数学试题（理）
说明： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时务必将答案写在答题卡上，写在本试卷和草稿纸上无效。
3． 全卷 150 分，考试时间为 120 分钟。
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的)
1.设 ，则 是 的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知 ,则函数 的最小值是( )
A. B. C. D.
3.下列方程对应的曲线中离心率为 的是( )
A. B.
C. D.
4.在 中, 且 的面积为 ,则 的长为 （ ）
A. B．1 C． D．2
5.若抛物线 的焦点坐标为（0，3）,则 ( )
A.12 B.6 C.3 D.
6. 已知双曲线 上有一点 M 到左焦点 的距离为 ,则点 M 到右焦点 的距离是
( )
A.8 B.28 C.12 D.8 或 28
7.在 中，如果 ，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正实数 满足 ，则 的最小值（ ）
∈a R 1a > 1 1a
<
0x > 1= +y x x
2 2 2 2 3
2 2
3
2 2
19 8
x y− =
2
2 19
x y− =
2 2
19 8
x y+ =
2
2 19
x y+ =
ABC△ 60 , 2A AB∠ = = ABC△ 3
2 AC
3
2 3
2 2 ( 0)x py p= > p =
3
2
2 2
125 9
x y− = 1F 18 2F
ABC∆ sin :sin :sin 2:3: 4A B C = cosC
2
3
1
4
− 1
3
− 2
3
−
,x y 3x y+ = 4 1
x y
+A．2 B．3 C．4 D．
9.短道速滑队组织 6 名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参加冬奥会选拔,
记“甲得第一名”为 p,“乙得第二名”为 q,“丙得第三名”为 r,若 是真命题, 是假命题,
是真命题,则选拔赛的结果为( )
A.甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名 B.甲得第二名、乙得第一名、丙得第
三名
C.甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名 D.甲得第一名、乙没得第二名、丙得
第三名
10.递增的等比数列 中， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
11.若向量 ，且 与 的夹角余弦为 ，则 等于( )
A. B. C. 或 D. 2
12.如图，在 二面角的棱上有两点 A、B，线段 AC、BD
分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB，若 ，则线段 CD 的
长为( )
A. B. 16 C.8 D.
二、填空题(本大题共 4 小题每小题 5 分，共 20 分)
13.在如图所示的长方体 中，
已知 ， ，则点 的坐标为________ .
10
3
p q∨ p q∧
( )q r¬ ∧
{ }na 2 5 128a a = 3 4+ 24a a = na =
2
n 1( )2
n 2n 2n
(1, ,1), (2, 1, 2)λ= − − a b a b 2
6
λ
2− 2 2− 2
60°
4= = =AB AC BD
4 3 4 2
1 1 1 1ABCD A B C D
1(2,0,1)A (0,3,0)C 1B14.若 满足约束条件 则 的最大值为_______________.
15.若命题“ ”是假命题，则实数 a 的取值范围是______．
16. 设 为椭圆 C: 的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限.若 为
等腰三角形,则 M 的坐标为______________.
三、解答题(共 70 分,解答题写文字说明、证明过程或演算步骤。)
17（ 每小题 10 分）
设锐角三角形 的内角 的对边分别为 已知 .
(1)求 B 的大小;
(1)若 , ,求 b 的值.
18（ 每小题 12 分）
已知等差数列 和等比数列 满足 ,
1) 求 的通项公式
2) 求和:
19（ 每小题 12 分）
某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品 A、B,要根据该
产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关
数据如表:
,x y
2 2 0
3 0 ,
2
+ − ≥
− + ≥
≤
x y
x y
x
2z x y= +
2R 2 0t t t a∃ ∈ − −， ＜
21 F，F 12036
22
=+ yx 21FMF∆
ABC , ,A B C , , ,a b c 2 sina b A=
3 3a = 5c =
}{ na }{ nb 111 == ba 54242 ,10 abbaa ==+
}{ na
12531 ..... −++++ nbbbb产品 A 产品 B
研制成本与搭载费用之和(万元/件) 20 30 计划最大投资金额 300 万元
产品重量(千克/件) 10 5 最大搭载重量 110 千克
预计收益(万元/件) 80 60
试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大?最大收益是多少?
20（ 每小题 12 分）
设数列 满足： ， .
