四川省遂宁市第二中学2019-2020高二上学期期末考试数学（理）（Word版带答案）.doc

遂宁市高中 2021 届第三学期教学水平监测 数学（理科）试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是 否正确。 2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应 框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．过点 且斜率不存在的直线方程为 A． B． C． D． 2．空间直角坐标系中 两点坐标分别为 则 两点间距离为 A．2 B． C． D．6 3．若方程 表示圆，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 4．直线 和直线 平行，则实数 的值为 A．3 B． C． D． 或 5．在棱长为 1 的正方体 中，异面直线 与 所成的角为 A． B． C． D． 6．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是 A．若 ，则 ； B．若 ， ， ，则 (1,1) 1y = 1x = y x= 1y x= + A B、 (2,3,5)、(3,1,4) A B、 5 6 2 2 2 0x y a+ + = a 0a < 0a = 0a ≤ 0a > 1 : 3 0l ax y− − = 2 : ( 2) 2 0l x a y+ + + = a 1− 2− 3 1− 1 1 1 1ABCD A B C D− AC 1BD 4 π 3 π 2 π 6 π ,m n ,α β , / /m nα α⊥ m n⊥ α ⊥ γ面 β ⊥ γ面 lα β∩ = l ⊥ γ面C．若 ，则 . D．若 ， ，则 7．若实数 满足不等式组 ，则 的最小值为 A．0 B．1 C． D．9 8．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物 生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方 法，在平面直角坐标系中，圆 O 被函数 的 图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)， 其中阴影部分小 圆的周长均为 ，现从大圆内随机取一 点，则此点取自 阴影部分的概率为 A． 1 36 B． 1 18 C． D． 9． 如图所示， 是长方体， 是 的中点，直线 交平面 于点 ，则下列结论正确的是 A． 三点共线 B． 不共面 C． 不共面 D． 共面 10．若直线 与直线 关于点 对称，则直线 一定过定点 A． B． C． D． 11．坐标原点 在动直线 上的投影为点 ，若点 ， 那么 的取值范围为 , / / , / / , / / , / /m n A m m n nα β α β∩ = / /α β α ⊥ β a ⊂ α a ⊥ β x y、 1 0 0 0 x y x y x − + ≥  + ≥  ≤ 2Z x y= + 3 2sin 8y x π= 4π 1 16 1 8 1 1 1 1ABCD A B C D− O 1 1B D 1AC 1 1AB D M , ,A M O 1, , ,A M O A , , ,A M C O 1, , ,B B O M 1 : 1l y kx k= − + 2l (3,3) 2l (3,1) 2,1（ ） 5,5（ ） (0,1) 0,0O（ ） ( 2) ( 2) 0m x n y− + − = P 1, 1Q − −（ ） PQA． B． C． D． 12．已知正方形 的边长为 ， 边的中点为 ，现将 分别沿 折起，使得 两点重合为一点记为 ，则四面体 外接球的表面积 是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，满分 90 分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．直线 与直线 垂直，则实数 的值为 ▲ 14．如图，这是某校高一年级一名学生七次数学 测 试 成 绩 （满分 100 分）的茎叶图. 去掉一个最高分和一个 最低分后，所剩数 据的方差是 ▲ 15．两个男生一个女生并列站成一排，其中两男 生相邻的概率为 ▲ 16 ． 