲线 C 的离心率为________．
16．已知数列{ }满足：对任意 n∈N*均有 ＝p ＋2p－2（p 为常数，p≠0 且 p≠1），
PF MF
16
3
8
3
8 3
3
3
15
7
15
5
15
2
15
10
2
2 1
( 1) 1
x x
x x
＋ ， ＜1，
l og － ， ＞ ，
5
4
15
4
5
3
5
3
xe
nS na 10
5
S
S
2 2
2 2 1x y
a b
－ ＝
OM 3
2 ON
na 1na ＋ na若 a2，a3，a4，a5∈{－18，－6，－2，6，11，30}，则 a 1 的所有可能取值的集合是
_________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题．每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17．（12 分）
已知△ABC 外接圆半径为 R，其内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，设 2R（sin2A
－sin2B）＝（a－c）sinC．
（Ⅰ）求角 B；
（Ⅱ）若 b＝12，c＝8，求 sinA 的值．
18．（12 分）
已知三棱锥 M—ABC 中，MA＝MB＝MC＝AC＝2 ，AB＝
BC＝2，O 为 AC 的中点，点 N 在棱 BC 上，且 ＝ ．
（Ⅰ）证明：BO⊥平面 AMC；
（Ⅱ）求二面角 N—AM—C 的正弦值．
19．（12 分）
已知椭圆 E： （a＞b＞0）的离心率为 ，且过点 C（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）若过点（－ ，0）的任意直线与椭圆 E 相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为
M，求证：恒有｜AB｜＝2｜CM｜．
20．（12 分）
水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水
收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过 A 系统处理，处理后的污水
（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为 p（0＜p＜1）．经化验检测，若确认达
标便可直接排放；若不达标则必须进行 B 系统处理后直接排放．
某厂现有 4 个标准水量的 A 级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既
可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，
则混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化
验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．
现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验．
化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
（Ⅰ）若 p＝ ，求 2 个 A 级水样本混合化验结果不达标的概率；
2
BN 2
3 BC
2 2
2 2 1y x
a b
＋ ＝ 2
2
1
3
2 2
3 （Ⅱ）（ⅰ）若 p＝ ，现有 4 个 A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪
个最“优”?
（ⅱ）若“方案三”比“方案四”更“优”，求 p 的取值范围．
21．（12 分）
已知函数 f（x）＝x－lnx－ ．
（Ⅰ）求 f（x）的最大值；
（Ⅱ）若 f（x）＋（x＋ ） －bx≥1 恒成立，求实数 b 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答．如果多做．则按所做
的第一题记分．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 E 经过点 P（1， ），其参数方程为
（α 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线 E 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OA⊥OB，求证： ＋ 为定值，并求出这
个定值．
23．[选修 4—5 不等式选讲]（10 分）
已知函数 f（x）＝｜x－1｜－｜2x＋1｜＋m．
（Ⅰ）求不等式 f（x）≥m 的解集；
（Ⅱ）若恰好存在 4 个不同的整数 n，使得 f（n）≥0，求 m 的取值范围．
数学（理科） 参考答案
一、选择题
1-12 BDACB CBCDB DA
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解析：（I）
∴
2 2
3
xe
x
1
x
xe
3
2
cos
3sin
x a
y
α
α
＝ ，
＝ ，
2
1
