东莞市 2019—2020 学年度第一学期期末教学质量检查
高二数学
一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1． 在 中，内角 的对边分别为 ,且 ，则边
A． B． C． D．
2． 已知实数 满足 ，则目标函数 的最大值是
A． B． C． D．
3. 糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为 ，向糖水（不饱和）
中再加入 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为
A． B． C． D．
4． 已知双曲线 的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为
A． B． C． D．
5. 已知数列 是等差数列，且 ，则
A．3 B．4 C．7 D．8
6． 已知 为实数，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必
要条件
7. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为
难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意
为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天
的一半，走了 6 天后到达目的地”，则该人第 4 天走的路程为
A． 里 B． 里 C． 里 D． 里
8. 如图 1，已知三棱锥 ，点 分别是 的中点，点 为线段 上
一点，且 ，若记 ,则
A． B．
C． D．
9． 已知实数 且 ，则 的最大值为
ABC∆ A B C, , a b c, , 2, 45 , 120b B C= = ° = ° c =
2 3 2 6
yx,
0
0
2
x
y
x y
≥
≥
+ ≤
z x y= −
2 1 1− 2−
( )bc a ba
= >糖的质量 克
糖水的质量 克
m
b b m
a a m
+> +
b b m
a a m
+< +
b b m
a a
+> b b m
a a
+<
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
1
2y x= ± 2y x= ± 2y x= ± 3y x= ±
{ }na 3 13 650, 19a a a+ = = 2a =
ba, 0 2ab< < 2a b
<
96 48 24 12
O ABC− ,M N ,OA BC G MN
2MG GN= , ,OA a OB b OC c= = = OG =
1 1 1
3 3 3a b c+ + 1 1 1
3 3 6a b c+ +
1 1 1
6 3 3a b c+ + 1 1 1
6 6 3a b c+ +
0, 0,a b> > 1 2 2ba
+ = b
a
图 1
N
M
A C
B
O
GA． B． C． D．
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 为双曲线 上一点，直线
分别与以 为圆心、 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆相切于点
则
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分. 在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.请把正
确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
11. 四边形 内接于圆 ， ，下列结论正确的有
A．四边形 为梯形 B．圆 的直径为 7
C．四边形 的面积为 D． 的三边长度可以构成一个等差
数列
12. 我 们 通 常 称 离 心 率 为 的 椭 圆 为 “ 黄 金 椭 圆 ” . 如 图 2 ， 已 知 椭 圆
， 为顶点， 为焦点， 为椭圆上一点，
满足下列条件能使椭圆 为“黄金椭圆”的有
A． 为等比数列
B．
C． 轴，且
D．四边形 的内切圆过焦点
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卡的相应位置
上．
13. 抛物线 上的一点 到焦点的距离为 2，
则点 的纵坐标是 .
14. 如图 3，以长方体 的顶点 为坐标原点，
过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
若 的坐标为 ，则 的坐标为_________.
4
9
1
2
2
3
2
2
2 2
: 116 9
x yC − = 1F 2F P C
l 1F 1F P 2F 2F P ,A
,B | |AB =
2 7 6 8 10
ABCD O 5, 3, 60AB CD AD BCD= = = ∠ =
ABCD O
ABCD 55 3
4 ABD∆
5 1
2
−
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2 1 2, , ,A A B B 1 2,F F P
C
1 1 1 2 2 2| |,| |,| |A F F F F A
1 1 2 90F B A∠ = °
1PF x⊥ 2 1//PO A B
1 2 2 1A B A B 1 2,F F
2 1
2x y= M
M
1 1 1 1ABCD A B C D− D
D
1DB (2,3,4) 1AC
P 1B
y
1A
2B
1
F 2A2
F xO
图 2
B1A1
C1
B
D
x
y
z
A
C
D1
图 315. 已知命题“ 不等式 ”为真命题，则 的取值范围为 .
16. 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契
（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这
样一个数列： ……在数学上，斐波那契数列以如
下递推的方法定义： ， ， ，记其前 项和
为 ，设 （ 为常数），则 （用 表
示）， (用常数表示)．
四、解答题: 本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分，共 70 分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区
域内，超出指定区域的答案无效．
17. （本小题满分 10 分）
已知 .
（1）若 且 为真，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
18. （本小题满分 12 分）
已知等比数列 满足 ， ，数列 是首项为 公差为 的等差数
列.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
19. （本小题满分 12 分）
在 中，内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小.
（2）若 边上的中线 ，且 ,求 的周长.
