2020 届广州市高三年级调研测试
理科数学
2019.12
本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用 2B 铅笔在答
题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型（A）填图在答题卡的相应位置上。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔盒涂改液，不
按以上要求作答无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．如图 1，已知全集 U=Z，集合 A＝{－2，－1，0，1，2}，集合 B={1，2，3，4}，则图中阴影部分表示
的集合是（ ）
A．{3，4} B．{－2，－1，0} C．{1，2} D．{2，3，4}
2．已知 Z= （i 为虚数单位）,在复平面内，复数 Z 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知 ， ， ，则 a,b,c 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．-7 B．-6 C．1 D．6
5．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过
考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校
( )
i
i
+
−
1
1 2
3
1
2
1
=a 3log2=b 6log4=c
bca >> cba =< cba >> bca + 在xafxf
−− −− 22
3
4,3 ee
−− −−
2
1
2
3
,3 ee
−− −− 2
3
1 3,2 ee
−− −− 22
1
4, ee
( )
3
4
4tan0 =
+∈ πθπθ ，， =+ θθ cossin
n
x
x
+ 13
6
125π
cba ,,
222 24 cba += 2a
S三．解答题：共 70 分。解答应些出文字说明证明过程或演算步骤。第 13~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（ 12 分 ） 已 知 为 单 调 递 增 的 等 差 数 列 ， ， ， 设 数 列 满 足
， .
（1）求数列 的通项；（2）求数列 的前 项和 .
18.（12 分）如图 5，已知四边形 ABCD 是变成为 2 的菱形，∠ABC=60°，平面 AEFC⊥平面 ABCD，
EF∥AC，AE=AB,AC=2EF.
（1）求证：平面 BED⊥平面 AEFC；
（2）若四边形 AEFC 为直角梯形，且 EA⊥AC，求二面角 B-FC-D 的余弦值。
{ }na 1852 =+ aa 8043 =⋅aa { }nb
422222 3
3
2
2
1 −=++++ na
n
n bbbb
∗∈ Nn
{ }na { }nb n nS19.（12 分）某城市 A 公司外卖配送员底薪是每月 1800 元/人，设每月每人配送的单数为 X， 若
X∈[1，300]，每单提成 3 元，若 X∈（300，600），每单提成 4 元，若 X∈（600，+∞），每单
提成 4.5 元，B 公司配送员底薪是每月 2100 元，设每月配送单数为 Y，若 Y∈[1，400]，每单提成
3 元，若 Y∈（400，+∞），每单提成 4 元，小想在 A 公司和 B 公司之间选择一份配送员工作，他
随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在 2019 年 4 月份（30 天）的送餐量数据，如
下表：
表 1：A 公司配送员甲送餐量统计
日送餐量 x（单） 13 14 16 17 18 20
天数 2 6 12 6 2 2
表 2：B 公司配送员乙送餐量统计
日送餐量 x（单） 11 13 14 15 16 18
天数 4 5 12 3 5 1
（1）设 A 公司配送员月工资为 f（X），B 公司配送员月工资为 g（Y），当 X=Y 且 X，Y∈[300，600]
时，比较 f（X）与 g（Y）的大小关系
（2）将甲乙 9 月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率
（i）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望 E（X）和 E（Y）
（ii）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
20.（12 分）已知椭圆 的右焦点 F 到左顶点的距离为 3.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 O 是 坐 标 原 点 ， 过 点 F 的 直 线 与 椭 圆 C 交 于 A,B 两 点 （ A,B 不 在 x 轴 上 ） ， 若
,延长 AO 交椭圆与点 G，求四边形 AGBE 的面积 S 的最大值.
21.（12 分）已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个极值点 ，证明：
( )013
2
2
2
>=+ ay
a
xC：
OBOAOE +=
( ) .ln2 xkxxxf +−=
( )xf
( )xf 21, xx ( ) ( ) .24
1
11 kxfxf −> bca + 在xafxf
−− −− 22
3
4,3 ee
−− −−
2
1
2
3
,3 ee
−− −− 2
3
1 3,2 ee
−− −− 22
1
4, ee
( )
3
4
4tan0 =
+∈ πθπθ ，， =+ θθ cossin
4 2
5
n
x
x
+ 13
6
125π
cba ,, 222 24 cba +=则 的最大值为__________.
答案：
17. （ 12 分 ） 已 知 为 单 调 递 增 的 等 差 数 列 ， ， ， 设 数 列 满 足
， .
（2）求数列 的通项；（2）求数列 的前 项和 .
解：（1） ，又
数列是递增的，解得：
所以，公差 ＝2，首项 ＝4，所以，
（2） ①
n≥2 ②
①-②得： ，n≥2，
n＝1 时， ＝6 也满足上式，
所以， ，
数列 是以 6 为首项，2 为公式的等比数列，
18.（12 分）如图 5，已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠ABC=60°，平面 AEFC⊥平面 ABCD，
EF∥AC，AE=AB,AC=2EF.
