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珠海市 2019～2020 学年度第一学期普通高中学业质量监测
高三理科数学试题答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．已知集合 { | ln 0}xA x ， 2{ | 4 0}B x x ，则 A B
A. 1,2 B. (1,2] C. (0,2] D. 1,
【答案】B
【详解】
僘 ಲ
∞ ，
− 僘
，故
∩
僘
，故选 B.
2．复数 1 2i1 iz z ， ，其中i 为虚数单位，则 1
2
z
z
的虚部为
A.1 B. 1 C.i D. i
【答案】B
【详解】 1 1 iz , 1
2
i ii
1 1z
z
,虚部为-1，故选 B.
3．已知函数 2f x x bx c ， ,b c R ，则“ 0c ”是“函数 f x 有零点”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】“函数 f x 有零点”等价于“ 2 4 0b c ”，即“ 2 4b c ”；“ 0c ”明显
可得到“ 2 4b c ”，而“ 2 4b c ”不一定满足“ 0c ”，故选 A.
4．一个几何体是由若干个边长为 1 的正方体组成的，其主视图和
左视图如图所示，且使得组成几何体的正方体个数最多，则该几何
体的表面积为
A.13 B.28 C.38 D.46
【答案】D
【详解】综合主视图和左视图，要使组成几何体的正方体个数最多，则下面一层的正方体应
该有 9 个，上层的正方体应有 4 个，共 9+4=13 个.此几何体表面积为 46，故选 D.5．已知 na 是各项都为正数的等比数列， nS 是它的前 n 项和，若 4 6S ， 8 18S ,则 12S
A.24 B.30 C.42 D.48
【答案】C
【详解】 na 是各项都为正数的等比数列，所以 4 8 4 12 8, ,S S S S S 也成等比数列，且公比
为 8 4
4
2S S
S
，所以 12 8 8 42( ) 24S S S S ，因此 12 42S ，故选 C.
6．如图，若在矩形 OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为
A. 21 B. 2
C. 2
2
D. 2
21
【答案】A
【详解】 1S 矩形 ，又 0
0
sin cos | cos cos0 2xdx x
，
2S 阴影 ，豆子落在图中阴影部分的概率为 2 21
.故选：A.
7．已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右焦点为 F ，离心率 2
2
，过点 F 的直线l 交椭圆于
,A B 两点，若 AB 中点为 (1,1) ，则直线l 的斜率为
A. 2 B. 2 C. 1
2
D. 1
2
【答案】D
【详解】因为 2 2 2 2 2 2 22 , 4 2 , 4( ) 2 , 22
c c a a b a a ba
.
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，且 1 2 1 2+ =2 + =2x x y y， ，
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2
2 2
b x a y a b
b x a y a b
，
相减得 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0b x x x x a y y y y ，所以 2 2
1 2 1 22 ( ) 2 ( ) 0b x x a y y ，
所以 2 2 1 2
1 2
( )2 4 0( )
y yb b x x
，所以 11 2 0, 2k k .故选 D.8．如果执行如图所示的程序框图，
则输出的数 S 不可能是
A.0.4 B.0.5 C.0.75 D.0.9
【答案】A
【详解】根据框图： 1 11, 11 2 2i S
；
1 1 1 1 1 12, 1 1 12 2 3 2 2 3 3i S
；；
当 1, 1 1i n S n
．当 1n 时， 0.5S ；
当 3n 时， 0.75S ；当 9n 时， 0.9S ；
当 11 0.41n
时， 2
3n N ，所以选 A．
9．已知 0x ， 0y ， 0z ，且 9 1 1y z x
，则 x y z 的最小值为
A.8 B.9 C.12 D.16
【答案】D
【详解】由 , , 0x y z 得，
9 1( ) [ ( )]( )x y z x y z x y z y z x
910 x y z
y z x
910 2 16x y z
y z x
，当且仅当 4, 12x y z 时等号成立，选 D.
