珠海市 2019〜2020 学年度第二学期普通高中学生学业质量监测
髙三文科数学
时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项.）
1.已知集合 A={ }，B={-1,0,1,2,3},则
A.{0,1,2} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2}
2.已知 是虚数单位，复数 满足 ，则
A.
B.
C. D.
3.己知命题 任意 ,都有 ;命题 a>b,则有以 a2>b2，则下列命题为真命题
的是
A.
B.
C. D.
4.某学校有 800 名新生，其中有 500 名男生，300 名女生.为了了解学生的身体素质，现用
分层抽样的方法从中抽取 16 人进行检查，则应从男生中抽取
A. 10 名学生 B. 11 名学生 C. 12 名学生 D.无法确定
5.已知的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b, c, ,则 —定为
A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，
次曰脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为有一个
人走了378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了
6 天后 到达目的地.”问此人第 5 天和第 6 天共走了
A. 24 里 B. 6 里 C. 18 里 D. 12 里
7.已知 满足 ,则 在 上的投影为
A. -2 B. -1 C. -3 D. 2
8.双曲线 C: 的两条渐近线与圆 相切，则 C 的离心
4b>(12
2
2
2
ab
y
a
x =− 1)2( 22 =+− yx率为
A.
B.
C.2 D.
9.函数 在区间[-4,4]附近的图象大致形状是
10.已知 ，则
A.a 2 2( 2) 1x y− + = C
2 3
3
3 2 2
3tan30 3
b
a
= =
2 2
2 1 2 31 ( ) 1 3 3
c a b be a a a
+= = = + = + =
2
2( ) 11
x
f x x
= −+ [ 4,4]−
2
2( ) 11
x
f x x
= −+
( )1 0， ( )2 0f
0.2xy = R 0.30.2 00 .2.2 0> > a c b< <
mnnmnm ≥+=+
260
3030
mnnm
mn
nm
≤+=
+
2
200200
400
ln , 1
( ) 1 1, 12
x x
f x
x x
>= + ≤
( ) ( )f m f n= n m−
[ ],3e [ ]4 2ln2,3−
3
24 2ln2, 1e
−
－
[ ]2 2ln 2,3−
( ) ( )f m f n t= = ( )y f x= y t=
30 2t< ≤ ( )f m t= 1 12 m t+ = 2 2m t= −
( )f n t= ln n t= tn e=
( ) 2 2tg t n m e t= − = − + 30 2t< ≤ ( ) 2tg t e′ = −
0 ln 2t< < ( ) 0g t′ < ( )g t
3ln 2 2t< ≤ ( ) 0g t′ > ( )g t所以函数 的最小值为： ；而 ，
，∴ ，即 .
法二：数形结合，如图可将直线平移与曲线相切，利用导数求得切线，可得 最小值，
而 最大值为 （取得到）或 （取不到）时.
二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．函数 的图象在点 处切线方程为 ．
【答案】 .
解析： ，则 ，又 ，则切线方程为
14．若 ，则 ___________．
【答案】 .
解析： .
15．函数 在区间 的最小值为___________．
【答案】 .
解析： ，则 ， ，可知 的最小值
为 .
16．在半径为 的球内有一个内三棱锥 ，点 都在球面上，且 是
边长为 的等边三角形，那么三棱锥 体积的最大值为_________．
【答案】 .
解析：如图： .
( )g t ln2(ln 2) e 2ln 2 2 4 2ln 2g = − + = − 0(0) e 2 3g = + =
3
23( ) e 1 32g = − >
3
24 2ln 2 ( ) e 1g t− ≤ ≤ −
3
24 2ln 2 e 1n m− ≤ − ≤ −
n m−
n m− 0y = 3
2y =
2ln)( xxxf += ( )1, (1)f
3 2y x= −
xxxf 21)( +=′ 3)1( =′f 1)1( =f 23 −= xy
3
2)15sin( =+ α =+ )105cos( α
2
3
−
3
2)15sin()9015cos()105cos( −=+−=++=+ ααα
π( ) sin(2 )3f x x= + [0, ]4
π
1
2
0, 4x
π ∈
52 ,3 3 6x
π π π + ∈
1sin 2 ,13 2x
π + ∈ （ ） ( )f x
5π 1( ) sin 6 2f x = =
2 P ABC− , , ,P A B C ABC∆
3 P ABC−
9 3
4
2 3 3 33 2CD = × × =在 中， .
三棱锥 体积的最大时，最长的高为 .
.
