2019-2020 学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷
一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．（5 分）已知集合 A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么 A∩B＝（ ）
A．{﹣1，1} B．{﹣2，0} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，1}
2．（5 分）方程组 的解集是（ ）
A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）}
C．{（2，﹣2），（﹣2，2）} D．{（2，2），（﹣2，﹣2）}
3．（5 分）函数 y＝ 的定义域是（ ）
A．[0，1） B．（1，+∞）
C．（0，1）∪（1，+∞） D．[0，1）∪（1，+∞）
4．（5 分）下列四个函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．y＝x+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝2x D．
5．（5 分）设 a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
6．（5 分）若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bc D．ad＞bc
7．（5 分）设 a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5 分）某种药物的含量在病人血液中以每小时 20%的比例递减．现医生为某病人注射了
2000mg 该药物，那么 x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ）
A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）xmg
C．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2xmg
9．（5 分）如图，向量 ﹣ 等于（ ）A．3 ﹣ B． ﹣3 C．﹣3 + D．﹣ +3
10．（5 分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 y，观影人数记为
x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调
整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象．
给出下列四种说法：
①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；
②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；
③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；
④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．
其中，正确的说法是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
11．（4 分）已知方程 x2﹣4x+1＝0 的两根为 x1 和 x2，则 x12+x22＝ ．
12．（4 分）已知向量 ＝（1，﹣2）， ＝（﹣3，m），其中 m∈R．若 ， 共线，则| |
＝ ．
13．（4 分）已知函数 f（x）＝log 3x．若正数 a，b 满足 ，则 f（a）﹣f（b）
＝ ．
14．（4 分）函数 的零点个数是 ；满足 f（x0）＞1 的 x0
的取值范围是 ．
15．（4 分）已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中 c∈R．①集合∁RA＝ ；
②若∀x∈R，都有 x∈A 或 x∈B，则 c 的取值范围是 ．
16．（4 分）给定函数 y＝f（x），设集合 A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，
∃y∈B，使得 x+y＝0 成立，则称函数 f（x）具有性质 P．给出下列三个函数：
① ； ② ； ③y＝lgx．
其中，具有性质 P 的函数的序号是 ．
三、解答题共 6 小题，共 76 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（12 分）某校高一新生共有 320 人，其中男生 192 人，女生 128 人．为了解高一新生对
数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取 5 人进行访谈．
（Ⅰ）这 5 人中男生、女生各多少名？
（Ⅱ）从这 5 人中随即抽取 2 人完成访谈问卷，求 2 人中恰有 1 名女生的概率．
18．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，记函数 的图象为曲线 C1，函数
的图象为曲线 C2．
（Ⅰ）比较 f（2）和 1 的大小，并说明理由；
（Ⅱ）当曲线 C1 在直线 y＝1 的下方时，求 x 的取值范围；
（Ⅲ）证明：曲线 C1 和 C2 没有交点．
19．（13 分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分
布情况如图所示．
假设每名队员每次射击相互独立．
（Ⅰ）求图中 a 的值；
（Ⅱ）队员甲进行 2 次射击．用频率估计概率，求甲恰有 1 次中靶环数大于 7 的概率；
（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）20．（13 分）已知函数 ．
（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；
（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（1，+∞）上的减函数；
