数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知 i 是虚数单位， ，是 z 的共轭复数，则的虚部是
A. B. C. 1 D.
2. 已知集合 ， ，则
A. B.
C. D.
3. 甲、乙两名同学在五次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平
均成绩分别是 ， ，观察茎叶图，下列结论正确的是
A. ，乙比甲成绩稳定 B. ，乙比甲成绩稳定
C. ，甲比乙成绩稳定 D. ，甲比乙成绩稳定
4. 已知数列 的前 n 项和为 ， 为常数，若 ， ，则
A. 120 B. 140 C. 210 D. 520
5. 已知 a 为实数， ，若 ，则函数 的单调递增区间为
A. B. C. 、 D.
6. 设 D 为 所在平面内一点， ，则
A. B.
C. D.
7. 某几何体的三视图如图所示，其正视图是斜边长为 的等腰直角三角形，则该几何体
的体积是
A. B. C. D.
8. ， 恰有三个零点，则实数 m 的取值范围是
A. B. C. D.
9. 双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，M 为双曲线右支上一点．若，直线 的斜率为 ，则双曲线的离心率为
A. B.
C. D. 3
10. 2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设
计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图，如果大
正方形的面积为 50，直角三角形中较小的锐角为 ， ，在大正方形内取点，
则此点取自中间小正方形的概率为
A.
B.
C.
D.
11. 抛物线 的焦点为 F，A，B 是抛物线上与原点不重合的两点，弦 AB 经过点 ，
并且 ，则 的面积是
A. B. 9 C. D. 12
12. 在棱长为 1 的正方体 中，E，F 分别为棱 AB， 的中点，G 为棱 靠
近 C 点的三等分点，用过点 E，F，G 的平面截正方体，则截面图形的周长为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为______．
14. 已知数列 的前 n 项积为 ， ， ， ， ，则 ______15. 若 ，则 ______．
16. 函数 在 单调递增，则实数 a 的取值范围是______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 已知函数 ，在锐角 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且
．Ⅰ求 A 的大小；Ⅱ若 ，求 面积的最大值．
18. 某医疗器械公司在全国共有 100 个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行
评价分析．规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械．根据这 100 个销售点的年
销量绘制出如下的频率分布直方图，Ⅰ完成年销售任务的销售点有多少个？Ⅱ若用分层
抽样的方法从这 100 个销售点中抽取容量为 25 的样本，求该五组 ， ， ，
， 单位：千台中每组分别应抽取的销售点数量，Ⅲ在Ⅱ的条件下，从前
两组 ， 中的销售点随机选取 3 个，记这 3 个销售点在 中的个数为 X，
求 X 的分布列和期望．
19. 四棱柱 中，侧棱 底面 ABCD，底面 ABCD 为菱形， ，
， 是 的中点， 与 相交于点 F．Ⅰ求证：平面
平面 DEF．Ⅱ求二面角 的余弦值．
已知点 Q 是圆 ： 上一动点，线段 OQ 与圆 ： 相交于点 直线 d 经过 Q，
并且垂直于 x 轴，T 在 d 上的射影点为 E．Ⅰ求点 E 的轨迹 C 的方程；Ⅱ设圆 C1 与 x 轴的左、右交点分别为 A，B，点 P 是曲线 C 上的点点 P 与 A，B 不重合，直线 AP，BP 与直线
l： 分别相交于点 M，N 求证：以 MN 为直径的圆经过定点
20. 已知函数 ．Ⅰ若 ，使得 恒成立，求 a 的取值
范围；Ⅱ设 ， 为函数 图象上不同的两点，PQ 的中点为
求证：
21. 在直角坐标系 xOy 中，直线的参数方程为 为参数，以坐标原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ．Ⅰ求直线 l 的普
通方程及曲线 C 的直角坐标方程；Ⅱ求曲线 C 上的点 M 到 l 的距离的最大值．
23.已知函数 ．Ⅰ若 ，求不等式 的解集；Ⅱ若不等式
的解集非空，求 a 的取值范围．答案和解析
1.【答案】D
【解析】解： ，
．
的虚部是 ．
故选：D．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解： ， ， ；
， ， ；
．
故选：C．
求解不等式化简集合 A、B，然后直接利用交集运算得答案．
本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：观察茎叶图知，甲组数据主要分布在 内，且多在 之间，所以
平均数小些，方差大些；
乙组数据主要分布在 内，且多在 之间，所以平均数大些，方差小些；
即 ，乙比甲成绩稳定．
故选：A．
根据茎叶图中的数据，结合平均数与方差的定义，即可得出正确的结论．
本题考查了利用茎叶图中的数据判断平均数与方差的大小问题，是基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等差数列的前 20 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能
力，是中档题．推导出数列 是公差为 d 的等差数列，由 ， ，得 ， ，
