上海市静安区2020届高三上学期第一次模拟考试（期末）数学试题（Word版有解析）.doc

静安区 2019 学年第一学期教学质量检测 高三数学试卷 2019.12 一、填空题：（本大题 12 小题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1.计算 _____. 【答案】1 【解析】 1 2.双曲线在单位圆中， 的圆心角所对的弧长为_____. 【答案】 【解析】 3.若直线 和直线 的倾斜角分别为 和 则 与 的夹角为_____. 【答案】 【解析】 4.若直线 的一个法向量为 ，则若直线 的斜率 _____. 【答案】 【解析】 ，则单位向量 ， 5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则 小时后， 个此种 细胞将分裂为_____个. 【答案】 【解析】 6.设 是等腰直角三角形，斜边 , 现将 （及其内部）绕斜边 所在的 直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____. 【答案】 lim(1 0.9 )n n→∞ − = lim(1 0.9 )n n→∞ − = 60 3 π 2 3l r π= = 1l 2l 32 152 1l 2l 60 180 152 32 60− + =    l (2,1)n = l k = 2− (2,1)n = ( 1,2)d = − 2 21k = = − 7 1 128 71 2 128× = ABC∆ 2AB = ABC∆ AB 2 3 π【解析】 7. 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 中 ， ， , 则 的 值 为 _____. 【答案】 【解析】 8.三倍角的正切公式为 _____. 【答案】 【解析】 . 9. 设集合 共有 6 个元素，用这全部的 6 个元素组成的不同矩阵的个数为________. 【答案】2880 【解析】4 种类型的矩阵 10. 现将函数 的反函数定义为正反割函数，记为： . 则 ________.（请保留两位小数） 【答案】1.82 【解析】 ， ，故可知 ， . 11. 设双曲线 的两个焦点为 ，点 在双曲线上，若 ，则点 到坐标原点 的距离的最小值为________. 【答案】 2 21 1 2( 2)3 3 3rπ π π= = ABCD 2AB = 1AD = AC BD⋅  -3 ( )( ) 1 4 -3AC BD AB AD AD AB⋅ = + − = − =      tan3α = 3 2 2tan tantan3 1 3tan α αα α −= − A 6 64 2880P = sec , (0, )y x x π= ∈ secy arc x= sec( 4)arc − = cosy 1= ∂ (0, )x π∈ 4cost 1 = − arccos( 1.824t 1∴ = − ≈） 2 2 2 x y a a − =1+1 2F1、F P 2PF PF1 ⊥ P O 3 2【解析】 , 时，可知 . 12. 设 我 们 可 以 证 明 对 数 的 运 算 性 质 如 下 ： .我们将 式称为 证明的“关键步骤”.则证明 （其中 ）的“关键步骤”为 ________. 【答案】 【解析】, , . 二、选择题 13. “三个实数 成等差数列”是“ ”的 （ ） .充分不必要条件 .必要不充分条件 .充要条件 .既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】因为三个实数 成等差数列”，所以 . 14. 设 ，若复数 是纯虚数，则点 一定满足 （ ） . . . . 【答案】 【解析】 ，并且 为纯虚数， 则 ， . 15.若展开 ，则展开式中 的系数等于 ( ) .在 中所有任取两个不同的数的乘积之和； 2 2c a a= + +1 1 2a = − min 3 2c = 0, , 0, 0a a M N> ≠1 > > ， log log log loga a a aM N M Na a a MN+ = = ，① log log loga a aMN M N∴ = + ① log logr a aM r M= 0,M r R> ∈ log logr a aM r M= log log( )a aM r Mr ra a M= = log logr a aM r M∴ = , ,a b c 2b a c= + A B C D C , ,a b c 2b a c= + ,x y R∈ x i y i + − ( , )p x y A y x= B y x 1= C y x= − D y x 1= − B 2 2 2 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) x x i y i xy x y i xy x y i y i y i y i y y y + + + −1+ + −1 += = = +− − + +1 +1 +1 1x y i + − 0xy −1= 1y x = ( )( 2)( 3)( 4)( 5)a a a a a+1 + + + + 3a A 2 3 4 51，，，，.在 中所有任取三个不同的数的乘积之和； .在 中所有任取四个不同的数的乘积之和； .以上结论都不对. 【答案】 【解析】由二项式定理可知展开式中 的系数等于在 中所有任取两个不同的数的 乘积之和. 16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东 方向，且 塔顶的仰角为 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶 1000 米后到达 处，此时测得塔底位于 北偏西 方向，则该塔的高度约为 （ ） .265 米 .279 米 .292 米 .306 米 【答案】 【解析】 米. 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17.（本题满分 12 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 如图，在正六棱锥 中，已知底边为 2，侧棱与底面所成角为 . （ ）求该六棱锥的体积 ；（ ）求证： 【答案】（ ）12；（ ）见解析. 【解析】（ ）连接 、 ，设交点为 ，连接 为正六棱锥 为正六边形 侧棱与底面所成角即 （2） 面 ， 面 底面为正六边形 1 2 1 2 1 B 2 3 4 51，，，， C 2 3 4 51，，，， D A 3a 2 3 4 51，，，， A 21 81  B 39 A B C D C 000sin5 sin 60 cos69 tan87 292.7281 1 ≈    P ABCDEF− 60° V PA CE⊥ BE AD O PO P ABCDEF− ABCDEF∴ PBO∠ 2 3PO∴ = 1 1 6 3 2 3 123 3V S h∴ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = PO ⊥ ABCDEF CE ⊂ ABCDEF PO CE∴ ⊥  AO CE∴ ⊥  AO PO O∩ = 面 面 18.