10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、
卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，
其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”. 在如图所示的阴阳鱼图案中，
阴影部分可表示为
2 2
2 22 2
4
, 1 1 1 1
0
x y
A x y x y x y
x
或 ，
设点( , )x y A，则 2z x y 的最大值与最小值之差是
A. 2 5 B. 2 2 5 C. 2 3 5 D. 2 4 5
【答案】C
【详解】如图，作直线 2 0x y ，当直线上移与圆 22 ( 1) 1yx 相切时， 2z x y 取最大值，此时，圆心 (0,1) 到直线 2z x y 的距离等于 1，
即 | 2 | 1
5
z ，解得 z 的最大值为 2 5 ，
当下移与圆 2 2 4x y 相切时， 2x y 取最小值，
同理 | | 2
5
z ，即 z 的最小值为 2 5 ，
所以 2 5 ( 2 5) 2 3 5 ．故选 C．
11．e 为自然对数的底数，定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 '( ) ( ) 2 xf x f x e ，其中 '( )f x 为
f x 的导函数，若 2(2) 4f e ，则 ( ) 2 xf x xe 的解集为
A. ,1 B. 1, C. ,2 D. 2,
【答案】C
【详解】设 ( )( ) 2x
f xg x xe
，所以 (2) 0g ，且 ( ) 2 xf x xe 等价于 ( ) 2 0x
f x xe
等价
于 ( ) (2)g x g ，因为 ( ) ( )( ) 2 0x
f x f xg x e
，故 ( )g x 在 R 上单调递减，所以
( ) (2)g x g ，解得 2x ，故选 C.
12．已知球O 的半径为 2， ,A B 是球面上的两点，且 2 3AB ，若点 P 是球面上任意一
点，则 PA PB 的取值范围是
A.[ 1,3] B.[ 2,6] C.[0,1] D.[0,3]
【答案】B
【详解】由球O 的半径为2， ,A B是球面上的两点，且 2 3AB ，
可得 2
3AOB , 12 2 ( ) 22OA OB , 2,OA OB
2
· · · ·PA PB OA OP OB OP OAOB OA OB OP OP
2 | cos 4 2 4cos| 2,6OA OB OP ,故选 B.
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知向量 = 1,2a
， = 2, 2b ， = 1,c m
．若 2c a b
∥ + ，则 m ________．
【答案】 1
2【详解】由题可得 2 4,2a b / / 2c a b
, 1,c m . 4 2 0m ,即 1
2m .
14．已知 0,πx ，关于 x 的方程 π2sin 03x k
有两个不同的实数解，则实数 k 的
取值范围为______.
【答案】 ( 3,2)
【详解】令 1
π2sin 3y x
， 0,πx ， 2y k ，作出 1y 的图象.
若 π2sin 03x k
在 0,π 上有两个不同的实数解，
则 1y 与 2y 应有两个不同的交点，所以 3 2k .
15．已知 1 n
xx
的展开式中所有项的系数和为 64，则其展开式中的常数项为_______.
【答案】15
【详解】已知 1 n
xx
的展开式的所有项的系数和为 64，令 1x ，得 2 64 6n n ，
二项展开式的通项公式为
3 66 2
1 6 6
1( ) ( )
r
r r r r
rT C x C xx
，令 3 6 0 42
r r ，
所以常数项为 4
6 15C .
16．已知 1F 、 2F 分别为双曲线C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的左、右焦点，过 1F 作直线l
与圆 2 2 2x y a 相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点 P ，若 1 14FT F P
uuur uuur ，则双
曲线C 的离心率为______.
【答案】 5
3
【详解】如图，由题可知 1 2OF OF c ，
OT a ，则 1FT b ，又 1 14F P FT
uuur uuur
Q ，
3TP b ， 1 4F P b ，又 1 2 2PF PF a ， 2 4 2PF b a
作 2 / /F M OT ，可得 2 2F M a ， TM b ，则 2PM b .
在 2MPF 中， 2 2 2
2 2PM MF PF ，即 22 2c b a ， 2b a c .
又 2 2 2c a b ，化简可得 2 23 2 5 0c ac a ，得 23 2 5 0e e ,解得 5
3e .