已 知 点 是 直 线 上 一 动 点 ， 是 圆 的两条切线， 为切点，若弦 长的最小值为 ，则实数 的值为 ▲ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题 10 分） 2 3 2  ， 2 2  ，2 2 2 3 2  ， 2  1，3 ABCD 4 CD E ,ADE BCE∆ ∆ ,AE BE ,C D P P ABE− 17 12 π 19 12 π 19 3 π 76 3 π 1y x= + 1y kx= − k ( , )P x y 2 0( 0)x ky k+ + = < ,PA PB 2 2:( 1) 1C x y− + = ,A B AB 3 k如图，在底面是矩形的四棱锥 中， ⊥平面 ， 是 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 ⊥平面 . ▲ 18．（本小题 12 分） “有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”，维护社会稳定和和平发展。扫黑除恶期间，大量违 法分子主动投案，某市公安机关对某月连续 7 天主动投案的人员进行了统计， 表示第 天 主动投案的人数，得到统计表格如下： 1 2 3 4 5 6 7 3 4 5 5 5 6 7 （1）若 与 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ； （2）判定变量 与 之间是正相关还是负相关。（写出正确答案，不用说明理由） （3）预测第八天的主动投案的人数（按四舍五入取到整数）. 参考公式： ， . ▲ 19．（本小题 12 分） 已知动点 与两个定点 的距离之比为 ； （1）求动点 的轨迹方程； （2）过点 所代表的曲线外一点 作该曲线的两条切线，切点分别为 ，求 的正弦值； （3）若点 所代表的曲线内有一点 ,求过点 且倾斜角为 的直线与此曲线所 P ABCD− PA ABCD E PD / /PB EAC PDC PAD y x x y y x y x ˆˆ ˆy bx a= + x y ( )( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 ˆ n n i i i ii i n n i ii i x x y y x y nxy b x x x nx = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ˆˆa y bx= − M 0,0 3,0O A（ ），（ ） 1 2 M M 3,3P（ ） ,B C BPC∠ M (0,1)Q Q 4 π截得的弦长. ▲ 20．（本小题 12 分） 每当《我心永恒》这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时，便会想起电影《泰坦尼克号》 中一暮暮感人画面，让我们明白了什么是人类的“真、善、美”。为了推动我市旅游发展和 带动全市经济，更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”。我市某地将按“泰坦尼克号” 原型 比例重新修建。为了了解该旅游开发在大众中的熟知度，随机从本市 岁的 人群中抽取了 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该 旅游开发将在我市哪个地方建成？”，统计结果如下表所示： 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第 组 第 组 第 组 第 组 第 组 （1）求出 的值； （2）从第 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 人，求第 组每组抽取 的人数； 1:1 20 70 a 1 [ )3020， 10 0.5 2 [ )4030， x 0.9 3 [ )5040， 54 m 4 [ )6050， n 0.36 5 [ )7060， y 0.2 ( )m x y n+ + 2,3,4 6 2,3,4（3）在（2）中抽取的 人中随机抽取 人，求所抽取的人中恰好没有年龄在 段的概率。 ▲ 21．（本小题满分 12 分） 如图，已知直三棱柱 中， ， ， 是 的中点， 是 上一点， 且 ． （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 余弦值的大小。 ▲ 22．