OA 2
1
OB
1 0;x y− + = 4; ;5
30 { }.66,2,0 −−
2 22 (sin sin ) ( )sin .R A B a c C− = −
2 22 2 (sin sin ) ( )sin 2 ,R R A B a c C R⋅ − = − ⋅N
OA C
B
M
即： ……3 分
∴
因为 所以 ……6 分
（II）若 ，由正弦定理， , ,
由 ，故 为锐角， ……9 分
……12 分
18. 解析：（I）如图所示：连接 ，
在 中： ，则 ，
.……2 分
在 中： ， 为 的中点，
则 ，且 ……4 分
在 中： ，满足：
根据勾股定理逆定理得到 相交于 ，
故 平面 ………………….6 分
（Ⅱ）因为 两两垂直，建立空间直角坐标系 如图所示．
因为 ,
则 ……8 分
由 所以，
设平面 的法向量为 ，则
2 2 2 .a c b ac+ − =
2 2 2 1cos .2 2
a c bB ac
+ −= =
0 ,B π< <
3B
π∠ =
12, 8b c= =
sin sin
b c
B C
= 3sin 3C =
b c> C∠ 6cos .3C =
3 6 1 3 3 2 3sin sin( ) sin( ) .3 2 3 2 3 6A B C C
π += + = + = ⋅ + ⋅ =
OM
ABC∆ 2, 2 2AB BC AC= = = 90 , 2ABC BO∠ = ° =
OB AC⊥
MAC∆ 2 2MA MC AC= = = O AC
OM AC⊥ 6.OM =
MOB∆ 2, 6, 2 2BO OM MB= = = 2 2 2BO OM MB+ =
OB OM⊥ ,AC OM O
OB ⊥ AMC
, ,OB OC OM
2 2M A M B M C AC= = = = 2AB BC= =
(0, 2,0), ( 2,0,0), (0, 2,0), (0,0, 6)A B C M−
2
3BN BC= 2 2 2( , ,0)3 3N
MAN ( , , )m x y z=
2 5 2 2 5 2( , ,0) ( , , ) 0,3 3 3 3
(0, 2, 6) ( , , ) 2 6 0
AN n x y z x y
AM n x y z y z
⋅ = ⋅ = + =
⋅ = ⋅ = + =
令 ，得 ……10 分
因为 平面 ，所以 为平面 的法向量，
所以 与 所成角的余弦为 ．
所以二面角的正弦值为 .……12 分
19．（I）由题意知 ， .……1 分
又因为 解得， . ……3 分
所以椭圆方程为 . ……4 分
（Ⅱ） 设过点 直线为 ，设 ，
由 得 ，且 .
则
又因为 ， ，
，……10 分
所以 .
因为线段 的中点为 ，所以 .……12 分
20. 解析：（I）该混合样本达标的概率是 ，……2 分
所以根据对立事件原理，不达标的概率为 .……4 分
3y = ( 5 3, 3, 1)m = − −
BO ⊥ AMC ( 2,0,0)OB = AMC
( 5 3, 3, 1)m = − − ( 2,0,0)OB = 5 6 5 3cos ,
79 2 79
m OB
− −< >= =
25 3 2 2 79|sin , | 1 ( ) 7979 79
m OB
−< >= − = =
1b= 2
2
c
a
=
2 2 2a b c= + 2a =
2
2 12
y x+ =
1( ,0)3
− 1
3x ty= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
2
1
3
12
x ty
xy
= −
+ =
( )2 29 18 12 16 0t tyy+ − − = > 0∆
1 2 2
1 2 2
12 ,9 18 616 ,9 18
y
y y
ty t
t
+ = + ……
= − +
分
( )1 11,CA x y= − ( )2 21,CB x y= −
( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4 4 16( 1)( 1) 13 3 3 9CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⋅ = − − + = − − + = + − + +
( )2
2 2
16 4 12 161 09 18 3 9 18 9
t tt t t
−= + − ⋅ + =+ +
C A C B⊥
AB M | | 2| |AB CM=
22 2 8( )3 9
=
8 11 9 9
− =（II）（i）方案一：逐个检测，检测次数为 4.
方案二：由（1）知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为 1，概率为 ；若不达标
则检测次数为 3，概率为 .故方案二的检测次数记为 ξ2，ξ2 的可能取值为 2,4,6.
其分布列如下，
可求得方案二的期望为
方案四：混在一起检测，记检测次数为 ξ4，ξ4 可取 1,5.
其分布列如下，
可求得方案四的期望为 .
比较可得 ，故选择方案四最“优”．……9 分
（ii）方案三：设化验次数为 ， 可取 2,5.
；
方案四：设化验次数为 ， 可取
；
由题意得 .