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 ~ 21题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22 ~ 23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17.（12 分）已知 , ,A B C 是 ABC 的内角， , ,a b c 分别是其对边长，向量 ( , )m a b c ，
(sin sin ,sin sin )n B A C B ，且 m n .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 2a ，求 ABC 面积的最大值.
解: (1)∵ m n ，∴ 0m n ……………………1 分
∴ ( )(sin sin ) (sin sin ) 0b a B A c C B ……………………2 分
根据正弦定理 ( )( ) ( ) 0b a b a c c b ……………………3 分
∴ 2 2 2 0b a c bc
∴
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
……………………5 分
∵ 0 A ＜ ＜ ，∴
3A . ……………………6 分
(2)在 ABC 中，
3A ， 2a
由余弦定理知 2 2 2 2 24 2 cosa b c bc A b c bc ……………………7 分
∴ 2 24 2bc b c bc ，当且仅当 b c 时等号成立. ……………………8 分
∴ 4bc ……………………9 分
∴ 1 1 3sin 4 32 2 2ABCS bc A ……………………11 分∴ ABC 面积的最大值为 3 . ……………………12 分
18.（12 分）如图，矩形 ABCD 中， 2AB ， 4AD ， E 为 BC 的中点，现将 BAE 与
CDE 折起，使得平面 BAE 及平面CDE 都与平面 DAE 垂直．
（1）求证： / /BC 平面 DAE ；
（2）求二面角 A BE C 的余弦值．
解：（1）过点 B 作 BM AE 于 M ，
过点C 作CN ED 于 N ，连接 MN .
∵平面 BAE 及平面CDE 都与平面 DAE 垂直，
∴ BM 平面 DAE ，CN 平面 DAE ，∴ / /BM CN . ……………1 分
∵矩形 ABCD 中， BAE 与 CDE 全等，∴ BM CN . ……………2 分
∴四边形 BCNM 是平行四边形，∴ / /BC MN . ……………3 分
又 BC 平面 DAE ， MN 平面 DAE ，∴ / /BC 平面 DAE . ……………4 分
（2）矩形 ABCD 中， AE DE ，以 E 为原点，
ED 为 x 轴， EA 为 y 轴，建立空间直角坐标系 xyzE ……………5 分
则 (0,0,0), (0, 2, 2), ( 2,0, 2)E B C
∴ (0, 2, 2), ( 2,0, 2)EB EC ……………6 分
设平面CBE 的法向量为 ( , , )n x y z
则 0
0
n EB
n EC
，即 2 2 0
2 2 0
y z
x z
……………7 分
令 1z ，则 ( 1, 1,1)n ……………8 分
易得平面 ABE 的法向量为 (1,0,0)m ……………9 分∴ 1 1 0 0 3cos , 3| | | | 3 1
m nm n
m n
……………11 分
∴二面角 A BE C 的余弦值为 3
3
． ……………12 分
19.（12 分）已知 F 为抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点，过 F 垂直于 x 轴的直线被C 截
得的弦长为 4．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）过点 ( ,0)m ，且斜率为1的直线被抛物线C 截得的弦为 AB ，若点 F 在以 AB 为直径
的圆内，求 m 的取值范围．
解：（1）抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点坐标为 ,02
pF
， ……………1 分
把
2
px 代入 2 2y px ，得 y p ， ……………2 分
所以 2 4p ， ……………3 分
因此抛物线方程为 2 4y x . ……………4 分
（2）设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
过点 0m, 且斜率为1的直线方程为 y x m ， ……………5 分
联立
2 4y x
y x m
,
消去 y 得： 2 22 4 0x m x m ……………6 分
所以 2 2Δ 2 4 4 0 1m m m
根据韦达定理
1 2 2 4x x m ， 2
1 2x x m ， ……………8 分
易知抛物线C 的 1,0F ，点 F 在以 AB 为直径的圆内等价于 0FA FB ，
1 1 2 2 1 2 1 2 1 21, 1, 1FA FB y y x xx x yyx x
1 2 1 2 1 21x x m mx x x x 2
1 2 1 22 1 1x xx m x m 2 22 1 2 4 1m m m m 2 6 3 0m m ……………10 分
解得3 2 3 3 2 3m ，符合 1m . ……………11 分
所以， m 的范围是 3 2 3 3 2 3 , . ……………12 分
20.（12 分）某游戏棋盘上标有第 0 、1、 2、 、100 站，棋子开始位于第 0 站，选手抛
掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，
直到跳到第 99站或第100 站时，游戏结束. 设游戏过程中棋子出现在第 n站的概率为 nP .