（本小题 12 分） 已知过定点 且与直线 垂直的直线与 轴、 轴分别交于点 ，点 满足 . （1）若以原点为圆心的圆 与 有唯一公共点，求圆 的轨迹方程； （2）求能覆盖 的最小圆的面积； A B C A1 B1 C1 E F 6 2 [ )30 40， 1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 1 2AB AC AA= = = E BC F 1A E 1 2A F FE= AF ⊥ 1A BC 1 1B A E B− − (1,1) y x= x y A B、 2 2C m（ ， ） CA CB= E ABC∆ E ABC∆（3）在（1）的条件下，点 在直线 上，圆 上总存在两个不同 的点 使得 为坐标原点），求 的取值范围。 ▲ 遂宁市高中 2021 届第三学期教学水平监测 数学（理科）试题参考答案及评分意见 一、选择题（5×12=60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A B C D A D A C A D 二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，共 20 分） 13、 14、 或 15、 16、 三、解答题 17．（本小题 10 分） （1）连接 BD 交 AC 于点 G,连接 EG， 因为 E 为 PD 的中点，G 为 BD 的中点，所以 ……3 分 又因为 , ，所以 ……5 分 （2） ……8 分 ……10 分 18．（本小题 12 分） （1）根据表中的数据，可得 ， ， ……2 分 则 ， ， ……4 分 0 0, )P x y（ 3 2 4 0x y+ − = E M N、 OM ON OP+ =   (O 0x 1− 5.6 28 5 2 3 5 2 − / /PB EG EG EAC⊂ 平面 PB EAC⊄ 平面 / /PB EAC平面 , .PA ABCD CD ABCD PA CD⊥ ⊂ ∴ ⊥ 面 面 , . , ,ABCD AD CD PA AD A PA AD PAD∴ ⊥ ∩ = ⊂ 是矩形， 而 平面 . .CD PAD CD PDC∴ ⊥ ⊂平面 平面 .PDC PAD∴ ⊥平面 平面 1 (1 2 3 6 7) 47 4 5x = + + + + + + = 1 (3 4 5 6 7) 57 5 5y = + + + + + + = ( )( ) ( ) 3 1 5 2 1 ˆ i i i i i x x y y b x x = = − − = − ∑ ∑ 2 2 2 2 2 2 2 (1 4)(3 5) (2 4)(4 5) (3 4)(5 5) (4 4)(5 5) (5 4)(5 5) (6 4)(6 5) (7 4)(7 5) (1 4) (2 4) (3 4) (4 4) (5 4 (6 4) ( 4) 7 ) − − + − − + + − − + − − + − − + − − + − −= − + − + − + − + −− + − 4 7 =又由 ……5 分 故所求回归直线方程为 ………………6 分 （2）正相关 ………………9 分 （3）当 时，根据方程得 ， 故预测第八天有 7 人 ………………12 分 19．（本小题 12 分） （1）解：设 ，由题意有： ………………2 分 化简得： ………………4 分 （2）因为点 到圆心 的距离 ，令圆心为 所以在 中， ………………6 分 则 ………………8 分 （3）过点 倾斜角为 的直线方程为 ………………9 分 该直线恰好过圆心，所以与曲线截得的弦长恰好为圆的直径， 即弦长 ………………12 分 20．（本小题 12 分） （1）第 组的人数为： 人，第 组的频率为： ………………1 分 ………………2 分 ………………3 分 故 ………………4 分 （2）抽样比为： 人 第 组抽取的人数为： 人；第 组抽取的人数为： 人； 第 组抽取的人数为： 人 ………………8 分 （3）记 中 2 人为 A1,A2， 中 3 人为 B1,B2,B3， 中 1 人为 C，则在 抽取的 人中随机抽取 人的所有事件为 A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1C，A2B1，A2B2， A2B3，A2C，B1B2，B1B3，B1C，B2B3，B2C，B3C 共 15 个，其中不含 A1,A2 的有 6 个 4 19ˆ 5 47 7a = − × = 4 19ˆ 7 7y x= + 8x = 4 19 518 77 7 7y = × + = ≈ ,M x y（ ） 2 2 2 2 1 ( 3) 4 x y x y + =− + 2 2( 1) 4x y+ + = 3,3P（ ） ( 1,0)− 2 24 +3 =5d = G Rt PBG∆ 2 21sin cos5 5BPG BPG∠ = ∠ =， 4 21sin 2sin cos 25BPC BPG BPG∠ = ∠ ⋅ ∠ = (0,1)Q 4 π 1 0x y− + = 4d = 1 10 