（1）证明：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式.
（2）求数列 的前 项和 .
21（ 每小题 12 分）
如图,在四棱锥 中, 平面
,
为线段 上一点不在端点.
(1)当 M 为中点时, ,求证: 面
(2)当 N 为 中点时,是否存在 M，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ,若存
在求出 M 的坐标,若不存在,说明理由.
{ }na 1 1a = 1 2 3n na a+ = +
{ }3na + { }na
( ){ }3nn a⋅ + n nT
P ABCD− PA ⊥
, 90 , 4, 2ABCD ABC BAD AD AP AB BC∠ = ∠ = ° = = = =
,M N ,PC AD
1
4AN AD= / /MN PBA
AD MN PBC 2 5
522（ 每小题 12 分）
已知椭圆 C:
（1）求椭圆 C 的离心率
（2）设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 ,求线段 AB 长度的最
小值.
42 22 =+ yx
OBOA ⊥数学答案（理）
一、选择题
1A 2B 3D 4B 5B 6D 7B 8B 9D 10D 11A 12D
二、填空题
13、 (2,3,1) 14、 9 15、 16、(3 , )
三、解答题
17. (1)根据正弦定理,得: , …………………………………2 分
∵ ,∴ . ……………………………………………………………3 分
∴ 为锐角三角
形,∴ . ………………………………………………………………………………5 分
(2)根据余弦定理,得:
, …………………………8 分
∴ . 10 分
18. (1)设等差数列 的公差为
由 得 -----------3 分
因为 -----------4 分
所以 -----------6 分
(2)设等比数列 的公比为
因为 -----------7 分
因为 -----------9 分
所以
从而 ---------12 分
19. .答案：设搭载产品 A x 件,产品 B y 件,
1≤ −a 15
sin 2sin sinA B A= ⋅
sin 0A ≠ 1sin 2B =
ABC△
π
6B =
2 2 2 32 cos 27 25 2 3 3 5 72b a c ac B= + − = + − × × × =
7b =
}{an d
1042
=+ aa 1042 1
=+ da
2,11
== da 所以
122)1(1 −=−+= nnan
}{bn q
942
1542
=•= qbabb 所以
3,91 24
1
=== qqb 即所以
3 122
112
−−
− =•= nn
n qbb
( )
2
13
31
3113331 12
1231 ..........
−=•=++=+++
−
−++ −
−
nn
n
nbbb总预计收益为 万元. ………2 分
则 ………………… 5 分
作出可行域,如图 ………………………… 7 分
作出直线 并平移,由图得,当直线经过 M 点时, z 取得最大值,
由 解得 即 M 为 …………………………………9 分
所以 . …………………………………………… 11 分
答:搭载产品 件,产品 件,可使得总预计收益最大,为 万元………12 分
20.
（ 1）因为 , 所以 …………………3 分
所以数列 是首项为 ,公比为 2 的等比数列; …………………4 分
所以 , 所以 . …………………………………… 6 分
（2）由（1）得
所以 ,
所以 …………7 分
两式相减得:
………………9 分
… ……………11 分
80 60z x y= +
20 30 300,
10 5 110,
N, N,
x y
x y
x y
+ ≤
+ ≤
∈ ∈
0 : 4 3 0l x y+ =
2 3 30,
2 22.
