化州市 2020 年高考第二次模拟考试
理科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．设全集 U＝R，集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|log2x＜1}，则 A∩（∁UB）＝（ ）
A．{1，2} B．{﹣1，0，2} C．{2} D．{﹣1，0}
2．设复数，则 f（z）＝（ ）
A．i B．﹣i C．﹣1+i D．1+i
3．“∀x∈R，x2﹣bx+1＞0 成立”是“b∈[0，1]”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数的最小正周期为 4π，则（ ）
A．函数 f（x）的图象关于原点对称
B．函数 f（x）的图象关于直线对称
C．函数 f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称
D．函数 f（x）在区间（0，π）上单调递增
5．当实数 x、y 满足不等式组时，恒有 ax+y≤3 成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．0≤a≤2 D．a≤3
6．函数 f（x）＝a（a＞1）的部分图象大致是（ ）
7．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六
艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六
场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每
场知识竞赛前三名的得分都分别为 a，b，c（a＞b＞c，且 a，b，c∈N*）；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为 26 分，乙和丙最后得分都为 11 分，
且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛第一名得分 a 为 4
B．甲可能有一场比赛获得第二名
C．乙有四场比赛获得第三名
D．丙可能有一场比赛获得第一名
8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．8 B． C．4 D．
9．在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，若 S△ABC＝2，a+b＝6，2cosC，
则
c＝（ ）
A．2 B．4 C．2 D．3
10．双曲线 C：1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO|＝|PF|，
则△PFO 的面积为（ ）
A． B． C．2 D．3
11．若（x1）n 的展开式中各项的系数之和为 81，则分别在区间[0，π]和[0，]内任取两个实
数 x，y，满足 y＞sinx 的概率为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．
12．定义：如果函数 y＝f（x）在区间[a，b]上存在 x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足 f′（x1），f′
（x2），则称函数 y＝f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，已知函数 f（x）＝x3x2 是
区间[0，t]上的双中值函数，则实数 t 的取值范围是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（1，）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．已知向量（3，4），则与反向的单位向量为 14 ．设△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若△ABC 的面积为，则 C
＝ ．
15．已知曲线 f（x）x3 在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为 α，则的值为 ．
16．已知两个集合 A，B，满足 B⊆A．若对任意的 x∈A，存在 ai，aj∈B（i≠j），使得 x＝λ1ai+λ2aj
（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），则称 B 为 A 的一个基集．若 A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，
9，10}，则其基集 B 元素个数的最小值是 ．
三、解答題：本大题共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：
共 60 分
17．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a4＝9，S3＝15．
（1）求 Sn；
（2）设数列的前 n 项和为 Tn，证明：．
18．如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝A1D，AB＝BC，∠ABC＝120°．
（1）证明：AD⊥BA1；
（2）若平面 ADD1A1⊥平面 ABCD，且 A1D＝AB，求直线 BA1 与平面 A1B1CD 所成角的
正弦值．
19．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方
式之一．为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机
抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和
仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：
（0，1000] （1000，2000] 大于 2000
仅使用 A 18 人 9 人 3 人仅使用 B 10 人 14 人 1 人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月
支付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 A 的学生中，
随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元．根据抽查结果，能否认为样本
仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由．
20．已知直线 x＝﹣2 上有一动点 Q，过点 Q 作直线 l，垂直于 y 轴，动点 P 在 l1 上，且满
足（O 为坐标原点），记点 P 的轨迹为 C．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）已知定点 M（，0），N（，0），点 A 为曲线 C 上一点，直线 AM 交曲线 C 于另一点
B，且点 A 在线段 MB 上，直线 AN 交曲线 C 于另一点 D，求△MBD 的内切圆半径 r 的
取值范围．
21．已知函数 f（x）＝（kx﹣1）ex﹣k（x﹣1）．
（1）若 f（x）在 x＝x0 处的切线斜率与 k 无关求 x0；
（2）若∃x∈R，使得 f（x）＜0 成立，求整数 k 的最大值．
（二）选做题：共 10 分请考生在第（22）题和第（23）题中任选一题作答，作答时请在答
题卡的对应答题区写上題号，并用 2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑
22．.[选修 4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线 C 1 的参数方程为（θ 为参
数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程
为 ρ＝4cosθ．
（1）求曲线 C1 的极坐标方程；
（2）射线 θ（ρ≥0）与曲线 C1，C2 分别交于 A，B 两点（异于原点 O），定点（M（2，
0），求△MAB 的面积．
23．[选修 4-5：不等式选讲]
设函数 f（x）＝|x﹣2|﹣|x+3|．
（1）求不等式 f（x）＜3 的解集；
（2）若不等式 f（x）＜3+a 对任意 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围．一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．B
2．A
3．B
4．C
5．D
6．C
7．C
8．D
9．
10．A
11．B
12．A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．
14．．
15．．
16．若基集 B 的元素个数为 1，显然不合题意；
若基集 B 的元素个数为 2，不妨设为 a，b，且 a＞b，则所有的可能组合为 a，b，a+b，
a﹣b，显然不合题意；
若基集 B 的元素个数为 3，不妨设为 a，b，c，且 a＞b＞c，
则所有的可能组合为 a，b，c，a+b，a+c，b+c，a﹣b，a﹣c，b﹣c，共 9 中情况，显然
不合题意；
若基集 B 的元素个数为 4，不妨令 B＝{1，2，4，8}，此时对任意的 x∈A，存在 ai，aj∈
B（i≠j），
使得 x＝λ1ai+λ2aj（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），
所以基集 B 的元素个数最小值为 4．
三、解答題：本大题共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共 60 分
17．（1）解：S3＝3a2＝15⇒a2＝5，∴，
∴an＝2n+1，；
（2）证明：
．．
18．证明：（1）取 AD 中点 O，连接 OB，OA1，BD，
∵AA1＝A1D，∴AD⊥OA1，
又∠ABC＝120°，AD＝AB，∴△ABD 是等边三角形，
∴AD⊥OB，∴AD⊥平面 A1OB，
∵A1B⊂平面 A1OB，∴AD⊥A1B．
解：（2）∵平面 ADD1A1⊥平面 ABCD，
平面 ADD1A1∩平面 ABCD＝AD，
又 A1O⊥AD，∴A1O⊥平面 ABCD，∴OA、OA1、OB 两两垂直，
以 O 为坐标原点，分别以 OA、OB、OA1 所在射线为 x、y、z 轴建立如图空间直角坐标
系 O﹣xyz，
设 AB＝AD＝A1D＝2，则 A（1，0，0），，D（﹣1，0，0），．
则，，
设平面 A1B1CD 的法向量
则令，则 y＝1，z＝﹣1，可取
设直线 BA1 与平面 A1B1CD 所成角为 θ，
则．
∴直线 BA1 与平面 A1B1CD 所成角的正弦值为．19．（Ⅰ）由题意得：
从全校所有学生中随机抽取的 100 人中，
A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，
仅使用 A 的有 30 人，仅使用 B 的有 25 人，
∴A，B 两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，
∴从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率
p0.4．
（Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月