（Ⅲ）当 x∈[﹣4，﹣2]时，求 f（x）的值域．
21．（13 分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本 C（单位：万元）与
生产量 x（单位：千件）间的函数关系是 C＝3+x；销售收入 S（单位：万元）与生产量 x
间的函数关系是
（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量 x 的函数；
（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
22．（13 分）设函数 其中 P，M 是非空数集．记 f（P）＝{y|y＝f
（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．
（Ⅰ）若 P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求 f（P）∪f（M）；
（Ⅱ）若 P∩M＝∅，且 f（x）是定义在 R 上的增函数，求集合 P，M；
（Ⅲ）判断命题“若 P∪M≠R，则 f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．2019-2020 学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．（5 分）已知集合 A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么 A∩B＝（ ）
A．{﹣1，1} B．{﹣2，0} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，1}
【分析】利用交集直接求解．
【解答】解：∵集合 A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，
A∩B＝{﹣2，0，2}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
2．（5 分）方程组 的解集是（ ）
A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）}
C．{（2，﹣2），（﹣2，2）} D．{（2，2），（﹣2，﹣2）}
【分析】运用代入消元法解方程组即可．
【解答】解：记 ，由①得：x＝﹣y③，将③代入②得 2y2＝2，解得 y＝±
1，
当 y＝1 时，x＝﹣1，当 y＝﹣1 时，x＝1，
故原方程组的解集为{（1，﹣1），（﹣1，1）}，
故选：A．
【点评】本题考查解方程组，运用代入法进行消元是关键，属于基础题．
3．（5 分）函数 y＝ 的定义域是（ ）
A．[0，1） B．（1，+∞）
C．（0，1）∪（1，+∞） D．[0，1）∪（1，+∞）
【分析】由偶次根式的被开方数大于等于 0，分式的分母不为 0，可得到不等式组，解出即可求得定义域．
【解答】解：依题意， ，解得 x≥0 且 x≠1，即函数的定义域为[0，1）∪（1，
+∞），
故选：D．
【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．
4．（5 分）下列四个函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．y＝x+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝2x D．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 A，y＝x+1，为一次函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于 B，y＝x2﹣1，为二次函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于 C，y＝2x，为指数函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于 D，y＝ ，为对数函数，在（0，+∞）上单调递减，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．
5．（5 分）设 a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵log20.4＜log21＝0，∴a＜0，
∵0.42＝0.16，∴b＝0.16，
∵20.4＞20＝1，∴c＞1，
∴a＜b＜c，
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数
和指数函数的性质的合理运用．
6．（5 分）若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bc D．ad＞bc
【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析各个答案中不等式的正误，可得答案．【解答】解：若 a＞b＞0，c＜d＜0，则：
ac＜bc＜bd，故 ac＜bd，
故 A 错误，B 正确；
ad 与 bc 的大小无法确定，
故 C，D 错误；
故选：B．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了不等式与不等关系，难度不大，属
于基础题．
7．（5 分）设 a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】可以带入特殊值讨论充要性．
【解答】解：若 a＞b，取 a＝1，b＝﹣2，则|a|＜|b|，则“a＞b”是“|a|＞|b|”不充分条
件；
若|a|＞|b|，取 a＝﹣2，b＝1，则 a＜b，则“|a|＞|b|”是‘a＞b”不必要条件；
则 a∈R，b∈R．“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【点评】本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题．
8．（5 分）某种药物的含量在病人血液中以每小时 20%的比例递减．现医生为某病人注射了