由此利用等差数列前 n 项和公式能求出 ．
【解答】
解： 数列 的前 n 项和为 ， 为常数，
数列 是公差为 d 的等差数列，
， ，
，
解得 ， ，，
故选 C．
5.【答案】B
【解析】解： ，
由 ，
解得： ，
故 ，
令 ，解得： ，
故选：B．
求出函数的导数，求出 a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查向量的加减法运算，考查了向量的基底表示，属于基础题．
根据 即可得出 ，进行向量的数乘运算解出 即可．
【解答】
解： ；
；
．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查几何体的体积的求法，三视图的应用，考查空间想象能力以
及计算能力．
判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】
解：几何体的直观图如图：是一个圆柱被截去一半的几何体，
几何体的体积为： ．
故选 B．
8.【答案】A
【解析】解：在同一坐标系内画出 ， 的图象如图．过点 作 的切线，设切点为
切线的斜率 ，
切线方程为 ，
点 在切线上， ，
，
要使 恰有三个零点，则 ，
故选：A．
在同一坐标系内画出 ， 的图象，转化为图象有 3 个不同的交点的条件．
本题考查函数零点的意义及个数求解．函数与方程的思想．利用函数的图象可以加强直观性，
本题先由已知条件转化为判断两函数图象交点个数，再利用函数图象解决．
9.【答案】D
【解析】解：直线 的斜率为 ，可得直线的倾斜角为 ，所以 ，可得
，
可得： ，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，M 为双曲线右支上
一点．若 ，由双曲线的定义可得： ，
可得 ．
故选：D．
通过直线的斜率，转化求解 ，通过双曲线的定义，转化求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
10.【答案】A
【解析】解： 直角三角形中较小的锐角为 ， ，
，解得 ， ，
设大正方形为 ABCD，小正方形为 EFGH，如图，则 ， ，
，解得 ，
， 小正方形面积为 2，
在大正方形内取点，则此点取自中间小正方形的概率为 ．
故选：A．
推导出 ， ，设大正方形为 ABCD，小正方形为 EFGH，则 ，
，求出 ， ，从而小正方形面积为 2，利用几
何概型能求出在大正方形内取点，则此点取自中间小正方形的概率．
本题考查概率的求法，考查几何概型、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
11.【答案】C
【解析】解：设直线 AB 的方程： ， ， ，
联立 ，得 ， ．
，则
， ， ，
．
不妨取 ，可得 ，
的面积是 ．
故选：C．
设直线的方程为 ，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于 x 的一元二次
方程，由 及韦达定理可得 m，即可得 的面积为
本题考查考查了抛物线的定义与简单几何性质、直线与抛物线位置关系等知识，属于中档
题．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正方体的截面问题，难度适中．关键是作出截面六边形，求解不难．【解答】
解：根据题意作出截面，如图：
截面图形的周长为：
，
故选 B．
13.【答案】22
【解析】解：约束条件件约束条件 ，
不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线 过点 A 时，z 取得最大值，
由 ，可得 时，
在 y 轴上截距最大，此时 z 取得最大值 ．
故答案为：22
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， 表示直线在 y 轴上的截距，
只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可．
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解： 数列 的前 n 项积为 ， ， ，数列 是等比数列，
， ，
，解得 ， ，
．
故答案为：1．
推导出数列 是等比数列，由 ， ，得 ， ，从而
．
本题考查等比数列的前 5 项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，
是中档题．
15.【答案】
【解析】解：在 中，
令 ，可得 ，
再令 ，可得 ，
，
故答案为： ．
在所给的等式中，分别令 ， ，可得到 2 个式子，再把这 2 个式子相加并除以 2，即
得所求．
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的
x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
由题意知函数 ，定义域为 ，函数 在 上单调递增，则是要求
在 上恒大于 0；从而求出 a 的取值范围．
本题主要考查了利用导函数判断原函数的单调性，转化推出函数的最小值，属中档题．
【解答】
解：由题意知函数 ，定义域为
则：
函数 在 上单调递增，说明 在 上恒大于或等于 0；
可得 在 恒成立，
令 ，可得 恒成立， 是增函数，函数的最小值为：0，
可得实数 a 的取值范围是： ．
故答案为： ．
17.【答案】解：Ⅰ因为：
，
可得： ，
所以： ，
因为： ，可得： ，
解得： ；Ⅱ因为： ，
所以 ，可得： ，
所以 ，当且仅当 时取等号，可得 ，
所以 ，
即当 时，三角形 ABC 的面积的最大值为 ．
【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查余弦定理，基本不等式，三角形的
