江西省南昌市第二中学2019-2020高一上学期期末考试数学试题（Word版附答案）.doc

南昌二中 2019—2020 学年度上学期期末考试 高一数学试卷 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．若集合 ，集合 ，则集合 （ ） A． B． C． D． 2． 是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．已知下列各式： ① ； ② ③ ④ 其中结果为零向量的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数 则 ( ) A． B． C． D． 5．下列命题正确的是（ ） A．单位向量都相等 B．若 与 共线， 与 共线，则 与 共 线 C．若 与 是相反向量，则| |=| | D． 与 （ ）的方向相反 6． （ ） A． B． C． D． 7．已知奇函数 在 上单调递减,且 ，则不等式 的解集是 （ ） 1{ 1,0, ,1,2}2A = − { | 2 , }xB y y x A= = ∈ A B = 1{ 1, ,1,2}2 − { 10, ,12 } {1 ,1,22 } { 1,0 },1− 19 6 π AB BC CA+ +   AB MB BO OM+ + +    AB AC BD CD− + −    OA OC BO CO+ + +    ( ) sin , 0,6 2 1, 0.x x xf x x ππ  + >  =    + ≤ ( ) ( )2 1f f+ − = 6 3 2 + 2 5 2 7 2 a b b c a c a b a b a aλ−  Rλ ∈ cos160 sin10 sin20 cos10− =    3 2 − 3 2 1 2 − 1 2 ( )f x R ( )1 1f − = ( )1 2 1f x− ≤ − ≤A． B． C． D． 8．已知 中， 为边 上的点，且 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 9．若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 10．函数 的部分图象可能是（　　） A． B． C． D． 11．已知函数 的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示： 则方程 的近似解可取为（精确度 ）（ ） A． B． C． D． 12．已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时， ，设 ， ， ， [ ]1,1− [ ]3, 1− − [ ]0,2 [ ]1,3 ABC∆ D BC 2DCBD = AD xAB yAC= +   x y− = 1 3 − 1 3 1 2 − 1 2 5 2cos( )12 3 π α− = 3 cos2 sin 2α α− 5 9 − 5 9 10 9 − 10 9 2 sin( ) ln 2 sin −= + xf x x x 3( ) 2 8f x x x= + − 3 2 8 0x x+ − = 0.1 1.50 1.66 1.70 1.75 ( 1)y f x= + 1x = − 0x ≤ ( ) ln(1 )f x x x= − + − ( )8a f π= − 1 cos45( )2b f −=  2 2tan16( ) 1 tan 16 c f π π= −则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上 13．已知扇形的弧长为 6，圆心角弧度数为 3，则其面积为 ； 14．函数 的单调减区间是____________； 15．若函数 的图象两相邻对称轴之间的距离为 3，则 __________． 16．关于函数 有下列四个结论： ① 是偶函数 ② 在区间 单调递减 ③ 在区间 上的值域为 ④ 当 时， 恒成立 其中正确结论的编号是____________（填入所有正确结论的序号）． 三、解答题：共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分） 设 ，且 . （I）求实数 的值及函数 的定义域； （II）求函数 在区间 上的最小值. , ,a b c c a b> > c b a> > a c b> > b a c> > ( ) sin(2 )6f x x π= − ( ) 2sin ( 0)3f x x πω ω = − >   ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2020f f f f+ + + + = ( ) sin | | | cos |f x x x= + ( )f x ( )f x ( , )2 π π ( )f x ( , )2 2 π π− [1, 2] 5 7( , )4 4x π π∈ ( ) 0f x < ( ) ( ) ( )( )log 3 log 3 0, 1a af x x x a a= + + − > ≠ ( )0 2f = a ( )f x ( )f x [ ]6,0−18．（本小题满分 12 分） 已知角 的终边经过点 ， 且 为第二象限角. （I）求实数 和 的值； （II）若 ，求 的值. 19．（本小题满分 12 分） 设函数 。 （I）求函数 的最小正周期 ，并求出函数 的单调递增区间； （II）求在 内使 取到最大值的所有 的和。 α ( ),2 2P m 2 2sin 3 α = α m tanα tan 2β = ( ) ( ) sin cos sin( )sin2 3cos cos cos( )sin2 πα β α β ππ α β α β + + + − − − 2 3( ) 3 cos sin cos 2f x x x x= + − ( )f x T ( )f x [ ],3π π− ( )f x xx- 3π 8 π 8 1 O y 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 的部分图象如图所示. （I）求 的解析式； （II）设 为锐角， ， ，求 的值. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 在区间 上的最大值为 2. （I）求函数 的解析式，并求它的对称中心的坐标； （II）先将函数 保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 （ ）倍，再将图象 向左平移 （ ）个单位，得到的函数 为偶函数．若对任意的 ， 总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. ( ) ( )cos ( 0, 0, )2f x A x A πω ϕ ω ϕ= + > > < ( )f x ,α β 5cos 5 α = ( ) 22 5sin 65 α β+ = ( )2f β 2( ) 3sin 2 2cosf x x x a= + − [ , ]6 4 π π− ( )f x ( )f x 2 A 0A ≠ m 0 2m π< < ( )g x 1 [ ,0]3x π∈ − 2 [ ,0]3x π∈ − 1 2( ) ( )f x g x= A22．