2000mg 该药物，那么 x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ）
A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）xmg
C．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2xmg
【分析】利用指数函数模型求得函数 y 与 x 的关系式；
【解答】解：由题意知，该种药物在血液中以每小时 20%的比例递减，给某病人注射了
该药物 2500mg，经过 x 个小时后，
药物在病人血液中的量为 y＝2000×（1﹣20%）x＝2000×0.8x（mg），
即 y 与 x 的关系式为 y＝2000×0.8x．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题．9．（5 分）如图，向量 ﹣ 等于（ ）
A．3 ﹣ B． ﹣3 C．﹣3 + D．﹣ +3
【分析】可设向量 的终点为 A，向量 的终点为 B，从而可得出 ，这样根据图
形即可用 表示出 ，从而得出正确选项．
【解答】解：如图，设 ＝ ，
∴ ．
故选：B．
【点评】本题考查了向量减法、加法和数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础
题．
10．（5 分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 y，观影人数记为
x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调
整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象．
给出下列四种说法：
①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；
②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；
③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．
其中，正确的说法是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．
【解答】解：由图可知，点 A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，
故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票
价，即③对；
故选：C．
【点评】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．
二、填空题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
11．（4 分）已知方程 x2﹣4x+1＝0 的两根为 x1 和 x2，则 x12+x22＝ 14 ．
【分析】利用韦达定理代入即可．
【解答】解：方程 x2﹣4x+1＝0 的两根为 x1 和 x2，
x1+x2＝4，x1x2＝1，
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝16﹣2＝14，
故答案为：14．
【点评】考查韦达定理的应用，基础题．
12．（4 分）已知向量 ＝（1，﹣2）， ＝（﹣3，m），其中 m∈R．若 ， 共线，则| |＝
．
【分析】根据 共线即可得出 m＝6，从而可得出向量 的坐标，进而可得出 的
值．
【解答】解：∵ 共线，
∴m﹣6＝0，
∴m＝6， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了向量共线的定义，以及共线向量的坐标关系，根据向量的坐标求向
量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．13．（4 分）已知函数 f（x）＝log 3x．若正数 a，b 满足 ，则 f（a）﹣f（b）＝ ﹣
2 ．
【分析】结合已知函数解析式及对数的运算 性质即可求解．
【解答】解：∵正数 a，b 满足 ，f（x）＝log3x，
则 f（a）﹣f（b）＝log3 ＝log3x＝ ＝﹣2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了利用对数的运算性质求解函数值，属于基础试题．
14．（4 分）函数 的零点个数是 2 ；满足 f（x0）＞1 的 x0 的
取值范围是 （﹣1，0）∪（2，+∞） ．
【分析】利用分段函数求解函数的零点，列出不等式去即可．
【解答】解：函数
可得 x＜0 时，x+2＝0，解得 x＝﹣2；
x＞0 时，x2﹣3＝0，解得 x＝ ，
函数的零点有 2 个．
满足 f（x0）＞1，可得 ，解得 x0∈（﹣1，0）．
，解得 x0∈（2，+∞）．
故答案为：2；（﹣1，0）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，
是中档题．
15．（4 分）已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中 c∈R．
①集合∁RA＝ {x|﹣2＜x＜3} ；
②若∀x∈R，都有 x∈A 或 x∈B，则 c 的取值范围是 （﹣∞，﹣2] ．
【分析】①先求出集合 A，再利用补集的定义求出∁RA；
②由对∀x∈R，都有 x∈A 或 x∈B，所以 A∪B＝R，从而求出 c 的取值范围．
【解答】解：①∵集合 A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2 或 x≥3}，∴∁RA＝{x|﹣2＜x＜3}；
②∵对∀x∈R，都有 x∈A 或 x∈B，∴A∪B＝R，
∵集合 A＝{x|x≤﹣2 或 x≥3}，B＝{x|x＞c}，
∴c≤﹣2，
∴c 的取值范围是：（﹣∞，﹣2]，
故答案为：{x|﹣2＜x＜3}，（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应
用，难度不大，属于基础题．
16．（4 分）给定函数 y＝f（x），设集合 A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，