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17〜21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题
17．（本小题满分 12 分）
已知正项等差数列 满足 ， ，等比数列 的前 项和 满足
，其中 是常数．
（1）求 以及数列 、 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
解：（1） 数列 为正项等差数列， 公差 ，
，又 ，
， ，可得 ，即可得 ；
①
当 时， ，
当 时， ②
① ②即可得 ， ，又 为等比数列，
，即可得 ， ， ；
（2）由题意得 ，
， ③
， ④
③ ④ 可 得 ：
．
OCD∆ 2 2 1OD OC CD= − =
P ABC− 3OD OP+ =
1 1 3 9 33 3 33 2 2 4P ABCV − = × × × × × =
{ }na 2 5 9a a+ = 3 4 20a a = { }nb n nS
2n
nS c= − c
c { }na { }nb
n n nc a b= { }nc n nT
{ }na ∴ 0d >
2 5 3 4 9a a a a+ = + = 3 4 20a a =
3 4a∴ = 4 5a = 1d = 1na n= +
2n
nS c= − …
1n = 1 2b c= −
2n
1
1 2n
nS c−
− = − …
− 12n
nb −= 2n { }nb
0
1 2 1 2b c∴ = = = − 1c = 12n
nb −∴ = *n N∈
1( 1)2n
nc n −= +
0 1 12 2 3 2 ( 1) 2n
nT n −= + +…+ + …
1 12 2 2 2 ( 1) 2n n
nT n n−= +…+ + + …
−
1
1 2 1 2(1 2 )2 2 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 21 2
n
n n n n
nT n n n
−
− −− = + + +…+ − + = + − + = −− ．
18．（本小题满分 12 分）
为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计
如下图所示：
并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：
愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计
40 岁以下 600
40 岁以上 800 1000
总计 1200
（1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；
（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有 99．9％的把握认为“愿意
购买该款手机”与“市民的年龄”有关．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
解：（1）
该款手机的平均使用时间为 7.76 年.
（2）
2n
nT n∴ =
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2
0( )P K k
0k
4 0.05 2 4 0.09 6 4 0.07 10 4 0.03 14 4 0.01 18 7.76× × + × × + × × + × × + × × ＝愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计
40 岁以下 400 600 1000
40 岁以上 800 200 1000
总计 1200 800 2000
可知有 99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．
19．（本小题满分 12 分）
如 图 ， 四 棱 锥 的 底 面 为 直 角 梯 形 ， ， ，
， 为正三角形，点 为线段 的中点．
（1）证明 ；
（2）当 时，求点 到平面 的距离．
解：（1）取 的中点 ，连接 、 ，
由题意可知：
.
为正三角形
.
又 ， ， 面 ，
面 .
面 ，
.
（2）由题意可知 ，且 ，
，且 ，
.
又 ，
.
由（1）知 ，且 ， 面 ，
面 ，
( )2
2 2000 400 200 600 800 333.3 10.8281200 800 1000 1000K
× − ×= = >× × ×
S ABCD− ABCD / /AB CD AB BC⊥
2 2 2AB BC CD= = = SAD∆ M AB
SM AD⊥
1SM = B SAD
AD P SP MP
1AM DM= =
∴ MP AD⊥
SAD∆
SP AD∴ ⊥
SP MP P= SP MP ⊂ SMP
AD∴ ⊥ SMP
SM ∈ SMP
SM AD∴ ⊥
DM AB⊥ 1AM DM= =
2AD∴ = 1AM =
2SA∴ =
1SM AM= =
SM AM∴ ⊥
SM AD∴ ⊥ AD AM A ＝ AD AM ∈， ABCD
SM∴ ⊥ ABCD三棱锥 的体积为 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
得 .
20．（本小题满分 12 分）
中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆 过 、 两点，
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，求当 取何值时，
的面积最大．
解：（1）由题意可设椭圆 的方程为 ，代入 、 两点得
解得 ， 得椭圆 .
（2）将直线 代入 得： .
整理得： .
得 .
由韦达定理得 ， .
.