8
9
1
9
2
ξ 2 4 6
p 64
81
16
81
1
81
2
64 16 1 198 22( ) 2 4 681 81 81 81 9E ξ = × + × + × = =
4
ξ 1 5
p 64
81
17
81
4
64 17 149( ) 1 581 81 81E ξ = × + × =
4 2( ) ( ) 4E Eξ ξ< <
3
η 3
η
3
η 2 5
p 3p 31 p−
3 3 3
3( ) 2 5(1 ) 5 3E p p pη = + − = −
4
η 4
η 1,5
4
η 1 5
p 4p 41 p−
4 4 4
4( ) 5(1 ) 5 4E p p pη = + − = −
3 4
3 4
3( ) ( ) 5 3 5 4 4E E p p pη η< ⇔ − < − ⇔ ( )f x (0,1] (1, )+∞ max( ) (1) 1f x f e= = −
1( ) ( )e 1xf x x bxx
+ + − ≥
e eln e 1
x x
xx x x bxx x
⇔− + − + + − ≥
ln e 1 0xx x x bx⇔ − + + − − ≥
e ln 1xx x x bx
− − +⇔ ≥ min
e ln 1( ) ,
xx x x bx
− − +⇔ ≥
e ln 1( )
xx x xx x
ϕ − − +=
2 ln( )
xx e xx x
ϕ +′ =
2( ) lnxh x x e x= + ( )h x (0, )+∞ 0, ( )x h x→ → −∞ (1) 0h e= >
( )h x (0,1) 0x 02
0 0 0( ) ln 0xh x x e x= + =
0 0 0
1ln
2 0
0 0 0
0 0
ln 1ln 0 (ln )( )x x xxx e x x e ex x
+ = ⇔ = − =
xy xe= (0, )+∞ 0 0
0
1ln ln ,x xx
= = − 0
0
1xe x
=
( )xϕ 0(0, )x 0( , )x +∞
0
0 0 0 0 0
min
0 0
e ln 1 1 1( ) 2
xx x x x xx x x
ϕ − − + + − += = =
2b ≤
3(1, )2P
1 cos ,
3 3sin ,2
a α
α
= =
2 4a =
E
2 2
14 3
x y+ =极坐标方程为 .……5 分
（Ⅱ）不妨设点 的极坐标分别为
则
即 ……8 分
,即 ……10 分
23. 解：（I）由 ，得，
不等式两边同时平方，得 ，……3 分
即 ，解得 .
所以不等式 的解集为 ．……5 分
（Ⅱ）设 g（x）＝|x－1|－|2x＋1|，
……8 分
因为 ，
又恰好存在 4 个不同的整数 n，使得 ，
所以
故 的取值范围为 . ……10 分
2 2 21 1( cos sin ) 14 3
ρ θ θ+ =
,A B
1 2 1 2( ) ( ) 0 0,2A B
πρ θ ρ θ ρ ρ+ > >， ， ， ， ，
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2
2 2
1 1( cos sin ) 1,4 3
1 1( cos ( ) sin ( ) 1,4 2 3 2
ρ θ ρ θ
π πρ θ ρ θ
+ =
+ + + =
2 2
2
1
2 2
2
2
1 1 1cos sin ,4 3
1 1 1sin cos ,4 3
θ θρ
θ θρ
= +
= +
2 2
1 2
1 1 1 1 7
4 3 12ρ ρ+ = + = 2 2
1 1 7
| | | | 12OA OB
+ =
( )f x m≥
2 21) (2 1)x x≥( － ＋
3 ( 2) 0x x + ≤ 2 0x− ≤ ≤
( )f x m≥ { | 2 0}x x− ≤ ≤
( ) 0 ( )f n g n m≥ ⇔ ≥ − ( 2) (0) 0g g− = = ( 3) 1, ( 4) 2, (1) 3.g g g− = − − = − = −
( ) 0f n ≥
2 1.m− < − ≤ −
m [1,2)
12, ,2
1( ) 3 , 1,2
2, 1,
x x
g x x x
x x
+ ≤ −
= − − < ≤
− − >
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