∃y∈B，使得 x+y＝0 成立，则称函数 f（x）具有性质 P．给出下列三个函数：
① ； ② ； ③y＝lgx．
其中，具有性质 P 的函数的序号是 ①③ ．
【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接
判断即可．
【解答】解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然
对于∀x∈A，∃y∈B，使得 x+y＝0 成立，即具有性质 P；
对②，A＝R，B＝（0，+∞），当 x＞0 时，不存在 y∈B，使得 x+y＝0 成立，即不具有性
质 P；
对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得 x+y＝0 成立，即具有性质
P；
故答案为：①③．
【点评】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．
三、解答题共 6 小题，共 76 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（12 分）某校高一新生共有 320 人，其中男生 192 人，女生 128 人．为了解高一新生对
数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取 5 人进行访谈．
（Ⅰ）这 5 人中男生、女生各多少名？
（Ⅱ）从这 5 人中随即抽取 2 人完成访谈问卷，求 2 人中恰有 1 名女生的概率．
【分析】（Ⅰ）利用分层抽样能求出这 5 人中男生人数和女生人数．
（Ⅱ）记这 5 人中的 3 名男生为 B1，B2，B3，2 名女生为 G1，G2，利用列举法能求出抽取的 2 人中恰有 1 名女生的概率．
【解答】解：（Ⅰ）这 5 人中男生人数为 ，女生人数为 ．
（Ⅱ）记这 5 人中的 3 名男生为 B1，B2，B3，2 名女生为 G1，G2，
则样本空间为：
Ω＝{（B1，B2），（B1，B3），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B3），（B2，G1），（B2，G2），
（B3，G1），（B3，G2），（G1，G2）}，
样本空间中，共包含 10 个样本点．
设事件 A 为“抽取的 2 人中恰有 1 名女生”，
则 A＝{（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2）}，
事件 A 共包含 6 个样本点． 从而 ．
所以抽取的 2 人中恰有 1 名女生的概率为 ．
【点评】本题考查抽取的 5 人中男生人数和女生人数的求法，考查概率的求法，考查分
层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，记函数 的图象为曲线 C1，函数
的图象为曲线 C2．
（Ⅰ）比较 f（2）和 1 的大小，并说明理由；
（Ⅱ）当曲线 C1 在直线 y＝1 的下方时，求 x 的取值范围；
（Ⅲ）证明：曲线 C1 和 C2 没有交点．
【分析】（Ⅰ）因为 ，求出 f（2）的值，结合函数的单调性
判断 f（2）和 1 的大小．
（ Ⅱ ） 因 为 “ 曲 线 C 在 直 线 y ＝ 1 的 下 方 ” 等 价 于 “ f （ x ） ＜ 1 ”，推 出
．求解即可．
（Ⅲ）求出两个函数的定义域，然后判断曲线 C1 和 C2 没有交点．
【解答】解：（Ⅰ）因为 ，
又函数 y＝log3x 是（0，+∞）上的增函数，
所以 f（2）＝log34＞log33＝1．
（Ⅱ）因为“曲线 C 在直线 y＝1 的下方”等价于“f（x）＜1”，所以 ．
因为 函数 y＝log3x 是（0，+∞）上的增函数，
所以 0＜8﹣2x＜3，
即 5＜2x＜8，
所以 x 的取值范围是 （log25，3）．
（Ⅲ）因为 f（x）有意义当且仅当 8﹣2x＞0，
解得 x＜3．
所以 f（x）的定义域为 D1＝（﹣∞，3）．
g（x）有意义当且仅当 x﹣3≥0，
解得 x≥3．
所以 g（x）的定义域为 D2＝[3，+∞）．
因为 D1∩D2＝∅，
所以曲线 C1 和 C2 没有交点．
【点评】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19．（13 分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分
布情况如图所示．
假设每名队员每次射击相互独立．
（Ⅰ）求图中 a 的值；
（Ⅱ）队员甲进行 2 次射击．用频率估计概率，求甲恰有 1 次中靶环数大于 7 的概率；
（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）
【分析】（Ⅰ）根据所有频率和为 1 建立等式，可求出 a 的值；
（Ⅱ）甲队员进行一次射击，欲求命中环数大于 7 环的概率只需将大于 7 环的频率进行
求和即可；（Ⅲ）在甲、乙两名队员中，通过频率分布情况看队员的射击成绩哪个相对集中，那就
更稳定．
【解答】解：（Ⅰ）由图可得 0.01+a+0.19+0.29+0.45＝1，
所以 a＝0.06．
（Ⅱ）设事件 A 为“队员甲进行 1 次射击，中靶环数大于 7”．
则事件 A 包含三个两两互斥的事件：中靶环数为 8，9，10，
所以 P（A）＝0.45+0.29+0.01＝0.75．
设事件 Ai 为“队员甲第 i 次射击，中靶环数大于 7”，其中 i＝1，2，
则 P（A1）＝P（A2）＝0.75．
设事件 B 为“队员甲进行 2 次射击，恰有 1 次中靶环数大于 7”．
则 ，A1，A2 独立．
所以 ＝ ＝ ．
所以，甲恰有 1 次中靶环数大于 7 的概率为 ．
（Ⅲ）队员甲的射击成绩更稳定．
【点评】本题主要考查了频率分布情况，以及概率的运算，同时考查了分析问题的能力，
属于基础题．
20．（13 分）已知函数 ．
（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；
（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（1，+∞）上的减函数；
（Ⅲ）当 x∈[﹣4，﹣2]时，求 f（x）的值域．
【分析】（Ⅰ）根据题意，先分析函数的定义域，进而分析 f（﹣x）与 f（x）的关系，结