20. （本小题满分 12 分）
如图 4，已知斜三棱柱 中， ， 在底面
上的射影恰为 的中点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得二面
角 的平面角为 ？若存在，确定
点 的位置；若不存在，请说明理由.
21. （本小题满分 12 分）
在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019 年 8 月 16 日上午，423 米
[1,3],x∀ ∈ 2 4 0x ax− + ≥ a
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
1 1a = 2 1a = *
1 2 ( 3, )n n na a a n n N− −= + ≥ ∈ n
nS 2019a t= t 2017 2016 2015 2014S S S S+ − − = t
2017 2019S a− =
2: 6 0,p x x− − ≥ ( )2 2: 2 1 0q x m x m m− + + + ≤
2,m = p q∧ x
q p m
{ }na 2 4a = 3 4 128a a = { }n na b 1 1
{ }na { }nb
{ }nb n nS
ABC∆ A B C, , a b c, , sin sin ( )sinb B a A b c C= − +
A
BC 2 3AD = 2 3ABCS∆ = ABC∆
1 1 1ABC A B C− 90 , 2BCA AC BC∠ = ° = = 1A
ABC AC D 1 3A D =
1 1A B AC⊥
1A B 1 1 1A B C
1C C M
1 1 1M A B C− − 90°
M
图 3
B1
C1
DA C
B
A1
图 3
B1
C1
DA C
B
A1
图 4
B1
C1
DA C
B
A1的东莞第一高楼民盈·国贸中心 2 号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后
一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷
新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出 134 米.”在同学们的惊叹中，
老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周
后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的
点测得国贸中心顶部的仰角为 ，正对国贸中心前进了 米后，到达 点，在 点测
得国贸中心顶部的仰角为 ，然后计算出国贸中心的高度（如图 5-1）.
第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢 11 层楼（与
国贸中心处于同一水平面，每层约 3 米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜
置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离
为 米；②正对国贸中心，将镜子前移 米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距
离为 米.然后计算出国贸中心的高度（如图 5-2）.
实际操作中，第一小组测得 米， ， ，最终算得国贸中心高
度为 ；第二小组测得 米， 米， 米，最终算得国贸中心高度
为 ；假设他们测量者的“眼高 ”都为 米.
（ 1 ） 请 你 用 所 学 知 识 帮 两 个 小 组 完 成 计 算 （ 参 考 数 据 ： ，
,答案保留整数结果）；
（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.
22. （本小题满分 12 分）
设圆 的圆心为 ，直线 l 过点 且与 x 轴不重合，l 交圆
于 两点，过点 作 的平行线交 于点 .
（1）证明 为定值,并写出点 的轨迹方程；
（2）设点 的轨迹为曲线 ，直线 与曲线 交于 两点，点 为椭圆
上一点， 若 是以 为底边的等腰三角形，求 面积的最小值.
2019—2020 学年度第一学期期末教学质量检查
A
α s B B
β
1a a
2a
90s = 42α = ° 48β = °
1H 1 1.45a = 12a = 2 1.4a =
2H h 1.6
tan 42 0.9° ≈
1tan 48 tan 42
° = °
2 2 2 15 0x y x+ − − = M ( 1,0)N −
M ,A B N AM BM C
CM CN+ C
C E 1 :l y kx= E ,P Q R C
PQR∆ PQ PQR∆
C
D
图 5-1 图 5-2
E
NM
F
TK Q
P高二数学参考答案及评分标准
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B A C D C C B B
二、多项选择题（全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分）
题号 11 12
答案 ACD BD
三、填空题（16 题第一空 2 分，第二空 3 分）
13. 14. 15. 16. ；
四、解答题
17. 解：（1） ： 得 或
-----------------------------------------------1 分
当 为真得
------------------------------------------------------------2 分
为真，即 都为真
-------------------------------------------------------------------------------------3 分
即
-----------------------------------------------------------------------------------------------4 分
所以 的取值范围为
-----------------------------------------------------------------------------------------5 分
（2） ，即
-------------------------------6 分
所 以 ， 即
--------------------------------------------------------------------7 分
因为 是 的充分不必要条件， 所以
----------------------------8分
所以 或
-----------------------------------------------------------------------------------------9分
综上： 是 的充分不必要条件时， 的取值范围为
-------------------------10分
18. 解（1）因为数列 是等比数列，故设首项为 ，公比
因为 ， 所以 ，