面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．Ⅰ由三角函
数恒等变换的应用可求 ，进而由已知可求 ，结合 A 的范围
可求 A 的值；Ⅱ由余弦定理，基本关系式可求 ，根据三角形的面积公式即可解得三角
形 ABC 的面积的最大值．
18.【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图得：
，
解得 ．
则完成年销售任务的销售点个数为 ．Ⅱ各组应该抽取的销售点数量比例
为 2：8：9：3：3，
则各组应该抽取的销售点数量分别为 2，8，9，3，3．Ⅲ在第Ⅱ问的容量为 25 的样本中，
， 中的销售点的数量分别为 2，8，
则 X 所有的可能取值为 1，2，3，
，
，
，
的分布列为：
X 1 2 3 P
．
【解析】本题考查频率、频数、离散型随机变量的布列、数学期望的求法，考查频率分布直
方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．Ⅰ由频率分布直方图的性质能求
出 a 的值，由此能求出完成年销售任务的销售点个数．Ⅱ各组应该抽取的销售点数量比例为
2：8：9：3：3，由此能求出各组应该抽取的销售点数量．Ⅲ先求出 X 的可能取值为 1，2，
3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和期望．
19.【答案】证明：Ⅰ连结 BF， ，F 是 的中点，
，
又 ， 平面 ， ，
在 中， ， ， ，
在矩形 ， ，F 是 中点， ，
平面 ，即 平面 ，
又 平面 DEF， 平面 平面 DEF．
解：Ⅱ取 BC 中点 G，以 A 为原点，AG 为 x 轴，AD 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐
标系，
则 ， 2， ， ， 0， ，
， ， 2， ，
设平面 的一个法向量 y， ，
则 ，取 ，得 0， ，
设平面 的一个法向量 y， ，
则 ，取 ，得 ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
二面角 的余弦值为 ．
【解析】Ⅰ连结 BF，推导出 ， ，从而 平面 ，进而 ，再求
出 ，由此能证明 平面 ，从而平面 平面 DEF．Ⅱ取 BC 中点 G，以 A
为原点，AG 为 x 轴，AD 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二
面角 的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：Ⅰ设 ， ，
当 时， ；
当 时， ，即有 ， ，
代入 可得 ，
化为 ，即为 E 的轨迹方程；Ⅱ证明：设 AP，BP 的斜率分别为 k， ， ，可
得 ，
，即有 ，
设 AP 的方程 ，可得 ，
BP 的方程为 ，可得 ，
即有以 MN 为直径的圆的方程为 ，
整理可得 ，
由 ， ，解得 ， 或 ， ．
可得以 MN 为直径的圆经过定点 ， ．
【解析】Ⅰ设 ， ，讨论 是否为0，可求得 ， ，代入 ，即可
得到所求轨迹方程；Ⅱ设 AP，BP 的斜率分别为 k， ， ，可得 ，运用直线
的斜率公式和方程，可得 M，N 的坐标，求得以 MN 为直径的圆的方程，可令 ，求得 x，
即可得到所求定点坐标．
本题考查动点的轨迹方程求法，注意运用代入法，考查动圆恒过定点的求法，考查直线方程
的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ ，使得 恒成立，
令 ，
，
由于 则 在 上单调递减，在 单调递增，
故 ，解得 ，
故 a 的取值范围为 ；
证明：Ⅱ 的中点为 ，
，故 ，
则 ，
，
故要证 ，
即证 ．
由于 ，即证 ，
不妨设 ，
只需要证明 ，即 ，
设 ，
构造函数 ，
则 ，则 ，
则有 ，
从而
【解析】Ⅰ由不等式恒成立，可构造函数 ，利用导数和函数的单调性即可
求出 a 的范围，Ⅱ要证明不等式成立，转化为只要证明 ，不妨设 ，只需
要证明 ，设 ，构造函数 ，利用导数即可证明．
本题主要考查利用导数判断函数的单调性与最值问题，以及函数求最值方法与转化思想，属
难题．
22.【答案】解：Ⅰ 直线的参数方程为 为参数，消去参数 t，能求出直线 l 的普通方程为 ．
曲线 C 的极坐标方程为 ．
， ，
曲线 C 的直角坐标方程为 ，即 ．Ⅱ曲线C 的参数方程为 ，
为参数，
设 ，
则 ，其中 满足 ，
，
曲线 C 上的点 M 到 l 的距离的最大值为 ．
【解析】Ⅰ直线的参数方程消去参数 t，能求出直线 l 的普通方程；曲线 C 的极坐标方程转
化 为 ， 由 此 能 求 出 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 ． Ⅱ 设 ， 则
，由此能求出曲线 C 上的点 M 到 l 的距离的最大值．
本题查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的距离的最大
值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是
中档题．
23.【答案】解：Ⅰ ，
，
当 时， 无解；
当 时，由 得 ，解得 ， ；
当 时， 恒成立， ，
所以不等式 的解集为 ；Ⅱ ，
由 的解集非空， ， 或 ，
解得 或 ，
的取值范围为 或 ．
【解析】Ⅰ分三种情况 ； ； 去绝对值解不等式再相并；Ⅱ不等式
的解集非空等价于 ，用绝对值不等式的性质求出 的最大值代入即可解得 a 的范
围．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．
微信/支付宝扫码支付