文科数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡
上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A＝{1，2，3，4}，B＝{x｜ 1＜x＜3}，则 A∩B
A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}
2．复数 z＝ 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设 a＝ ，b＝ ，c＝ ，则
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
4．设 α、β 是两个不同的平面，l、m 是两条不同的直线，且 l α，m β，则
A．若 α∥β，则 l∥m B．若 m∥α，则 α∥β
C．若 m⊥α，则 α⊥β D．若 α⊥β，则 l⊥m
5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为
了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的
正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷 2 000 个点，己知恰
有 800 个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A． B． C．10 D．
6．若变量 x，y 满足约束条件 则 y－2x 的最小值是
A．－1 B．－6 C．－10 D．－15
7．已知函数 y＝f（x）的图像由函数 g（x）＝cosx 的图像经如下变换得到：先将 g（x）的
图像向右平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，
则函数 y＝f（x）的对称轴方程为
A．x＝ ＋ ，k∈Z B．x＝ ＋ ，k∈Z
C．x＝kπ＋ ，k∈Z D．x＝kπ＋ ，k∈Z
8．直线 3x＋4y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＋1＝0 相切，则 m＝
A．－5 或 15 B．5 或－15 C．－21 或 1 D．－1 或 21
－
1 i
i
＋
1
32
2
31( )4 2
1log 2
⊂ ⊂
16
5
18
5
32
5
0
0
3 4 0.
x y
x y
x y
＋ ≥ ，
－ ≥ ，
＋ － ≤
6
π
2
kπ
12
π
2
kπ
6
π
12
π
6
π9．已知椭圆： （a＞b＞0）的离心率为 ，直线 2x＋y＋10＝0 过椭圆的左顶
点，
则椭圆方程为
A． B． C． D．
10．已知三棱锥 P—ABC 的四个顶点均在球面上，PB⊥平面 ABC．PB＝2 ，△ABC
为直角三角形，AB⊥BC，且 AB＝1，BC＝2．则球的表面积为
A．5π B．10π C．17π D． π
11．关于函数 f（x）＝sin｜x｜－｜cosx｜有下述四个结论：
①f（x）是偶函数 ②f（x）在区间（ ，π）单调递减
③f（x）最大值为 ④当 x∈（－ ， ）时，f（x）＜0 恒成立
其中正确结论的编号是
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
12．已知关于 x 的方程为 ＝3 ＋ （x2－3），则其实根的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 a＞0，b＞0，2a＋b＝4，则 的最小值为_________．
14．已知等比数列{ }的前 n 项和为 ，且 ＝ ，则 ＝________．
15．已知双曲线 C： （a＞0，b＞0）的实轴长为 8，右焦点为 F，M 是双曲线 C
的一条渐近线上的点，且 OM⊥MF，O 为坐标原点，若 ＝6，则双曲线 C 的离心
率为_______.
16．在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且 2cosA＝a（ －cosC），
c ＝ 2 ， D 为 AC 上 一 点 ， AD ： DC ＝ 1 ： 3 ， 则 △ ABC 面 积 最 大 时 ， BD ＝
__________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题．每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
2 2
2 2 1x y
a b
＋ ＝ 3
5
2 2
15 4
x y＋ ＝
2 2
125 9
x y＋ ＝
2 2
116 9
x y＋ ＝
2 2
125 16
x y＋ ＝
3
17 17
6
2
π
2 4
π
4
π
2 2( 3)
x
x
e
－ 2xe － 2
e
3
ab
na nS 6
33
S
S
3
8
6
5 4
2a
a a＋
2 2
2 2 1x y
a b
－ ＝
OMFS∆
217．（12 分）
已知等差数列{ }为递增数列，且满足 a1＝2， ＋ ＝ ．
（Ⅰ）求数列{ }的通项公式；
（Ⅱ）令 ＝ （n∈N*）， 为数列{ }的前 n 项和，求 ．
18．（12 分）
如图（1）在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°、AB＝4，点 D 为 AB 中点，将
△ADC 沿 DC 折叠得到三棱锥 A1—BCD，如图（2），其中∠A1DB＝60°，点 M，N，
G 分别为 A1C，BC，A1B 的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面 DCG；
（Ⅱ）求三棱锥 G—A1DC 的体积．
19．（12 分）
2017 年 3 月郑州市被国务院确定为全国 46 个生活垃圾分类处理试点城市之一，此
后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，
最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》）．《办法》已于 2019
年 9 月 26 日被郑州市人民政府第 35 次常务会议审议通过，并于 2019 年 12 月 1 日开始
施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾 4
类．为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500 名学
生参加测试，从中随机抽取了 100 名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成 7 组：
[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
na 2
3a 2
4a 2
5a
na
nb
1
1
( 1)( 1)n na a －＋ ＋ nS nb nS（Ⅰ）从总体的 500 名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于 60 的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的
学生人数；
（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实
践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于 40 分的学生
中随机抽取 2 人参加，已知样本中分数小于 40 的 5 名学生中，男生 3 人，女生 2
人，求抽取的 2 人中男女同学各 1 人的概率是多少?