（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （I）当 时，求 的最大值； （II）若方程 在 上有两个不等的实数根，求实数 的取值范 围． 2( ) 2 3 1f x x x= − + [0, ]2x π∈ (sin )y f x= (sin ) sinf x a x= − [ )π2,0 a高一期末考试数学参考答案 一、选择题. 1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C 7．D 8．A 9．D 10．A 11．B 12．A 二、填空题 13．6 14． 15． 16．① ③ ④ 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（I）∵ ，∴ ，∴ . 由 得 ，∴函数 的定义域为 .…………………………5 分 （II） . ∴当 时， 是增函数；当 时， 是减函数， 故函数 在区间 上单调递增，其最小值是 .…………………………10 分 18．解：（I）由三角函数定义可知 ，解得 ， 为第二象限角， ， 所以 。…………………………6 分 （II）原式 7[ , ]( )3 12k k k Z π π π π+ + ∈ 3 ( )0 2f = log 9 2( 0, 1)a a a= > ≠ 3a = 3 0,{3 0, x x + > − > ( )3,3x∈ − ( )f x ( )3,3− ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 3 3 3log 3 log 3 log 3 3 log 9f x x x x x x = + + − = + − = −  ( ]3,0x∈ − ( )f x ( )0,3x∈ ( )f x ( )f x [ ]6,0− 3( 6) log 3 1f − = = 2 2 2 2 2sin 3 8m α = = + 1m = ± α 1m∴ = − 2 2tan 2 2m α = = − ( ) ( ) sin cos sin( )sin2 3cos cos cos( )sin2 πα β α β ππ α β α β + + = + − − −.…………12 分 19．解：（I）依题意： ， 所以函数的最小正周期为 .…………………………3 分 由 ，解得 ，故函数的递增区间为 （ ）. …………………………6 分 （II）令 ，解得 ，此时 取得最大值为 ， 令 ，可求得 ，…………………………10 分 和为 .…………………………12 分 20．解：（I）由图可得 ， ， ， ， ， .…………………………6 分 （II）∵ ， ，∴ 为钝角， ， ， ， …………………………12 分 21.解：（I） . ∵ ，∴ ， sin cos cos sin cos cos sin sin α β α β α β α β += − + tan tan 1 tan tan α β α β += − + ( )2 2 2 2 51 2 2 2 − += = − + − × ( ) 3 3 1 3 πcos2 sin 2 sin 22 2 2 2 3f x x x x = + + − = +   2π π2T = = π π π2 π 2 2 π2 3 2k x k− ≤ + ≤ + 5π ππ π12 12k x k− ≤ ≤ + 5 ,12 12k k π ππ π − +   k Z∈ π π2 2 π3 2x k+ = + ππ 12x k= + ( )f x 1 1,0,1,2k = − 11π π 13π 25π, , ,12 12 12 12x = − 11π π 13π 25π 28π 7π 12 12 12 12 12 3 − + + + = = 3 28 8 π π π ωω = + ⇒ = cos 08 4f A π π ϕ   = + =       4 πϕ = 1 cos 4A π= 2A = ( ) 2cos 2 4f x x π = +   5cos 5 α = ( )2 5 26 5 22 5sin sin5 65 65 α α β= = > + = α β+ ( ) 19 5cos 65 α β+ = − ( ) 22 5 5 19 5 2 5 12sin sin 65 5 65 5 13 β α β α= + − = × + × = 5cos 13 β = 72cos cos sin2 4 13f β πβ β β   = + = − = −       ( ) 3sin2 cos2 1 2sin(2 ) 16f x x x a x a π= + − + = + − + [ , ]6 4x π π∈ − 22 ,66 3x π π π + ∈ −  则当 ，即 时， 取最大值 ，即有 ，得 . ∴ ；…………………………3 分 令 ，解得 ， ∴ 的对称中心的坐标为 .…………………………6 分 （II） ， ∵ 为偶函数，∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ 的值域为 ；………………8 分 ∵ ，∴ ，∴ ， ①当 时， 的值域为 , ②当 时， 的值域为 ，…………………………10 分 而依据题意有 的值域是 值域的子集， 则 或 ∴ 或 ，所以实数 的取值范围为 .……………………12 分 22．解：（I） 设 ，则 ∴ ∴当 时， …………………………5 分 （II） 化为 在 上有两解， 2(sin ) 2sin 3sin 1y f x x x= = − + sin , [0, ]2t x x π= ∈ 0 1t≤ ≤ 2 23 3 12( ) 1 2( )2 4 8y t t t= − + = − − 0t = max 1y = 22sin 3sin 1 sinx x a x− + = − 22sin 2sin 1x x a− + = [0,2 )π 2 6 2x π π+ = 6x π= ( )f x 2 2 1 2a− + = 1a = ( ) 2sin(2 )6f x x π= + ( )2 6x k k Z π π+ = ∈ 2 12 kx π π= − ( )k Z∈ ( )f x ,02 12 kπ π −   ( )k Z∈ ( ) sin(2 2 )6g x A x m π= + + ( )g x 2 6 2m k π ππ+ = + ( )k Z∈ 2 6 km π π= + ( )k Z∈ 0 2m π< < 6m π= ( ) sin(2 ) cos22g x A x A x π= + = 1 [ ,0]3x π∈ − 12 [ , ]6 2 6x π π π+ ∈ − 1( )f x [ 2,1]− 2 [ ,0]3x π∈ − 2 22 [ ,0]3x π∈ − 2 1cos2 [ ,1]2x ∈ − 0A > 2( )g x [ , ]2 A A− 0A < 2( )g x [ , ]2 AA − 1( )f x 2( )g x 0 1 22 A A A   >  ≥  − ≤ − 0 12 2 A A A