数学试题（文科）
说明：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时务必将答案写在答题卡上，写在本试卷和草稿纸上无效。
3． 全卷 150 分，考试时间为 120 分钟。
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的)
1. 不等式 的解集为（ ）
A B C D
2. 若 是假命题，则 ( )
A p 是真命题，q 是假命题 B 均为假命题
C 至少有一个是假命题 D 至少有一个是真命题
3. 函数 + e 的导函数是（ ）
A B C D
4. 下列条件中,使 “ ” 成立的充分不必要条件是( )
A B C D
5. 命题 “对任意 ,都有 ” 的否定为( )
A 对任意 ,都有 B 不存在 ,使得
C 存在 ,使得 D 存在 ,使得
6. 已知 ,内角 的对边分别是 , 则 A 等于（ ）
A B C 或 D 或
7. 等比数列 的公比 ,则 等于（ ）
A B -3 C D
3
2 4 5+
− > 3
2
22
2 2 1yx
a b
− =
3 2 5
2
{ }na nS 1
( 1)na n n
= + 5S
5
6
1
6
1
30
ABC∆ sin :sin :sin 2:3: 4A B C = cosC
2
3
1
4
− 1
3
−
2
3
−
,x y 3x y+ = 4 1
x y
+
10
3
( )f x ( 0, )+∞ '( ) ( ) 0xf x f x+ >
( ) ( )π π e ef f> ( ) ( )π ef f< ( ) ( )π e
π e
f f<
( ) ( )π ef f>
0x > 1x x
+
2 16y x=
exy x=
2 2
4 1 1x
k kC y+− − =∶
1 4k＜ ＜
1k＜ 4;k＞
1 5
2k＜ ＜17.（本小题满分 10 分）
已 知 分 别 是 的 三 个 内 角 所 对 的 边 . 若 面 积
求 的值；
18. （本小题满分 12 分）
设等差数列 满足
(1) 求 的通项公式；
(2) 求 的前 n 项和 及使得 最小的序号 n 的值。
19. （本小题满分 12 分）
某企业生产甲、乙两种产品均需用 两种原料.已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原
料的可用限额如表所示：
甲 乙 原料限额
(吨) 3 2 12[
(吨) 1 2 8
（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 吨，试写出关于 的线性约束条件并
画出可行域；
（2）如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，试求该企业每天可获得利
润的最大值。
, ,a b c ABC∆ , ,A B C ABC∆
,60,2,2
3 °===∆ AcS ABC ,a b
{ }na 3 106 8.a a− =＝ ，
{ }na
{ }na nS nS
,A B
A
B
,x y ,x y20. （本小题满分 12 分）
在数列 中, , .
(1).设 ,证明:数列 是等差数列;
(2).求数列 的前 n 项和 .
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 ．
(1)求函数 在 上的最小值；
(2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 a 的取值范围．
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的离心率为 ，点（2， ）在 C 上.
(1)求 C 的方程;
(2)直线 L 不过原点 O 且不平行坐标轴，L 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M .
证明：直线 OM 的斜率与直线 L 的斜率的乘积为定值.
{ }na 1 1a = 1 2 2n
n na a+ = +
12
n
n n
ab −= { }nb
{ }na nS
( ) lnf x x x=
( )f x [ ]1,3
1,x ee
∈
( )2 f x x ax≥ − + −2 3
)0(1x：C 2
2
2
2
>>=+ ba
b
y
a 2
2 2数学答案（文科）
一、选择题
1 D 2 C 3 C 4 A 5 D 6 A 7 C 8 D 9 B 10 B 11 B 12 A
二、填空题
13. 2 14 . 10 15. 16. ③ ④
三、解答题
17、 ，所以 ，所以 b=1…………5 分
中，由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccosA = 3 , ……………… 8 分
所以 a = ……………………………………………… 10 分
18、答案：（1）解：∵等差数列 满足 ．
∴ ①
． ② ……………………………… 2 分
由 ① ② 得 ， ………………………………4 分
∴ ………………………………………………6 分
（2）解： 的前 n 项和 ……………… 10 分
∴当 或 6 时， 取得最小值-30 ………………………………12 分
19、14.答案：（1）由题意可列
， ……… 3 分
………………6 分
其表示如图阴影部分区域：
1= −y e
1 si n2ABC bc AS∆
= 03 1 2 si n 602 2 b= ×
ABC∆
3
{ }na 3 106 8a a= − =，
3 1 2 6a a d= + = −
10 1 9 8a a d= + =
1 10 2a d= − =，
2 12na n= −
{ }na 2[ 10 (2 12)] 112
− + −= = −n
n nS nn
5=n nS
3 2 12
2 8
0
0
x y
x y
x
y
+ ≤
+ ≤
≥
≥
（2）设该企业每天可获得的利润为 万元，则 . ………………………7 分
由 得 A 点坐标为（2，3）……………………………………9 分
直线 过点 时， 取得最大值，………………………………10 分
所以 . 即该企业每天可获得的最大利润 18 万元. …………12 分
20. (1) 证明: ……………………………4 分
所以数列 是等差数列，公差为 1 首项为 ; ……………………………… 6 分
(2) 由(1)可得 . ……………………………………7 分
所以 ，所以 . ……………………………………8 分
∴ .①
.②……………………………………9 分
∴①–②,得
.