----------------------------------------------------2 分
所以 ，解得 ，所以
---------------------------------------------------------------------3 分
所以数列 的通项公式为
-------------------------------------------------------------------------4 分
因为 是首项为 公差为 的等差数列
所以
15
8
( 2,3,4)− ( ,4]−∞ t 1−
p ( 3)( 2) 0x x− + ≥ 2x ≤ − 3x ≥
2,m = :q 2 5 6 0x x− + ≤ 2 3x≤ ≤
p q∧ ,p q
2 3
2 3
x x
x
≤ − ≥
≤ ≤
或
x {3}
( )2 2: 2 1 0q x m x m m− + + + ≤ ( )( ): 1 0q x m x m− − − ≤
: 1q m x m≤ ≤ + :[ , 1]q m m +
q p [ , 1]m m + ( , 2] [3, )−∞ − +∞
1 2m + ≤ − 3m ≥
q p m ( , 3] [3, )−∞ − +∞
{ }na 1a q
2 4a = 3 4 128a a = 2
2 2 128a q a q =
3 8q = 2q = 1 2a =
{ }na 2n
na =
{ }nna b 1 1
1 ( 1)n nb na n= + − =
⊂≠----------------------------------------------------------------------------------5 分
因为 ，所以 ------------------------------------------------------------------------6
分
（2）由（1）知 ----------------------------------------7
分
同乘 得： ----------------------------------8
分
作差得： -----------------------------------9
分
即
--------------------------------------11 分
所以
-----------------------------------------------------------------------------12 分
19.解：（1）由已知
由 正 弦 定 理 得 ：
-------------------------------------------------------------------------2 分
由 余 弦 定 理 得 ：
------------------------------------------------------------4 分
在 中，因为 ,所以 --------------------------------------------------6
分
（2）方法一：由 ，得 ① --------7
分
由（1）知 ，即 ② ---------------------8
分
在 中，由余弦定理得：
在 中，由余弦定理得：
因为 ，所以 ③ ---------------10 分
由①②③，得
所以 --------------11
分
所以 的周长 . ---------------------------12
分
2n
na =
2n n
nb =
2 31 1 1 11 2 ( ) 3 ( ) ( )2 2 2 2
n
nS n= + + + +
1
2
2 3 4 +11 1 1 1 11 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( )2 2 2 2 2
n
nS n= + + + +
2 3 +11 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
n n
nS n= + + + + −
+1 +11 1 1 11 ( ) ( ) 1 ( 1)( )2 2 2 2 2
n n n
n
nS n= − − = − +
22 2n n
nS
+= −
sin sin ( )sinb B a A b c C= − +
2 2 2b a bc c= − −
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= = −
ABC∆ (0, )A π∈ 2
3A
π=
1 3sin 2 32 4ABCS bc A bc∆ = = = 8bc =
2 2 2b a bc c= − − 2 2 2 8b c a+ = −
ABD∆ 2 2 2( ) (2 3) 2 2 3 cos2 2
a ac ADB= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠
ADC∆ 2 2 2( ) (2 3) 2 2 3 cos2 2
a ab ADC= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠
cos cosADB ADC∠ = − ∠
2
2 2 242
ab c+ = +
2 28, 56, 8a b c bc= + = =
2 2 2( ) 2 72 6 2b c b c b c bc+ = + = + + = =
ABC∆ 8 6 2a b c+ + = +
DB
A
C方法二： 得 ① ----------------------------7
分
由（1）知 ② ----------------------------8
分
得 ③ ----------------------------9
分
由 ① ② ③ 得 ， ---------------------------11
分
所以 的周长 --------------------------12
分
方法三： 得 ① ----------------------------7
分
由（1）知 ② ----------------------------8
分
延长 到 ,使
在 中 , ,
余弦定理得 ，即 ③ -------------------9 分
由 ① ② ③ 得 ， ---------------------------11
分
所以 的周长 --------------------------12
分
20.证明：（1）方法一：作 交 于点 ，分别以 所在直线为
轴建系
------------------------2 分
所以， ------------------------3 分
，所以 ------------------------4 分
方法二：在 中， 得
所以四边形 为菱形，得 ------------------------1 分
又 , , ,所以
-----------2 分
因为 ，所以 ------------------------3 分
又因为
所以 ,因为 ,所以 ------------------------4 分
（2）方法一：因为 ，所以面 的一个法向量为 ---5 分