（1）求证：平面 BED⊥平面 AEFC；
（2）若四边形 AEFC 为直角梯形，且 EA⊥AC，求二面角 B-FC-D 的余弦值。
2a
S
10
6
{ }na 1852 =+ aa 8043 =⋅aa { }nb
422222 3
3
2
2
1 −=++++ na
n
n bbbb
∗∈ Nn
{ }na { }nb n nS
3 4 2 5 18a a a a+ = + = 8043 =⋅aa
3 48 10a a =＝ ，
d 1a 2 2na n= +
422222 3
3
2
2
1 −=++++ na
n
n bbbb
12 3 1
1 2 3 12 2 2 2 2 4nan
nb b b b −−
−+ + + + = −
3 2n
nb = ×
1b
3 2n
nb = ×
{ }nb
16(1 2 ) 3 2 61 2
n
n
nS +−= = × −−解：（1）平面 AEFC⊥平面 ABCD，平面 AEFC∩平面 ABCD＝AC，
菱形 ABCD 中，BD⊥AC，
所以，BD⊥平面 AEFC，
又 BD 平面 BED，所以，平面 BED⊥平面 AEFC
（2）平面 AEFC⊥平面 ABCD，平面 AEFC∩平面 ABCD＝AC，
EA⊥AC，所以，EA⊥平面 ABCD，
直角梯形中，AC＝2EF，设 AC 交 BD 于 O，连结 FO，则有 AO＝EF，AO∥EF，
所以，AOFE 为平行四边形，所以 OF∥EA，
所以，FO⊥平面 ABCD，
菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，所以，三角形 ABC 为等边三角形，
设 OC＝1，则 OF＝AE＝AB＝2，OB＝OD＝ ，
B（ ，0，0），C（0，1，0），F（0，0，2），D（－ ，0，0），
＝（－ ，1，0）， ＝（－ ，0，2），
设平面 BCF 的法向量为 ，
则 ，令 ，可得： ＝（2,2 ， ），
同理可求得平面 DCF 的法向量 ＝（2,－2 ，－ ），
求得二面角 B-FC-D 的余弦值为－
⊂
3
3 3
BC 3 BF 3
( , , )m x y z=
3 0
3 2 0
x y
x z
− + =
− + =
2x = m 3 3
n 3 3
11
919.（12 分）某城市 A 公司外卖配送员底薪是每月 1800 元/人，设每月每人配送的单数为 X，若
X∈[1，300]，每单提成 3 元，若 X∈（300，600），每单提成 4 元，若 X∈（600，+∞），每单
提成 4.5 元，B 公司配送员底薪是每月 2100 元，设每月配送单数为 Y，若 Y∈[1，400]，每单提成
3 元，若 Y∈（400，+∞），每单提成 4 元，小想在 A 公司和 B 公司之间选择一份配送员工作，他
随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在 2019 年 4 月份（30 天）的送餐量数据，如
下表：
表 1：A 公司配送员甲送餐量统计
日送餐量 x（单） 13 14 16 17 18 20
天数 2 6 12 6 2 2
表 2：B 公司配送员乙送餐量统计
日送餐量 x（单） 11 13 14 15 16 18
天数 4 5 12 3 5 1
（1）设 A 公司配送员月工资为 f（X），B 公司配送员月工资为 g（Y），当 X=Y 且 X，Y∈[300，600]
时，比较 f（X）与 g（Y）的大小关系
（2）将甲乙 9 月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率
（i）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望 E（X）和 E（Y）
（ii）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
解：(1) X=Y 且 X，Y∈[300，600],
所以，g（Y）＝g（X），
当 X∈（300，400]时，
f（X）－g（Y）＝f（X）－g（X）＝（1800＋4X）－（2100＋3X）＝X－300＞0，
当 X∈（400，600]时，
f（X）－g（Y）＝f（X）－g（X）＝（1800＋4X）－（2100＋4X）＝－300＜0，
当 X∈（300，400]时，f（X）＞g（Y）
当 X∈（400，600]时，f（X）＜g（Y）
（2）（i）送餐量 X 的分布列为：
X 13 14 16 17 18 20
P
送餐量 Y 的分布列为：
Y 11 13 14 15 16 18
P
则 E（X）＝16，E（Y）＝14
1
15
1
5
2
5
1
5
1
15
1
15
2
15
1
6
2
5
1
10
1
6
1
3020.（12 分）已知椭圆 的右焦点 F 到左顶点的距离为 3.
（3）求椭圆 C 的方程；
（4）设 O 是 坐 标 原 点 ， 过 点 F 的 直 线 与 椭 圆 C 交 于 A,B 两 点 （ A,B 不 在 x 轴 上 ） ， 若
,延长 AO 交椭圆与点 G，求四边形 AGBE 的面积 S 的最大值.
解：
如图，S AGBE＝3S △ AOB＝3× ×｜OF｜×｜y 1－y 2｜＝
＝
令 ，
( )013
2
2
2
>=+ ay
a
xC：
OBOAOE +=
1
2
2
1 2 1 2
3 1 ) 42 y y y y× × + −（
2
2
18 1
3 4
m
m
+
+
2 1, 1t m t= + ≥则 SAGBE＝ ＝ ，在［1，＋∞）上单调递减，
所以，当 t＝1 时，S AGBE 有最大值为
21.（12 分）已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个极值点 ，证明：
解：（1）定义域为（0，＋∞），
，
令 ，令 ，得 ，
①若△≤0，则 ，此时， 恒成立；
②
2
18
3 1
t
t +
18
13t t
+
9
2
( ) .ln2 xkxxxf +−=
( )xf
( )xf 21, xx ( ) ( ) .24
1
11 kxfxf −
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