x y
x y
+ =
+ =
9
4
x
y
=
=
(9,4)
max 80 9 60 4 960z = × + × =
9A 4B 960
1 3 2 3 3 23 3
+ + + += =+ +
n n
n n
a a
a a
1 3 4+ =a
12)3( +⋅=+ n
n nan
1432 2......232221 +×++×+×+×= n
n nT
2543 2......2322212 +×++×+×+×= n
n nT 所以 . …………………………………………………………12 分
21. (1) 方法一：证明：因为 平面 ,
平面 ,
所以 ,
又 ,所以 两两垂直,
分别以 AB、AD、AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系
, ……………………………………2 分
则 , , ……3 分
显然平面 的法向量为 ,则 , ……………………………5 分
又 不在平面 内,所以 平面 ；………………………………… 6 分
方法二：取 BP 的中点 E,连接 ME,EA ……………1 分
由 M 为 PC 的中点知
……………2 分
在平面四边形 ABCD 中,
即: 所以 AD∥BC , 既 AN∥BC ……………3 分
由已知得
所以 ,四边形 AEMN 是平行四边形,所以 MN∥AE ……………4 分
因为 ……………5 分
所以 MN∥平面 PAB ……………6 分
PA ⊥ ABCD
,AB AD ⊂ ABCD
,PA AB PA AD⊥ ⊥
90BAD∠ = ° , ,AP AB AD
A xyz−
(0,0,0), (0,4,0), (0,1,0)A D N (0,0,4), (2,2,0), (1,1,2), ( 1,0, 2)P C M MN = − −
PAB (0,1,0)m = 0MN m⋅ =
MN PAB / /MN PAB
12
1,∥M == BCMEBCE
°=∠=∠ 90BADABC
ABDAABCB ⊥⊥ ,
14
1 == ADAN
MEAN∥
PABMNPABAE 平面平面 ⊄⊂ ,(2)假设存在点 M 使得 与平面 所成角的正弦值为 ,
则 ,
所以
,则 , …7 分
设平面 的法向量为 ,[
∴ ,不妨设 ,则 ………………………………… 9 分
∴ , …………………………………… 11 分
设线面角为 ,则 ,
解得 或 1(舍去,
∴ 时,直线 与平面 所成角的正弦值为 ．……………12 分
22.
1) 由题意,椭圆 C 的标准方程为: , ……………………1 分
所以 ,从而 ……………………2 分
因此 ……………………3 分
所以 C 的离心率 e=
……………………4 分
2) 方法一:设点 A,B 的坐标分别为 ……………………5 分
因为 ,所以 即 解得
又
……………………6 分
MN PBC 2 5
5
(0 (2,2, 4), (2 ,2 , 4 )λ λ λ λ λ= = − = − PM PC PC PM＜ ＜1),
(2 ,2 ,4 4 )λ λ λ−M
(2 ,2 ,4 4 ), (0,2,0), (0,2, 4)AM N PNλ λ λ= − = = − ( 2 ,2 2 ,4 4)MN λ λ λ= − − −
PBC ( , , ), (0,2,0), (2,2, 4)n x y z BC PC= = = −
2 0
2 2 4 0
y
x y z
=
+ − = 1z = (2,0,1)n =
2
4cos ,
5 24 40 20
MN n λ λ
−=
⋅ − +
θ
2
4 2 5sin cos , 55 24 40 20
MN nθ
λ λ
= = =
⋅ − +
2
3
λ =
4 4 4( , , )3 3 3M MN PBC 2 5
5
124
22
=+
yx
2,4 22 == ba 2222 =−= bac
2,2 == ca
2
2
( ) ( )yxt 00 ,,2, ( )00
≠x
OBOA ⊥ 0=• BOAO 02 00
=+ ytx x
yt
0
02−=
42 2
0
2
0
=+ yx
9 分
因为
当且仅当 时等号成立
所以 , ……………11 分
所以线段 AB 长度的最小值为 ……………………12 分
方法二:
设直线 OA: , A
因为 ,所以直线 OB: ……………………5 分
由 解得
……………6 分
由 解得
……………7 分
10 分
因为
( )
( )4048
2
2
442
44
44
2
02
0
2
0
2
02
02
0
2
0
2
0
2
02
0
2
02
0
2
0
2222 4
≤≤++
=−+++
−
=+++=+++=+=
xx
x
xxx
x
yxx
yyxtOBOAAB
48
228
2 2
0
2
0
2
0
2
0 =•≥+
x
x
x
x
42
0
=x
8
2 ≥AB
22
myx = ( )yx AA ,
OBOA ⊥ ( )yx BBBmxy ,,−=
=
=
2y
myx 2,2 == yx AA m
=+
−=
124
22 yx
mxy
m
mymx BB 2
4
2 2
2
2
2
2
1
,
1
4
+
=
+
=
( ) ( )04212
4
11
44
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2222
212
21
4442
4
24
≥+++=
++=
+
+
+
++=+=
+
+
+
mmm
m
mmm
m
mmOBOAAB
( ) ( ) 42122212
212212 2
2
2
2 =•+≥++
++ mmmm当且仅当 m=0 时,等号成立
所以 , …………11 分
所以线段 AB 长度的最小值为 …………12 分
8
2 ≥AB
22
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