由二次函数可知当 即 时， 的面积的最大．
S ABD－ 1 1
3 3S ABD ABDV S SM= =－
B SAD h
1 1 3 1
3 3 2 3B SAD SADV S h h= = =－
2 3
3h =
C (0, 1)A − 1( 3, )2B
C
1: ,( 0)2l y x m m= + ≠ C P Q m OPQ∆
C
2 2
2 2 1x y
m n
+ = ( )0, 1A − 13, 2B
( )22
2 2
2
2
2 2
10 1
1
3 2 1
m n
m n
−+ =
+ =
2 1n = 2 4m = :C
2
2 14
x y+ =
1: ,( 0)2l y x m m= + > 2
2 14
x y+ =
2
2 14 42x x m + + =
2 22 2 2 0x mx m+ + − =
( ) ( )2 2 22 4 2 2 8 4 0m m m∆ = − − = − > 2 2m− < <
1 2 2x x m+ = − 2
1 2 2 2x x m= －
( ) ( )2 2 2 2
1 2 1 2 1 24 4 4 2 2 8 4x x x x x x m m m− = + − = − − = −
2 4 2
1 2
1 2 22OPQS m x x m m m m∆ = − = − = − +
2 1m = 1m = OPQ∆21．（本小题满分 12 分）
已知函数 ， ，其中 为常数．
（1）若函数 在 上是单调函数，求 的取值范围；
（2）当 时，证明： ．
解：（1）求导得 ， ，
①当 在 上为单调递减函数时，即 恒成立，
又 ， ， ．
②当 在 上为单调递增函数时，即 恒成立，
又 ， ， ；
综上所述： 在 上为单调递减函数时， ；
在 上为单调递增函数时， ．
（2）证明：要证 ，只需证 恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 .
易证当 时， .
，即 在 上递减，
，即 ， 在 上递减，
即 ，命题得证．
（二）选考题
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分 10 分）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴的非负半轴重合，直线 的极坐标
( ) sinf x ax x= − [0, ]2x
π∈ a
( )f x [0, ]2
π
a
1a ≤ 31( ) 6f x x≤
( ) cosf x a x′ = − [0, ]2x
π∈
( )f x [0, ]2
π
( ) cos 0f x a x′ = −
cos [0x∈ 1] (cos ) 0mina x∴ =
( )f x [0, ]2
π
( ) cos 0f x a x′ = −
cos [0x∈ 1] (cos ) 1maxa x∴ =
( )f x [0, ]2
π
0a
( )f x [0, ]2
π
1a
31( ) 6f x x
31sin 06ax x x− −
31( ) sin 6g x ax x x= − − [0, ]2x
π∈ 21( ) cos 2g x a x x′ = − −
21( ) cos 2h x a x x= − − [0, ]2x
π∈ ( ) sinh x x x′ = −
[0, ]2x
π∈ sin x x
( ) 0h x′∴ < ( )h x [0, ]2
π
( ) (0) 1 0h x h a∴ = − ( ) 0g x′ ( )g x∴ [0, ]2
π
( ) (0) 0g x g∴ =
31sin 06ax x x− −
x l方程为： ，曲线 的参数方程为： 为参数）．
（1）写出直线 的直角坐标方程；
（2）求曲线 上的点到直线 的距离的最大值．
解：（1） 直线 的极坐标方程为： ，
，
， ．
（2）根据曲线 的参数方程为： 为参数）．
得： .
它表示一个以 为圆心，以 2 为半径的圆，
圆心到直线的距离为： ，
曲线 上的点到直线 的距离的最大值 ．
23．（本小题满分 10 分）
已知 ．
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
解：（1）当 时，不等式 化为 ，得 即
当 时，不等式 化为 ，成立，即
当 时，不等式 化为 ，得 即
综上所述：所求不等式的解集为 .
（2）
若 恒成立，则 .
解得 .
1sin( )6 2
πρ θ − = C 2 2cos (2sin
x
y
α αα
= +
=
l
C l
l 1sin( )6 2
πρ θ − =
3 1 1( sin cos )2 2 2
ρ θ θ∴ − =
∴ 3 1 1
2 2 2y x− = 3 1 0x y∴ − + =
C 2 2cos (2sin
x
y
α αα
= +
=
2 2( 2) 4x y− + =
(2,0)
3
2d =
∴ C l 3 722 2
+ =
( ) 1 3f x x x= − + −
x ( ) 4f x ≤
2( )f x m m> + m
3x ≥ ( ) 4f x ≤ 2 4 4x − ≤ 4x ≤ 3 4x≤ ≤
1 3x< < ( ) 4f x ≤ 2 4≤ 1 3x< <
1x ≤ ( ) 4f x ≤ 4 2 4x− ≤ 0x ≥ 0 1x≤ ≤
{ }| 0 4x x≤ ≤
( ) 1 3 1 3 2f x x x x x= − + − ≥ − − + =
( ) 2f x m m> + 22 m m> +
2 1m− ≤ ≤ { }| 2 1m m− ≤ ≤
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