北京市朝阳区 2019~2020 学年度第一学期期末质量检测高
三年级
数学试卷
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项
1.在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】解：复数 i（2+i）＝2i﹣1 对应的点的坐标为（﹣1，2），
故选：C
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
2.已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用中间量隔开三个值即可.
【详解】∵ ， , ,
∴ ，
故选：D
【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，得双曲线的渐近线方程为 y＝±x，再由双曲线离心率为 2，得到 c＝2a，由定义
知 b a，代入即得此双曲线的渐近线方程．
【详解】解：∵双曲线 C 方程为： 1（a＞0，b＞0）
∴双曲线的渐近线方程为 y＝±x
又∵双曲线离心率为 2，
∴c＝2a，可得 b a
因此，双曲线的渐近线方程为 y＝± x
故选：B．
【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程
与基本概念，属于基础题．
4.在 中，若 ， ， ，则角 的大小为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦定理即可得到结果.
【详解】解：∵b＝3，c ，C ，
∴由正弦定理 ，可得 ，
可得：sinB ，
∵c＜b，可得 B 或 ，故选：D．
点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．
5.从 名教师和 名学生中，选出 人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入
选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即
可.
【详解】由题意可分成两类：
（1）一名教师和三名学生，共 ；
（2）两名教师和两名学生，共 ；
故不同的选派方案的种数是 .
故选：C
【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．
6.已知函数 ，则 （ ）
A. 是奇函数，且在 上单调递增 B.是奇函数，且在 上单调递
减
C. 是偶函数，且在 上单调递增 D.是偶函数，且在 上单调递
减
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．
【详解】函数 的定义域为 R，
，
即 ，
∴ 是偶函数，
【当 时， , 为增函数， 为减函数，
∴ 在 上单调递增，
故选：C
【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档
题．
7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意把三棱锥放入棱长为 2 的正方体中，得出三棱锥的形状，
结合图形，求出该三棱锥的体积．
【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为 2 的正方体中，是如图所示的三棱锥
P﹣ABC，
∴三棱锥 P﹣ABC 的体积为： ，
故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础
题．
8.设函数 ，则“ ”是“ 有且只有一个零点”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
有且只有一个零点的充要条件为 ,或 ，从而作出判断.
详解】f（x）＝ ，
f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），
令 f′（x）＞0，解得：x＞1 或 x＜﹣1，
令 f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，
∴ 在 ， 上单调递增，在 上单
调递减，
且 , ,
若 有且只有一个零点，则 ,或
∴“ ”是“ 有且只有一个零点”的充分而不必要条件，
故选：A
【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，
属于中档题.
9.已知正方形 的边长为 ，以为圆心的圆与直线 相切.若点 是圆 上的动点，则
【的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，圆 的方程为： , ，利用正
弦型函数的性质得到最值.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
圆 的方程为： ,∴ ，
∴ ， ，
∴
∴ 时， 的最大值是 8，
故选：D
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性
质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
10.笛卡尔、牛顿都研究过方程 ，关于这个方程的曲线有下列说法： ①
该曲线关于 轴对称； ② 该曲线关于原点对称；③ 该曲线不经过第三象限； ④ 该曲线
上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（ ）
A. ②③ B. ①④ C. ③ D. ③④
【答案】C【解析】
【分析】
以﹣x 代 x，以﹣x 代 x，﹣y 代 y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，
利用赋值法判断④的正误.
【详解】以﹣x 代 x，得到 ，方程改变，不关于 轴对称；
以﹣x 代 x，﹣y 代 y，得到 ，方程改变，不关于 对称；
当 时， 显然方程不成立，
∴该曲线不经过第三象限；
令 ,易得 ，即 适合题意，同理可得 适合题意，
∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，
故选：C
【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档
题．
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分
11. 的展开式中的常数项为______.
【答案】24
【解析】
【分析】
先求出二项式 展开式通项公式 ，
再令 ，求出 代入运算即可得解.
