株洲市 7 校 2019-2020 学年第一学期期末高一联考
数学试题
班级： 姓名： 准考证号：
（总分：150 分 时量：120 分钟；考试时间：2020 年 1 月 6 日）
由市一中·市四中·市八中·市十三中·市九方中学·渌口五中·渌口一中 联合命题
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 M＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N＝{﹣2，2}，则下列结论成立的是（ ）[
A．M⊆N B．M∪N＝M C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}
2．函数的定义域为（ ）
A．[﹣1，2）∪（2，+∞） B．（﹣1，2）∪（2，+∞）
C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，+∞）
3．倾斜角为 45°的直线 l 经过两点（m，2）和（2m+2，3m），则 m 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知函数 y＝f（x）的对应关系如表，函数 y＝g（x）的图象是如图的曲线 ABC，其中 A
（1，3），B（2，1），C（3，0），则 f[g（1）]的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
5．圆 C1：x2+y2＝4 和 C2：（x﹣3）2+（y+4）2＝49 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
6．若 0＜x＜y＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．logx3＜logxy
7．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y＝1﹣x2 B．y＝x3 C．y＝|x|+1 D．y＝lnx
8．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）
A．AB∥CD B．AB 与 CD 相交
C．AB⊥CD D．AB 与 CD 所成的角为 60°
9．函数的零点所在区间为（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
10．《九章算术》卷 5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔（dǎo），周四丈八尺，高一丈﹣尺，
文积几何？意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为 4 丈 8 尺，高 1 丈 1 尺，问它
的体积是（ ）立方尺．（取 π＝3，1 丈＝10 尺）
A．2112 B．2111 C．4224 D．4222
11．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 AB⊥AC，AA1＝BC＝5．M 是 BC 中点，则直线 A1M
与平面 ABC 所成角的正切值为（ ）
A． B．2 C． D．3
12．已知函数，若 a、b、c 互不相等，且 f（a）＝f（b）＝f（c），则 abc 的取值范围是（ ）
A．（5，10） B．（5，8） C．（6，8） D．（8，10）
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．计算 log23+log26﹣log29＝ ．
14．若直线 x+2y+1＝0 与直线 ax+y﹣1＝0 互相平行，则实数 a 的值为 ．
15．已知 f（x）＝2x+2﹣x，若 f（a）＝3，则 f（2a）＝ ．
16．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 4cm，将一个球放在容器口，
再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 3cm，如果不计容器的厚度，则球
的表面积为 ．三、解答题（共 6 个小题，第 17 题 10 分，其它每小题 10 分，共 70 分）
17．已知两条直线 l1：x+2y﹣6＝0 和 l2：x﹣2y+2＝0 的交点为 P．求：
（1）过点 P 与 Q（1，4）的直线方程；
（2）过点 P 且与直线 x﹣3y﹣1＝0 垂直的直线方程．
18．已知函数（a∈R）．
（1）若函数 f（x）为奇函数，求实数 a 的值；
（2）判断并用定义证明函数 f（x）的单调性．
19．已知圆 C 的圆心为（1，1），直线 x+y﹣4＝0 与圆 C 相切．
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）若直线 l 过点（2，3），且被圆 C 所截得弦长为 2，求直线 l 的方程．
20．在底面为平行四边形的四棱锥 P﹣ABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，点 E 是 PD
的中点．
（1）求证：PB∥平面 AEC；
（2）求证：平面 EAC⊥平面 PAB．
21．中美贸易争端一直不断，2003 年至 2005 年末，由美国单方面挑起的一系列贸易摩擦给
中美贸易关系蒙上了浓重的阴影，贸易大战似乎一触即发，中美两国进入了前所未有的
贸易摩擦期．2018 年，特朗普政府不顾中方劝阻，执意发动贸易战，掀起了又一轮的中
美贸易争端．我国某种出口商品定价为每件 60 美元，美国不加收关税时每年大约出口 80