因为 ，所以 ，
-----------------------6 分
设线 与平面 所成角为 ， ---------------------7 分
1 sin 2 3,2ABCS bc A∆ = = 8bc =
2 2 2 8b c a+ = −
2 21 ( )4AD AB AC= + 2 2 248 ( ) 3b c bc b c bc= + − = + −
6 2b c+ = 8a =
ABC∆ 8 6 2a b c+ + = +
1 sin 2 3,2ABCS bc A∆ = = 8bc =
2 2 2 8b c a+ = −
AD E 2AE AD=
ABE∆ 60ABE∠ = 2 4 3AE AD= =
2 2 22 cos60 (4 3)b c bc+ − = 2 2 48b c bc+ − =
6 2b c+ = 8a =
ABC∆ 8 6 2a b c+ + = +
DE AC⊥ AB E 1, ,DE DC DA , ,x y z
1 1(0, 1,0), (0,1,0), (2,1,0), (0,0, 3), (0,2, 3)A C B A C−
1 1(2,1, 3), (0,3, 3)A B AC= − =
1 1 0 3 3 0A B AC⋅ = + − =
1 1A B AC⊥
1Rt ADA∆ 11, 3AD A D= = 1 12, 60AA A AD= ∠ =
1 1ACC A 1 1AC AC⊥
BC AC⊥ 1BC A D⊥ 1 1, ,AC A D D AC A D= ⊂ 1 1ACC A面 1 1BC ACC A⊥ 面
1AC 1 1ACC A⊂ 面 1AC BC⊥
1 1, ,AC BC C AC BC= ⊂ 1A BC面
1 1AC A BC⊥ 面 1 1A B A BC⊂ 面 1 1A B AC⊥
1 1 1 //A B C ABC面 面 1 1 1A B C (0,0,1)m =
1 (2,1, 3)A B = −
1 3A B m⋅ = −
1| | 4 1 3 2 2A B = + + =
1
3 6cos , 41 2 2
A B m
−< >= = −
×
1A B 1 1 1A B C α 1
6sin | cos , | 4A B mα = < > =
E
D
A
B CE
B1
C1
DA C
B
x
z
y
A1
M
N
E
B1
C1
DA C
B
x
z
y
A1
M
方法二：因为 ，所以线 与平面 所成的角等于 与面
所成的角，所以 即为所要求. ----------5 分
在 中， ， ,
----------6 分
线 与平面 所成角的正弦值为 ---------------------7 分
（3）方法一：不存在，设 ，（ ）
, ------8 分
设面 的一个法向量为
有
------------------------10 分
，得 ------------------------11 分
所以不存在点 满足要求. （只猜想不存在也给分） -----------------12 分
方法二： ------------------------8 分
与面 的交点 为 与 的交点 ------10 分
且 ------------------------11 分
所以在线段 上不存在点 满足要求. ----------------12 分
21. 解：（1）第一小组：在 中得， ；在 中得，
----1 分
因 为 即
--------------------------------------------------------------------2 分
得 米
----------------------------------------------------------3 分
米 （ 也 给 分 ）
----------------------------------------------------------4 分
第 二 小 组 ： , 得
----------------------------------------------5 分
同 理 得 ，
--------------------------------------------------6 分
1 1 1 //A B C ABC面 面 1A B 1 1 1A B C 1A B ABC
1A BD∠
1Rt A BD∆ 1 3A D = 1 2 2A B =
1
3 6sin 42 2
A BD∠ = =
1A B 1 1 1A B C 6
4
1 (0, , 3 )CM CCλ λ λ= = 0 1λ≤ ≤
1 1= (2,2,0)A B AB =
1 1 (0, 1, 3 3)A M AC CM λ λ= + = + −
1 1MA B ( , , )n x y z=
1 1
1
0
0
A B n
A M n
= =
2 2 0
( 1)( 1) ( 3 3) 0 3 3
x yx y
yzy z
λλ λ λ
= −+ = ⇒ ⇒ + = −+ + − = −
1(1, 1, )
3 3
n
λ
λ
+= −
−
1 0
3 3
m n
λ
λ
+⋅ = =
−
1λ = −
M
1 1 1 1 1A B D A B C⊥面 面
1CC 1 1A B D N 1CC 1A D
1
1
2
NC
NC
=
1CC M
Rt BCD∆
tan
CDBC β= Rt ACD∆
tan
CDAC α=
AC BC s− =
tan tan
CD CD sα β− =
tan tan
tan tan
sCD
α β
β α
⋅= −
90 426.31 0.90.9
≈ ≈
−
1 426.3 1.6 428H = + ≈ 429 430，
MKE PQE∆ ∆ 1a PQPQ KEEQ MK h
⋅⋅= =
NTF PQF∆ ∆ 2a PQPQ TFFQ TF h
⋅⋅= =因 为 得
---------------------------------------------------------------7 分
所 以 = 米
--------------------------------------------------------------8 分
所 以 米
------------------------------------------------------------------------------9 分
（2）说明其中一个方案的 1 个优点给 1 分，2 个优点给 2 分，3 个优点给 3 分；说明另一个
方案的 1 个不足给 1 分，2 个不足给 2 分，3 个不足给 3 分.（以下作为参考，言之有理，酌
情给分，给到 3 分为止）
第一组方案
优点：①测量方法较好理解，普适性强；②计算思路简洁；
不足：① 的距离较长，测量要求高，难度大；②角度测量较难精准，容易造成误差；③
场地要求较高；
第二组方案
优点：①测量方法有创意（用到镜面成像和相似三角形）；②相对距离短，比较好测量；③
只需测量距离，需要的工具少；
不足：①两次放镜子相对距离太短，容易造成误差；②镜面放置较难保持水平，容易造成误
差；③如果镜面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，易造成误
差；④人与镜子的距离差值较小，测量容易造成误差.