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3 次后，求棋子所走站数之和 X 的分布列与数学期望；
（2）证明： 1 1
1 1 982n n n nP P P P n ；
（3）若最终棋子落在第99 站，则记选手落败，若最终棋子落在第100 站，则记选手获胜. 请
分析这个游戏是否公平.
解：（1）由题意可知，随机变量 X 的可能取值有 3 、 4、5 、 6 ， ……………1 分
31 13 2 8P X
，
3
1
3
1 34 2 8P X C
，
3
2
3
1 35 2 8P X C
，
31 16 2 8P X
. ……………3 分
所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：
X 3 4 5 6
P 1
8
3
8
3
8
1
8
……………4 分
所以， 1 3 3 1 9( ) 3 4 5 68 8 8 8 2E X . ………6 分
（2）依题意，当1 98n 时，棋子要到第 1n 站，有两种情况：
由第 n 站跳1站得到，其概率为 1
2 nP ；
可以由第 1n 站跳 2站得到，其概率为 1
1
2 nP .所以， 1 1
1 1
2 2n n nP P P . ………7 分
同时减去 nP 得 1 1 1
1 1 1 , 1 982 2 2n n n n n nP P P P P P n ………8 分
（3）依照（2）的分析，棋子落到第 99 站的概率为 99 98 97
1 1
2 2P P P ， ………9 分
由于若跳到第99 站时，自动停止游戏，故有 100 98
1
2P P . ………10 分
所以 100 99P P ， ………11 分
即最终棋子落在第99 站的概率大于落在第100 站的概率，游戏不公平. ………12 分
（注意：由于 1 1 1
1 1 1
2 2 2n n n n n nP P P P P P 仅对于1 98n 成立，所以如果
学生使用
99 1
100 99
1 02P P
得到 100 99P P ，从而说明游戏不公平，则应该算是错误，
第（3）小问不给分.）
21.（12 分）已知函数 ( ) ln 1af x x x
， a R .
（1）若对 [1, )x ，不等式 ( ) 1 0f x x 恒成立，求 a 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设函数 ( )( ) f xg x x
，试判断 ( )g x 在区间 2[1, ]e 上是否存在极值
（ e 为自然对数的底数）.若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）由 ( ) 1 0f x x ，得1 1 1 0anx xx
．
即 21 2a x nx x x 在[1, ) 上恒成立． ……………1 分
设函数 2( ) 1 2m x x nx x x ， 1x ．
则 '( ) 1 2 1m x x nx x ． ……………2 分
∵ [1, )x ，∴ '( ) 1 2 1 0m x nx x ． ……………3 分
∴ ( )m x 在[1, ) 上单调递减．
∴当 [1, )x 时， max( ) (1) 1m x m ． ……………4 分
∴ 1a ，即 a 的取值范围是 (1, ) ． ……………5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 1a ， 2
1 1( ) nx ag x x x x
， 2[1, ]x e ．∴ 2 2
1 1 1'( ) nxg x x x
3 3
2 2 1 2a x x nx a
x x
． ……………6 分
设 ( ) 2 1 2h x x x nx a ，则 '( ) 2 (1 1 ) 1 1h x nx nx ．
由 '( ) 0h x ，得 x e ．当1 x e 时， '( ) 0h x ；当 2e x e 时， '( ) 0h x ．
∴ ( )h x 在[1,e) 上单调递增，在 2(e,e ]上单调递减． ……………7 分
且 (1) 2 2h a ， ( ) 2h e e a ， 2( ) 2h e a ．
（ⅰ）当 ( ) 2 0h e e a ，即
2
ea 时， ( ) 0h x 即 '( ) 0g x ．
∴ ( )g x 在 2[1,e ]上单调递减．
∴当
2
ea 时， ( )g x 在 2[1,e ]上不存在极值． ……………8 分
（ⅱ）当 ( ) 0h e ，即1 2
ea 时，据（Ⅰ）可知 2( ) (1) 0h e h ．
则必定 2
1 2, [1, ]x x e ，使得 1 2( ) ( ) 0h x h x ，且 2
1 21 x e x e ．
∴当1 2
ea 时， ( )g x 在 2[1,e ]上有极小值 1( )g x 和极大值为 2( )g x . ……………9 分
∵ 1
1 2
1 1 1
1 1( ) nx ag x x x x
1 1 1
2
1
1x nx x a
x
且1 2
ea ， 11 x e .