（本题满分 14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分） 请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同. （ ）如图 1，要在一个半径为 1 米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 ，如何 截取？并求出这个最大矩形的面积. （ ）如图 2，要在一个长半轴为 2 米，短半轴为 1 米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大 的矩形 ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积. 图 1 图 2 【答案】（1）1（2）2 【解析】（1）设 ， 当且仅当 ，即 时等号成立 （3）椭圆方程为 设 当且仅当 ，即 时取得最大值 面积最大值为 2，此时 ， . 1 2 CE∴ ⊥ PAO  PA ⊂ PAO CE PA∴ ⊥ ABCD ABCD (0 1)OA x x= < < 1OD = 21AD x∴ = − 22 1S x x∴ = ⋅ − 2 2 2 1 11 2 2 x xx x  + −⋅ − ≤ =    21x x= − 2 2x = 12 12S∴ = ⋅ = 2 2 1(0 1)4 x y y+ = ≤ ≤ ( )(2cos ,sin ) 0,C θ θ θ π∈ 2 2cos sin 2sin 2S θ θ θ∴ = ⋅ ⋅ = sin 1θ = 4 πθ = 2OB = 2 2BC =19. （本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 设 是等差数列，公差为 ，前 项和为 . （1）设 ， ，求 的最大值. （2）设 ， ，数列 的前 项和为 ，且对任意的 ，都有 ，求 的取值范围. 【答案】（1）2020（2） 【解析】（1）有等差数列可知， ，由 ， 可知 = ， 由 可得， ，所以当 =100 或者 =101 时取得最大值，由公式可知 为 2020. （2）设 ，得 ，可知 为等比数列， 对任意的 ，都有 恒成立且 20. （本题满分 18 分，第 1 小题 5 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 7 分） 已知抛物 的准线方程为 .焦点为 . （1）求证：抛物线上任意一点 的坐标 都满足方程： （2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论； （3）设垂直于 轴的直线与抛物线交于 两点，求线段 的中点 的轨迹方程. 【答案】（1）见解析（2）关于 对称 。（3） （在抛物线内） 【解析】（1）根据定义得： 啊 （2）将 对称互换方程没有发生变化，若 在图像上 也在图像上，所以图像 }{ na d n nS 1 40a = 6 38a = nS 1 1a = *2 ( )na nb n N= ∈ }{ nb n nT *n N∈ 20nT ≤ d 2 9- ,log 10  ∞   1 ( 1)na a n d= + − ⋅ 1 40a = 6 38a = d 2- 5 240 ( 1) 05na n= − − ≥ 101n ≤ n n 1 ( 1)na d n= + − 12 2 (2 )na d d n nb −= = ⋅ }{ nb  *n N∈ 20nT ≤ 1 2lim 201 2 1 2n d d bT∴ = = ≤− − 2 1d < d∴ ∈ 2 9- ,log 10  ∞   Ι 02 =++ yx ( )1,1F P ( )yx, ;0882 22 =−−+− yxyxyx x BA、 AB M xy = 1,1- −≥≥ yx 4+= xy ( ) ( ) ⇒−+−=++ 22 11 2 2 yxyx ;0882 22 =−−+− yxyxyx yx, ( )yxP , ( )xyP ,'关于 对称， 同 （3）设 ， 所以中点的轨迹方程是 （在抛物线内） 21. （本题满分 18 分，第 1 小题 5 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 7 分） 现定义：设 是非零实常数，若对于任意的 ，都有 ，则称函数 为“关于的 偶型函数” （1）请以三角函数为例，写出一个“关于 2 的偶型函数”的解析式，并给予证明 （2）设定义域为的“关于的 偶型函数”在区间 上单调递增，求证在区间 上 单调递减 （3）设定义域为 的“关于 的偶型函数” 是奇函数，若 ，请猜测 的 值，并用数学归纳法证明你的结论 【答案】（1） 答案不唯一 （2）证明见解析 （3） 【解析】（1） 的 （2） .任取 啊因 为函数在 单调递增，所以 .所以函数在 上单 调递减 （3）猜测 数学归纳法： 1.当 时 因为 是奇函数，所以 得证 2.假设当 ， 成立，因为 ，又因为 奇函数所以 ，所以当 时， ， 所以得证。 xy = ( ) 100882 22 −≥⇒≥∆=−++− yyyxyx ， 1−≥x ( ) ( )2211 ,,, yxByxA ( )4, 0882 22 +⇒    =−−+− = ttM yxyxyx tx 4+= xy a Dx ∈ ( ) ( )xafxaf +=− ( )xfy = a a ( )a,-∞ ( )+∞,a R 2 1 ( )xfy = *Nn∈ ( )nf ( )2cos −= xy ( ) 0=nf ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxxfxxfxy +=−⇒=+−=−−= 22cos2),cos()2(2cos ， ( ) ( ) ( ) ( )xfxafxafxaf =−⇒+=− 2 ( ) ( )axaxaaxx ,22,, 2121 ∞−∈−>−+∞∈< ( )a,-∞ ( ) ( ) ( ) ( )2121 22 xfxfxafxaf >⇒−>− ( )+∞,a ( )xfy = 1=n ( ) ( )102 1 2 1 ffxfxf =⇒     +=     − ( )xfy = ( ) 01 =f ( )*Nkkn ∈= ( ) 0=kf ( ) ( )xfxfxfxf −=+⇒     +=     − 12 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxfxf −=+⇒−=− 1 ( )*1 Nkkn ∈+= ( ) ( ) 01 =−=+ kfkf