【详解】解：由二项式 展开式通项公式为 ，
令 ，解得 ，即展开式中的常数项为 ，
故答案为 24.
【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.
12.已知等差数列 的公差为 ，若 ， ， 成等比数列，则 _______；数列 的前
项和的最小值为_____．
【答案】 (1). (2). 【解析】
【分析】
运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到 a2，再由等
差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．
【详解】解：等差数列{an}的公差 d 为 2，
若 a1，a3，a4 成等比数列，
可得 a32＝a1a4，
即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），
化为 a1d＝﹣4d2，
解得 a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；
数列{an}的前 n 项和 Sn＝na1 n（n﹣1）d
＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n
＝（n ）2 ，
当 n＝4 或 5 时，Sn 取得最小值﹣20．
故答案为：﹣6，﹣20．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及
二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．
13.若顶点在原点的抛物线经过四个点 ， ， ， 中的 2 个点，则该抛物
线的标准方程可以是________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.
【详解】设抛物线的标准方程为： ，不难验证 适合，故 ；
设抛物线的标准方程为： ，不难验证 适合，故 ；
故答案为： 或
【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.
14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为 ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此
种盆栽植物 10 株，设 为其中成活的株数，若 的方差 ， ，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知： ，且 ，从而可得 值．
【详解】由题意可知：
∴ ，即 ,
∴
故答案为：
【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属
于中档题．
15.已知函数 的定义域为 ，且 ，当 时， ．若
存在 ，使得 ，则 的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由 f（x+ ）＝2f（x），得 f（x）＝2f（x﹣ ），分段求解析式，结合图象可得 m 的取值范
围．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵当 时， ．
∴当 时， ．
当 时， ．
当 时， ．
作出函数 图象：的令 ，解得： 或 ，
若存在 ，使得 ，则 ，
故答案为：
【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形
结合的解题思想方法，属中档题．
16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度 （每层玻璃的厚度相同）及
两层玻璃间夹空气层厚度 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量 满足关系式：
，其中玻璃的热传导系数 焦耳/（厘米 度），不流通、干燥
空气的热传导系数 焦耳/（厘米 度）， 为室内外温度差． 值越小，
保温效果越好．现有 4 种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：
型号
每层玻璃厚度
（单位：厘米）
玻璃间夹空气层厚度
（单位：厘米）
A 型
B 型
C 型
D 型
则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．
【答案】
【解析】【分析】
分别计算 4 种型号的双层玻璃窗户的 值，根据 值越小，保温效果越好．即可作出判断.
【详解】A 型双层玻璃窗户： ，
B 型双层玻璃窗户： ，
C 型双层玻璃窗户： ，
D 型双层玻璃窗户： ，
根据 ，且 值越小，保温效果越好．
故答案为：B
【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考
查计算能力.
三、解答题共 6 小题，共 86 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
17.已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求 的单调递增区间；
（3）对于任意 都有 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数 f（x）的最小正周期 T；
（2）由三角函数的图象与性质即可求函数 f（x）的单调递增区间；
（3）原问题等价于 最大值小于零.
【详解】（1）因为
，
.
所以 的最小正周期 ．
（2）由（1）知 ．
的又函数 的单调递增区间为 ( Z)．
由 ， ，
得 ， ．
所以 的单调递增区间为 .
（3）因为 ，所以 .
所以 .所以 .
当 ，即 时， 的最大值为 ，
又因为 对于任意 恒成立，所以 ，即 .