22.解：（1） 圆 可化为
所以圆心 ，半径 ----------------------------1
分
又因为过点 作 的平行线交 于点 所以
又 因 为 所 以 所 以
-----------------------3 分
所以 ---------------------------4
分
所 以 点 的 轨 迹 为 椭 圆 , 由 椭 圆 定 义 可 得 点 的 轨 迹 方 程 为 （ ）
------------6 分
（2）由（1）可知点 的轨迹方程为： （ ），
直线 与曲线 交于 两点, 可知 ，设
联 立 消 得 解 得
---------------------------7 分
---------------------------8 分
是以 为底的等腰三角形 则
EQ FQ a− = 1 2( )a a PQ ah
− ⋅ =
1 2
ahPQ a a
= −
12 1.6
1.45 1.4
×
− 384=
2 3 11 417H PQ= + × =
AB
2 2 2 15 0x y x+ − − = 2 2( 1) 16x y− + =
(1,0)M 4MB =
N AM BM C / /AM NC
| | | |MA MB= BNC BAM NBC∠ = ∠ = ∠ | | | |CN CB=
| | 4 2CM CN CM CB MB MN+ = + = = > =
C C 134
22
=+ yx 0≠y
C 134
22
=+ yx 0≠y
1 :l y kx= C ,P Q 0k ≠ 1 1( , )P x y
2 2
14 3
y kx
x y
= + =
y 2 2(3 4 ) 12k x+ =
2
1 2
2
2
1 2
12
3 4
12
3 4
= +
= +
x k
ky k
2 2
2 2
1 1 2 2 2
12 12 12(1 )
3 4 3 4 3 4
k kOP x y k k k
+= + = + =+ + +
PQR∆ PQ RO PQ∴ ⊥ 1RO PQk k∴ = −
1
ROk k
= −同理： ---------------------------9
分
----------10 分
方 法 1 ：
-------------------------11 分
当且仅当 ，即 时取等号
-------12 分
方 法 2 ：
-------------------------11 分
当且仅当 ，即 时取等号
-------12 分
2
2
2
2
112(1 ( ) ) 12(1 )| | 1 3 43 4( )
kkOR k
k
+ − += = ++ −
1 | | | |2RPQS PQ OR∆∴ =
2 2
2 2
1 12(1 ) 12(1 )22 3 4 3 4
+ += + +
k k
k k
2
2 2
12(1 )
(3 4 )(4 3 )
k
k k
+=
+ +
2 2
2 2 2
273 4 4 32 2
22
12(1 ) 12(1 ) 12(1 ) 24
(1 ) 7(3 4 )(4 3 )RPQ k k
k k kS kk k
∆ + + +
+ + += ≥ = =++ +
2 23 4 4 3k k+ = + 1= ±k
min
24( ) 7RPQS∆∴ =
2 4 2 4 2
4 2 4 2 22 2
12(1 ) 2 1 2 112 1212 25 12 12( 2 1)(3 4 )(4 3 )RPQ
k k k k kS k k k k kk k
∆
+ + + + += = =+ + + + ++ +
2
4 2 2
2
1
12 1 2
1 12 12 2412 712 112 12 4
k
k k k
k
+ + + +
= = ≥ =+ + +
2
2
1k k
= 1= ±k
min
24( ) 7RPQS∆∴ =
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