数 学
时量：120 分钟 满分：150 分 命题单位：常德市
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 命题“若 a>－3，则 a>6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 已知命题 p： ，则 为( )
A． B．
C． D．
3. 高三（8）班有学生 54 人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为
4 的样本，已知 5 号、18 号、44 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是( )
A．8 B．13 C．15 D．31
4. 已知一个不透明的袋子中装有 3 个白球，2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子
中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是( )
A． B． C． D．
5. 下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量 x(单位：吨)与相应的生产能耗
y(单位：吨)的几组对应数据：
x/吨 3 4 5 6
y/吨 2.5 t 4 4.5
根据上表提供的数据，求得 y 关于 x 的线性回归方程为y
^
＝0.7x＋0.35，那么表格中 t 的值为
A．3 B．3.15 C．3.25 D．3.5
6. 已知 a，b 是非零实数，则“a>b”是“lna>ln|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 已知向量 a=(λ+1,0,2)，b=(6,2μ-1,2λ)，若 a∥b，则 λ+ 的值可以是( )
A． B． C．-3 D．2 （第 8 题
图）
8. 如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数
据的中位数相等，且平均数也相等，则 x+y 的值为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
9. 已知点 A 是圆 M 的圆周上一定点，若在圆 M 的圆周上的其他位置任取一点 B，连接
AB，则“线段 AB 的长度大于圆 M 的半径”的概率约为( )
A． B． C． D．
,e 1 0xx x∀ ∈ − − ≥R p¬
,e 1 0xx x∀ ∉ − − >R
,e 1 0xx x∀ ∈ − − >R 0
0 0,e 1 0xx x∃ −∈ − >R
3
10
3
5
7
10
2
5
1
2
1
6
1
3
2
310. 已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3
3 ，过 F2 的直线
l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 8 3，则 C 的方程为( )
A．x2
3＋y2
2＝1 B．x2
3＋y2＝1
C．x2
12＋y2
8＝1 D．x2
12＋y2
4＝1
11. 如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，D 是棱 PB 的中点，已知 PA=BC=2，AB=4，
CB⊥AB，PA⊥平面 ABC，则异面直线 PC，AD 所成角的余弦值为( )
A．- B．- C． D．
（第 11
题图）
12.已知 F1，F2 为双曲线的焦点，过 F2 作垂直于实轴的直线交双曲线于 A，B 两点，BF1 交
虚轴于点 C，若 ，则双曲线的离心率为( )
A． 2 B． 3 C．2 2 D．2 3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 某高级中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例分别如扇形统
计图所示，现要抽取一个容量为 26 的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数
为 . （第 13 题图） （第 15 题图）
14. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2=8x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A、B
两点，其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°，则|OA|= .
15. 如图，在一个 60°的二面角的棱上，有两个点 A、B，AC，BD 分别是在这个二面角的两
个半平面内垂直于 AB 的线段，且 AB=2，AC=3，BD=4，则 CD 的长为 .
16. 已知椭圆 的右焦点为 F2，点 M 在⊙O：x2＋y2＝3 上，且M 在第－象限，过
点M
作⊙O 的切线交椭圆与 P，Q 两点，则△PF2Q 的周长为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)
（1）已知命题 p：a≤x≤a＋1，命题 q：x2－4xb>0)的一个顶点为 A(2，0)，离心率为 2
2 .直线 y＝k(x－1)
与椭圆 C 交于不同的两点 M，N.
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 当∆AMN 的面积为 10
3 时，求 k 的值.21.(本小题满分 12 分)
如图 1，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，将△BCD 沿对角线 BD 折起到∆BC'D
的位置，使平面 BC'D⊥平面 ABD，E 是 BD 的中点，FA⊥平面 ABD，且 FA=2 ，如图 2.
(1) 求证：FA∥平面 BC'D；
(2) 求平面 ABD 与平面 FBC'所成角的余弦值；
(3) 在线段 AD 上是否存在一点 M，使得 C'M⊥平面 FBC'？若存在，求 的值；若不存在，
说明理由.
22.(本小题满分 12 分)
已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x=-1，直线 l 与抛物线
相交于不同的 A、B 两点.
(1) 求抛物线的标准方程；
(2) 如果直线 l 过抛物线的焦点，求 的值；
(3) 如果 =-4，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说
明理由.数学
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B D B A B A C D C D B
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.9； 14.2 ； 15. ； 16.4.
三、解答题：共 20 分，每小题 10 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
17.解：（1）令 M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x
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