支付金额大于 1000 元的人数，
则 X 的可能取值为 0，1，2，
样本仅使用 A 的学生有 30 人，其中支付金额在（0，1000]的有 18 人，超过 1000 元的有
12 人，
样本仅使用 B 的学生有 25 人，其中支付金额在（0，1000]的有 10 人，超过 1000 元的有
15 人，
P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2），
∴X 的分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望 E（X）1．
（Ⅲ）不能认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化，
理由如下：
从样本仅使用 A 的学生有 30 人，其中 27 人月支付金额不大于 2000 元，有 3 人月支付金
额大于 2000 元，
随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元的概率为 p，
虽然概率较小，但发生的可能性为．
故不能认为认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化．
20．（1）设点 P（x，y），则 Q（﹣2，y），∴、，∵，所以，，即 y2＝2x．
因此，点 P 的轨迹方程为 y2＝2x；
（2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2）、D（x3，y3），直线 BD 与 x 轴的交点为 E，内切圆与 AB
切于点 T，
设直线 AM 的方程为，联立方程，得，
∴，且 0＜x1＜x2，∴，所以，直线 AN 的方程为，
与方程 y2＝2x 联立得：，化简得，
解得或 x＝x1，∵，∴BD⊥x 轴，
设△MBD 的内切圆圆心为 H，则 H 在 x 轴上，且 HT⊥AB．
方法一：∴，且△MBD 的周长为：
∴
∴；
方法二：设 H（x2﹣r，0），直线 BD 的方程为 x＝x2，其中．
直线 AM 的方程为：，即，且点 H 与点 O 在直线 AB 的同侧，
∴，解得：．
方法三：∵△MTH∽△MEB，∴，即，
解得：，
令，则 t＞1，∴在（1，+∞）上单调递增，则，
即 r 的取值范围是．
21．（1）∵f（x）＝（kx﹣1）ex﹣k（x﹣1），
∴f′（x）＝（kx+k﹣1）ex﹣k＝k[（x+1）ex﹣1]﹣ex，
由已知得，，
令 g（x）＝（x+1）ex﹣1，则 g′（x）＝（x+2）ex，
当 x∈（﹣∞，﹣2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∵x＜﹣2，∴x+1＜﹣1，则（x+1）ex﹣1＜0，因此 g（x）＜0；
当 x∈（﹣2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
又 g（0）＝0，∴g（x）有唯一零点，故 x0＝0；
（2）f（x）＜0，即（kx﹣1）ex﹣k（x﹣1）＜0，
∴k（xex﹣x+1）＜ex，当 x≥0 时，∵ex﹣1≥0，∴x（ex﹣1）+1＞0，
当 x＜0 时，∵ex﹣1＜0，∴x（ex﹣1）+1＞0，
∴x（ex﹣1）+1＞0，
则 k（xex﹣x+1）＜ex⇔k．
设 h（x），则 k＜h（x）max．
又 h′（x），令 φ（x）＝2﹣ex﹣x，
则 φ′（x）＝﹣ex﹣1＜0，φ（x）在 R 上单调递减，
又 φ（0）＞0，φ（1）＜0，∴∃x0∈（0，1），使得 φ（x0）＝0，
即，
当 x∈（﹣∞，x0）时，φ（x）＞0，即 h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当 x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0，即 h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∴h（x）max．
令 t＝x0﹣2（﹣2＜t＜﹣1），则 y＝t∈（），
则 h（x）max∈（1，2），故整数 k 的最大值为 1．
22．（1）解：曲线 C1 直角坐标方程为：x2+y2﹣4y＝0，
由 ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y 得：
曲线 C1 极坐标方程为 ρ＝4sinθ，
（2）法一：
解：M 到射线 θ 的距离为 d＝2sin，
|AB|＝ρB﹣ρA＝4（sincos）＝2（1）
则 S△MAB|AB|×d＝3．
法二：
解：将 θ（ρ≥0）化为普通方程为 yx（x≥0），
∵曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ，即 ρ2＝4ρcosθ，
由 ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x 得：
曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2﹣4x＝0，
由得∴A（，3）
得∴B（1，），
，点 M 到直线，
∴．
23．（1）由已知得|x﹣2|﹣|x+3|＜3，
当 x≤﹣3 时 2﹣x+x+3＜3 解集为空集；
当﹣3＜x＜2 时 2﹣x﹣（x+3）＜3 解得﹣2＜x＜2；
当 x≥2 时 x﹣2﹣（x+3）＜3 解得 x≥2；
故所求不等式的解集为（﹣2，+∞）．
（2）不等式 f（x）＜3+a 等价于|x﹣2|﹣|x+3|＜a+3，
∵|x﹣2|﹣|x+3|≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，
∴a+3＞5，
∴a＞2．
微信/支付宝扫码支付