合函数奇偶性的定义即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，任取 x1，x2∈（1，+∞），且 x1＜x2，由作差法分析可得结论；
（Ⅲ）根据题意，分析可得 f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，结合函数的解析式分析可得
答案．
【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意， ，则 f（x）的定义域为 D＝
{x|x∈R，且 x≠±1}；对于任意 x∈D，因为 ，
所以 f（x）为偶函数．
（Ⅱ）当 x∈（1，+∞）时， ，
任取 x1，x2∈（1，+∞），且 x1＜x2，
那么 ＝ ；
因为 1＜x1＜x2，所以 x2﹣x1＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，
从而 f（x1）﹣f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2）．
所以 f（x）是（1，+∞）上的减函数；
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）得，f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，
又由 f（﹣4）＝ ，f（﹣2）＝1，
则有 ≤f（x）≤1；
所以当 x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）的值域是 ．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及函数值域的计算，属于
基础题．
21．（13 分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本 C（单位：万元）与
生产量 x（单位：千件）间的函数关系是 C＝3+x；销售收入 S（单位：万元）与生产量 x
间的函数关系是
（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量 x 的函数；
（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
【分析】（Ⅰ）设商品的利润为 Y（万元），利用已知条件列出函数的解析式即可．
（Ⅱ）利用分段函数结合基本不等式求解函数的最值，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）设商品的利润为 Y（万元），
依题意得 ．
（Ⅱ）当 0＜x＜6 时， ．所以
＝
＝6．
当且仅当 ，即 x＝5 时取等号，
所以，当 0＜x＜6 时，Y 有最大值 6（万元）．
当 x≥6 时，Y＝11﹣x≤5．
综上，当 x＝5 时，Y 取得最大值 6（万元）．
因此，当生产量确定为 5 千件时，商品的利润取得最大值 6 万元．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，基本不等式的应用，是基本
知识的考查．
22．（13 分）设函数 其中 P，M 是非空数集．记 f（P）＝{y|y＝f
（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．
（Ⅰ）若 P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求 f（P）∪f（M）；
（Ⅱ）若 P∩M＝∅，且 f（x）是定义在 R 上的增函数，求集合 P，M；
（Ⅲ）判断命题“若 P∪M≠R，则 f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．
【分析】（Ⅰ）求出 f（P）＝[0，3]，f（M）＝（1，+∞），由此能过求出 f（P）∪f
（M）．
（Ⅱ）由 f（x）是定义在 R 上的增函数，且 f（0）＝0，得到当 x＜0 时，f（x）＜0，（﹣
∞，0）⊆P． 同理可证（0，+∞）⊆P． 由此能求出 P，M．
（Ⅲ）假设存在非空数集 P，M，且 P∪M≠R，但 f（P）∪f（M）＝R．证明 0∈P∪
M．推导出 f（﹣x0）＝﹣x0，且 f（﹣x0）＝﹣（﹣x0）＝x0，由此能证明命题“若 P∪M
≠R，则 f（P）∪f（M）≠R”是真命题．
【解答】解：（Ⅰ）因为 P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），
所以 f（P）＝[0，3]，f（M）＝（1，+∞），
所以 f（P）∪f（M）＝[0，+∞）．
（Ⅱ）因为 f（x）是定义在 R 上的增函数，且 f（0）＝0，
所以当 x＜0 时，f（x）＜0，所以（﹣∞，0）⊆P． 同理可证（0，+∞）⊆P．
因为 P∩M＝∅，
所以 P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}．
（Ⅲ）该命题为真命题．证明如下：
假设存在非空数集 P，M，且 P∪M≠R，但 f（P）∪f（M）＝R．
首先证明 0∈P∪M．否则，若 0∉P∪M，则 0∉P，且 0∉M，
则 0∉f（P），且 0∉f（M），
即 0∉f（P）∪f（M），这与 f（P）∪f（M）＝R 矛盾．
若∃x0∉P∪M，且 x0≠0，则 x0∉P，且 x0∉M，
所以 x0∉f（P），且﹣x0∉f（M）．
因为 f（P）∪f（M）＝R，
所以﹣x0∈f（P），且 x0∈f（M）．
所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．
所以 f（﹣x0）＝﹣x0，且 f（﹣x0）＝﹣（﹣x0）＝x0，
根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即 x0＝0，这与 x0≠0 矛盾．
综上，该命题为真命题．
【点评】本题考查并集的求法，考查集合的求法，考查命题真假的判断与证明，考查并
集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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