200.5 = 1 0.01 10 0.1× ＝ 20 2000.1a∴ = = 200 0.2 0.9 36, 200 0.2 0.15 6x y∴ = × × = = × × = 54 0.9, 200 0.25 0.36 18200 0.3m n= = = × × =× ( ) 0.9 (36 6 18) 54m x y n+ + = × + + = 6 1 108 18 = ∴ 2 36 21 18 × = 3 54 31 18 × = 4 18 11 18 × = [ )30 40， [ )40 50， [ )50 60， 6 2所抽取的人中恰好没有年龄段在 的概率： ………………12 分 21．（本小题 12 分） （1）由题意知，等腰直角三角形 中， 中线 ，且 而直三棱柱 中， 底面 ， 从而知 ， 一方面，在 中，因为 ， ，则 由 ，可得 ，从而可知 ，又 ……………3 分 则得 ，由此可得 ，即有 另一方面，由 ， ， ，得 平面 又 平面 ，则知 ………………5 分 综上， ，且 ，又 ， 故 平面 ． ………………6 分 （2）由题意，可如图建立空间直角坐标系 ，且有 ， ， ， ， ， 从而有 ， ， ， 由 ， 可得 ……8 分 记 为平面 的一个法向量，则有 ，取 ，得 ……10 分 又由（Ⅰ）知 平面 ，故可取 为平面 的一个法向量， 那么可得 记所求二面角的大小为 ， 结合图形可知， ． ………………12 分 22．（本小题 12 分） ∴ [ )30 40， 6 1 2 5 5 mp n = = = ABC∆ AE BC⊥ 1 22AE BC= = 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC 1AA AE⊥ 1AA BC⊥ 1Rt A AE∆ 1 2A A = 2AE = 1 6A E = 1 2A F FE= 6 3EF = 1A EAE EF AE = 1AEF A EA∠ = ∠ 1AEF A EA∆ ∆ 1 90AFE A AE∠ = ∠ =  1AF A E⊥ 1AA BC⊥ AE BC⊥ 1AA AE A= BC ⊥ 1A AE AF ⊂ 1A AE BC AF⊥ 1AF A E⊥ AF BC⊥ 1BC A E E= AF ⊥ 1A BC A xyz− (0,0,0)A 1(0,0,2)A (2,0,0)B (0,2,0)C (1,1,0)E (1,1,0)AE = 1 ( 1, 1,2)EA = − − 1 1 (2,0,0)A B = 1 2A F FE=  1 1 2 2 2, ,3 3 3 3AF AE EF AE EA  = + = + =         ( , , )n x y z= 1 1A B E 1 1 1 0 2 0 2 00 n EA x y z xn A B  ⋅ = − − − = ⇔  =⋅ =      1z = (0,2,1)n = AF ⊥ 1A BC 3 (1,1,1)2m AF= =  1A BE 3 15cos , 55 3 n AFn AF n AF ⋅< >= = = ⋅      θ 15cos cos 5n AFθ = < ⋅ >=  A B C A1 B1 C1 E F x y z（1）因为 ，所以 在线段 的垂直平分线上，即在直线 上， 故 ………………1 分 以原点为圆心的圆 与 有唯一公共点， 此时圆的半径 ………………3 分 故：圆 的方程为 ………………4 分 （2）由于三角形 ABC 为钝角三角形且 AB 为最长边，故能覆盖三角形 ABC 的最小圆是以 AB 为直径的圆……………………（不需证明，写出该结论给 2 分）………….6 分 由于点 ，所以 ………………………………………..7 分 故该圆的半径为 所以能覆盖该三角形的最小圆面积 ………………………………………….8 分 （3） （O 为坐标原点），则有 OP 与 MN 互相垂直平分， 所以圆心到直线 MN 的距离小于 1.即又 ………………10 分 又 ，代入（1）得 所以实数 的取值范围为 ………………12 分 CA CB= C AB y x= 2 2m = E ABC∆ 2 22 2( ) ( ) 12 2r = + = E 2 2 1x y+ = 2,0 0,2A B（ ），（ ） 2 2AB = 2 =2S π OM ON OP → → → + = 2 2 0 0 2 2 0 01, 4..........(1)2 x y x y + < ∴ + < 0 0 0 0 33 2 4 0, 2 2x y y x+ − = ∴ = − 2 2 0 0 0 3 24(2 ) 4 02 13x x x+ − < ⇒ < < 0x 24(0, )13