∴ . ……………………………………………………………… 12 分
21、解：(1)由 ，可得 ，……………………………… 1 分
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．……………………………………2 分
所以函数 在 上单调递增．……………………………………4 分
又 ，
所以函数 在 上的最小值为 0．…………………………………… 6 分
z 3 4z x y= +
3 2 12
2 8
+ =
+ =
x y
x y
3 4 0x y z+ − = ( )2,3A z
max 3 2 4 3 18z = × + × =
1
1
11
2 1
2 2 2 2
2+
+ − −
+− = − = − =
n
n n n
n n n
n n n
na a a ab b
{ }nb 11 1= =b a
1 ( 1) 1= + − × =nb n n
12 − =n
n
a n 12n
na n −= ⋅
0 1 2 12 2 2 3 2 2n
nS n −= + × + × + + ×
1 2 12 2 2 2 ( 1)2 2n n
nS n n−= + × + + − + ⋅
0 1 2 12 2 2 2 2n n
nS n−− = + + + + − ⋅
1 2 2 (1 ) 2 11 2
n
n nn n
−= − ⋅ = − ⋅ −−
( 1) 2 1n
nS n= − ⋅ +
( )f x xlnx= ( )' 1f x lnx= +
10x e
∈ ， ( ) ( )' 0f x f x< ，
1x e
∈ + ∞ ， ( ) ( )' 0f x f x> ，
( )f x [ ]13，
( )1 1 0f ln= =
( )f x [ ]13，(2)由题意知， ，则 ．
若存在 使不等式 成立，
只需 a 小于或等于 的最大值．
设 ，则 ．…………………8 分
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．…………………………………… 10 分
由 ， ，
可得 ．
所以，当 时， 的最大值为 ，
故 ． ………………………………………………………………… 12 分
22、答案：
由题知: ------1 分
解得: , -------3 分
所以 c 的方程为 ------4 分
设直线 L : --------5 分
由 得: -----7 分
----------8 分
22 3xlnx x ax≥ − + − 32a lnx x x
≤ + +
1x ee
∈ ， ( ) 22 3f x x ax≥ − + −
32lnx x x
+ +
( ) ( )32 0= + + >h x lnx x xx
( ) ( )( )
2 2
3 12 31 x xh x x x x
+ −′ = + − =
1
ex ∈ ，1 ( ) ( )' 0h x h x< ，
( ]1x e∈ ， ( ) ( )' 0h x h x> ，
1 1 32 3 2h e h e ee e e
= − + + = + + ，（ ） 1 22 4 0h h e ee e
− = − − > （ ）
1h h ee
> （ ）
1x ee
∈ ， ( )h x 1 12 3h ee e
= − + +
12 3a ee
≤ − + +
+=
=+
=
cba
ba
a
c
222
124
2
2
22
22=a 2=b
148
22
=+
yx
),(),,(),,(),0,0( 2211 yxyxyx mmMBAbkbkxy ≠≠+=
=+
+=
148
22 yx
bkxy
0824)12( 222 =−+++ bxk kbx
12
4
032832
221
22
+
−=+
>+−=∆
kxx
bk
kb于是直线 OM 的斜率 ------10 分
所以 ----------12 分
12
,
12
2
2 22
21
+
=+=
+
−=+=
kkxyk
xxx bbkb
mmm
kx
yk
m
m
2
1
OM
−==
2
1
OM
−=• kk
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