万件，中美经贸摩擦后，美国政府执意要加收进口关税，每进口 100 美元商品要征税 P
美元，因此每年出口量将减少万件．（1）如果美国政府计划每年对该商品加征的关税金额不少于 128 万美元，那么税率应怎
样确定？
（2）在美国政府计划每年对该商品加征关税金额不少于 128 万美元的前提下，如何确定
税率，才会使得我国生产该商品的厂家税后获取最大的出口额．
22．定义在 D 上的函数 f（x）如果满足：对任意 x∈D，存在常数 M≥0，都有|f（x）|≤M 成
立，则称 f（x）是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 f（x）的一个上界．已知函数，．
（1）求函数 f（x）在区间上的所有上界构成的集合；
（2）若函数 g（x）在 [0，+∞）上是以 7 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围．一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．D
2．B
3．C
4．A
5．C
6．D
7．C
8．D
9．B
10．A
11．B
12．D
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．1．
14． ．
15． 7．
16．由题意得正方体上底面到水面的高为 4﹣3＝1，设球体的半径为 R，
由题意如图所示：三角形 OAA'为 Rt△，A 为球与正方体的交点，
则 OA'＝R﹣1，AA'2，OA＝R，
所以：R2＝（R﹣1）2+22，解得 R，
所以球的表面积 S＝4πR2＝25π，
三、解答题（共 6 个小题，第 17 题 10 分，其它每小题 10 分，共 70 分）17．设过直线 l1：x+2y﹣6＝0 和 l2： x﹣2y+2＝0 交点的直线方程为
x+2y﹣6+m（x﹣2y+2）＝0，
即（m+1）x+（2﹣2m）y+（2m﹣6）＝0（*）；
（1）把点 Q（1，4）代入方程（*），化简得 3﹣5m＝0，解得 m；
所以过两直线交点 P 与 Q 的直线方程为 xy0，
即 2x+y+6＝0；
（2）由直线（*）与直线 x﹣3y﹣1＝0 垂直，则
（m+1）﹣3（2﹣2m）＝0，解得 m，
所以所求直线的方程为 xy0，
即 3x+y﹣8＝0．
18．（1）由奇函数的性质 f（x）+f（﹣x）＝0，得，解得 a＝1
（2）函数 y＝2x 单调递增，易判断 f（x）在定义域 R 上单调递增，证明如下：
任取 x1＜x2∈R，，∵x1＜x2∈R
∴
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x）在定义域 R 上单调递增
19．（1）圆心 C（1，1）到直线 x+y﹣4＝0 的距离 d．
∵直线 x+y﹣4＝0 与圆 C 相切，∴r＝d．
∴圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
（3）①当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程：y﹣3＝k（x﹣2），
即：kx﹣y+3﹣2k＝0，d，又 d2+1＝2，∴d＝1．
解得：k．
∴直线 l 的方程为：3x﹣4y+6＝0．
②当 l 的斜率不存在时，x＝2，代入圆的方程可得：（y﹣1）2＝1，解得 y＝1±1，可得
弦长＝2，满足条件．
故 l 的方程为：3x﹣4y+6＝0 或 x＝2．
20．证明：（1）如图所示，连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF，
在△DPB 中，EF 为中位线，
∴EF∥PB；
又 PB⊄平面 EAC，EF⊂平面 EAC，
∴PB∥平面 AEC；
（2）∵PA⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，
∴PA⊥AC；
又 AB⊥AC，PA∩AB＝A，
∴AC⊥平面 PAB；
又 AC⊂平面 EAC，
∴平面 EAC⊥平面 PAB．
21．（1）总出口量为（80）件，商品总价格为：单价×总出口量＝60×（80），
加征关税为：总价格×关税率＝60×（80）•128，化简得 P2﹣12P+32≤0，解之得 4≤P≤8，
故美国政府计划每年对该商品加征的关税金额不少于 128 万美元，税率为 4≤P≤8．
（2）商品总价格为：单价×总出口量＝60×（80），
每进口 100 美元商品美国要征税 P 美元，即每进口 100 美元商品中国浇水后剩余 100﹣P
美元，税后出口额为 60×（80）（1）＝P2﹣448P+4800 万美元，
因为 4≤P≤8，
所以当 P＝4 时，我国生产该商品的厂家税后获取最大的出口额．
22．（1），
由复合函数的单调性法则易知，函数 f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴函数在区间上单调递增，
∴函数 f（x）在区间上的值域为[﹣3，﹣1]，
∴|f（x）|≤3，
∴函数 f（x）在区间上的所有上界构成的集合为[3，+∞）；
（2）由题意知，|g（x）|≤7 在[0，+∞）上恒成立，即﹣7≤g（x）≤7，则，∴在[0，+∞）上恒成立，
设 2x＝t（t≥1），，
易知，q（t）在[1，+∞）上为增函数，故 q（t）min＝q（1）＝5；
由知，当 t∈[1，+∞）时，p′（t）＜0，p（t）为减函数，故 p（t）max＝p（1）＝﹣9，
综上，实数 a 的取值范围为[﹣9，5]．
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