20．（12 分）
设曲线 C：x2＝2py （p＞0）上一点 M（m，2）到焦点的距离为 3．
（Ⅰ）求曲线 C 方程；
（Ⅱ）设 P，Q 为曲线 C 上不同于原点 O 的任意两点，且满足以线段 PQ 为直径的圆过
原点 O，试问直线 PQ 是否恒过定点?若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，
说明理由．
21．（12 分）
已知函数 f（x）＝ax2－x－ln ．
（Ⅰ）若 f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线 y＝2x＋1 平行，求 f（x）在点（1，
f（1））的切线方程；
（Ⅱ）若函数 f（x）在定义域内有两个极值点 x1，x2，求证：f（x1）＋f（x2）＜2ln2－
3．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答．如果多做．则按所做
的第一题记分．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 E 经过点 P（1， ），其参数方程为
（α 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线 E 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OA⊥OB，求证： ＋ 为定值，并求出这
个定值．
23．[选修 4—5 不等式选讲]（10 分）
已知函数 f（x）＝｜x－1｜－｜2x＋1｜＋m．
（Ⅰ）求不等式 f（x）≥m 的解集；
（Ⅱ）若恰好存在 4 个不同的整数 n，使得 f（n）≥0，求 m 的取值范围．
1
x
3
2
cos
3sin
x a
y
α
α
＝ ，
＝ ，
2
1
OA 2
1
OB（文科） 参考答案
一、选择题：1---12 BDACB BAADC DB
二、填空题：
三、解答题：
17.解： ...2 分
...4 分
...6 分
...8 分
...10 分
...12 分
18.解：（1） ...1 分
...4 分
...5 分
...6 分
...8 分
313. 2
114.3
515. 4
616. 2
2 2 2(2 2 ) (2 3 ) (2 4 )d d d+ + + = +( 1) 由题意知
23 4 4 0d d∴ − − =
22 3d d∴ = = −或
{ }na 为递增数列 2d∴ =
{ } 2 .n na a n=故数列 的通项公式为
1 1 1 1(2) ( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n
= = −+ − − +
1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( ) ... ( )]2 3 3 5 5 7 2 1 2 1nS n n
∴ = − + − + − + + −− +
1 1(1 )2 2 1n
= − +
2 1
n
n
= +
2 2, 2AC BC AD BD CD= = = = =由题知图（1）中
∴ 1 1 1,A BCD A D BD AC BC− = =在三棱锥 中，
1G A B点 是 的中点 1 1,DG A B CG A B∴ ⊥ ⊥
=DG CG G∩又 1A B DGC∴ ⊥ 平面
1M N AC BC又 点 、 分别是 、 的中点 1/ /MN A B∴
MN DGC∴ ⊥ 平面
1 1, = ,CD A D CD BD A D BD D⊥ ⊥ ∩（2）由图（1）知 ，且 1CD A DG∴ ⊥ 平面...10 分
...12 分
19. 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于 60 的频率为
，
所以样本中分数高于 60 的概率为 ．
故从总体的 500 名学生中随机抽取一人，其分数高于 60 的概率估计为 0.8．
3 分
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为
，...5 分
分数在区间 内的人数为 ．...6 分
所以总体中分数在区间 内的人数估计为 ．...7 分
（Ⅲ） ， ，则从这 5 名同学中选取 2 人
的结果为：
共 10 种情况. ...9 分
其中 2 人中男女同学各 1 人包含结果为：
，共 6 种. ...10 分
，则
所以，抽取的 2 人中男女同学各 1 人的概率是 . ...12 分
20.解：（1）由抛物线定义得 2+ =3， ...2 分
解得 ，所以曲线 C 方程为 ....4 分
0
1 160A DB A DB∠ = ∴∆又 为等边三角形
1 1 1 1
1, 2, 1, 3,2DG A B A B AG A B DG∴ ⊥ = = = =
1 1
1 1 31 32 2 2A DGS AG DG∆∴ = × = × × =
1 1 1
1 1 3 32 .3 3 2 3G A DC C A DG A DGV V S CD− − ∆= = × = × × =
(0.02 0.04 0.02) 10 0.8+ + × =
0.8
(0.01 0.02 0.04 0.02) 10 0.9+ + + × =
[40,50) 100 100 0.9 5 5− × − =
[40,50) 5500 25100
× =
1 2 3, ,a a a设3名男生分别为 1 2,b b2名女生分别为
1 2 1 3 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 2 3 1 2{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }{ , },{ , },{ , },{ , }a a a a a b a b a b a b a b a b a a b b，
1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2{ , },{ , },{ , },{ , }{ , },{ , }a b a b a b a b a b a b，
{ 2 1 }A =设事件 抽取的 人中男女同学各 人 6 3( ) 10 5P A = =
3
5
2
p
2p = 2 4x y=（2） ....5 分
设直线 的方程为 ,与曲线 C 方程 联立，得
解得 于是 . ...7 分
又直线 的方程为 ，同理： .....9 分
又直线 斜率存在，
即
...12 分
20.解：（1）
因为 在点 处的切线与直线 平行，
...4 分
...6 分
OPQ以 为直径的圆过原点 ， OP OQ∴ ⊥
OP ( 0)y kx k= ≠ 2 4x y= 2 4x kx=
0( 4x x k= =舍去）或 2(4 ,4 )P k k
OQ 1y xk
= − 2
4 4( , )Q k k
−
PQ
2
2
2
4 4 ,4 4 ....1
4
0
4
y k x kPQ
k kk k
− −∴ =
− − −
的直线方程为 分
1( ) 4.y k xk
= − +
0 4 .PQ∴直线 恒过定点（ ，）
2( ) ln ,f x ax x x= − + ' 1( ) 2 1 .f x ax x
∴ = − +
' (1) 2 ...1.k f a∴ = = 分
( )f x (1, (1))f 2 1y x= +
...22 2, 1.a a∴ = =即 分
(1) 0, ..1, .30f∴ = 故切点坐标为（ ）. 分
2 - 2.y x∴ =切线方程为
2
' 1 2 1(2) ( ) 2 1 ,ax xf x ax x x
− += − + =
2
1 22 1 0 0 , .ax x x x∴ − + = + ∞由题知方程 在（ ， ）上有两个不等实根
1 2
1 2
1 8 0,
1 0,2
1 0,2
a
x x a
x x a
∆ = − >
∴ + = >
= >
10 .8a∴ <
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