设 ( ) 1x x nx x a ，∴ '( ) 1 0x nx ， ( )x 在 (1, )e 上单调递增，
∴ 1( ) (1) 1 0x a ．∴ 1( ) 0g x ． ……………10 分
∴当1 2
ea 时， ( )g x 在 2[1, ]e 上的极值 2 1( ) ( ) 0g x g x ． ……………11 分
综上所述：当
2
ea 时， ( )g x 在 2[1, ]e 上不存在极值；当1 2
ea 时， ( )g x 在 2[1, ]e 上存
在极值，且极值均为正． ……………12 分
（二）选考题：共10分.请考生在第 22 ~ 23 题中任选一题作答. 如果多做，那么按照所做
的第一题计分.
22.（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C ： 4cos
4sin
x
y
，（ 为参数），将曲线 1C上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 1
2
后得到曲线 2C ；以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 33
.
（1）求曲线 2C 和直线 l 的直角坐标方程；
（2）已知 ( 2 3 0)M - ， ，设直线 l 与曲线 2C 交于不同的 A B, 两点，求 MA MB 的值.
解：（1）直线l 的极坐标方程为 πsin 33
，
化简得 3 cos sin 6 0 ，
化为直角坐标方程为 3 6 0x y ． ……………2 分
将曲线 1C ： 4cos
4sin
x
y
，（ 为参数），消参得 2 2 16x y ，
依题意变换后得曲线 2C ：
2 2
116 4
x y . ……………5 分
（2）由题意知 ( 2 3 0)M - ， 在直线l 上，又直线l 的倾斜角为 π
3
，
所以直线l 的参数方程为
12 3 2
3
2
x t
y t
，
，
（t 为参数） ……………7 分
设 A B， 对应的参数分别为 1t ， 2t ，
将直线l 的参数方程代入
2 2
116 4
x y 中，得 213 8 3 16 0t t ． ……………8 分
因为 M 在 2C 内，所以 恒成立，
由韦达定理得 1 2
16
13t t ， ……………9 分
所以 1 2
16| | | | | | 13MA MB t t ． ……………10 分
23.（10 分）设函数 4 0f x x a x a ．
（1）当 1a 时，求不等式 f x x 的解集；（2）若 41f x a
恒成立，求 a 的取值范围．
解：（1）当 1a 时，
5 2 , 1
1 4 3,1 4
2 5, 4
x x
f x x x x
x x
， ……………1 分
当 1x 时， f x x ，无解；
当1 4x 时， f x x 可得 3 4x ；
当 4x 时， f x x 可得 4 5x ； ……………4 分
故不等式 f x x 的解集为 3,5 ． ……………5 分
（2） 4 4 4f x x a x x a x a ， ……………6 分
4 44 1 aa a a
． ……………7 分
当 0a 或 4a 时，不等式显然成立； ……………8 分
当 0 4a 时， 1 1a
，则1 4a ． ……………9 分
故 a 的取值范围为 ,0 1, ． ……………10 分
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