所以 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查三角函数函数的周期、单调区间和最值问题，关键在正确化简三角函
数解析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用三角函数的性质解答，要求熟练掌
握三角函数的图象和性质．
18.某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃
圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位
参赛选手从所有卡片中随机抽取 张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按
规则，每正确投放一张卡片得 分，投放错误得 分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有
害垃圾”的箱子，得 分，放入其它箱子，得 分．从所有参赛选手中随机抽取 人，将他们
的得分按照 ， ， ， ， 分组，绘成频率分布直方图如
图：
（1）分别求出所抽取的 人中得分落在组 和 内的人数；
（2）从所抽取的 人中得分落在组 的选手中随机选取 名选手，以 表示这 名选手中得分不超过 分的人数，求 的分布列和数学期望；
（3） 如果某选手将抽到的 20 张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到 100
分？请说明理由．
【答案】（1）抽取的 人中得分落在组 的人数有 人，得分落在组 的人数有
人；（2）分布列见解析，1.2；（3）答案不唯一，具体见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；
（2） 的所有可能取值为 ， ， ，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；
（3）该选手获得 100 分的概率是 ，结合此数据作出合理的解释.
【详解】（1）由题意知，所抽取的 人中得分落在组 的人数有
（人），
得分落在组 的人数有 （人）．
所以所抽取的 人中得分落在组 的人数有 人，得分落在组 的人数有 人．
（2） 的所有可能取值为 ， ， ．
， ， ．
所以 的分布列为
所以 的期望 ．
（3）答案不唯一．
答案示例 1：可以认为该选手不会得到 100 分．理由如下：
该选手获得 100 分的概率是 ，概率非常小，故可以认为该选手不会得到 100 分．
答案示例 2：不能认为该同学不可能得到 100 分．理由如下：
该选手获得 100 分的概率是 ，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到 100 分．
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，
考查分析问题解决问题的能力.
19.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， 平面 ，
， ， 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（3）判断直线 与平面 的位置关系，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）相交，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意先证明 平面 ，即可得到答案；
（2）以 为坐标原点，以 为 轴，以 为 轴，以过点 且与 平行的直线为 轴，
建立空间直角坐标系 ，求出 、 的坐标，利用公式即可得到结果；
（3）求出平面 的一个法向量与向量 ，根据 与零的关系，作出判断.
【详解】（1）连结 ．
因为底面 是菱形 ，所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 .
又因为 ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，所以 .
（2）设 ， 交于点 .
因为底面 是菱形 ，
所以 ，
又因为 平面 ，
所以 ， .
如图，以 为坐标原点，以 为 轴，以 为 轴，以过点 且与 平行的直线为 轴，
建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ，
.
则 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，则 ，
，
所以 与 所成角的余弦值为 .
（3）直线 与平面 相交.证明如下：
由（2）可知， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 即 令 ，得 ．
则 ，所以直线 与平面 相交．
【点睛】本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，
属于中档题.
20.已知椭圆 过点 ，且椭圆 的一个顶点 的坐标为
．过椭圆 的右焦点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， （ ， 不同于点 ），直线
与直线 ： 交于点 ．连接 ，过点 作 的垂线与直线 交于点 ．
（1）求椭圆 的方程，并求点 的坐标；
（2）求证： ， ， 三点共线．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列方程组 ，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；
（2）讨论直线 的斜率，利用 是平行的证明 ， ， 三点共线．
【详解】（1） 因为点 在椭圆 上，且椭圆 的一个顶点 的坐标为 ，
所以 解得
所以椭圆 的方程为 ．
所以椭圆 的右焦点 的坐标为 ．
（2）① 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ．
显然， ， 或 ， ．
当 ， 时，直线 的方程为 ，点 的坐标为 ．
所以 ．
直线 的方程为 ，点 的坐标为 ．
则 ， ．
所以 ，所以 ， ， 三点共线．同理，当 ， 时， ， ， 三点共线．
② 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．
由 得 ．
且 ．
设 ， ，则 ， ．
直线 的方程为 ，点 的坐标为 ．
所以 ．
直线 的方程为 ，点 的坐标为 ．
则 ， ．
所以
，
，
，
，
，
．
所以 与 共线，
所以 ， ， 三点共线．
综上所述， ， ， 三点共线．
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考
查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21.已知函数 ， ．
（1）若 .（ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（ⅱ）求函数 在区间 内的极大值的个数．
（2）若 在 内单调递减，求实数 的取值范围．
【答案】（1）（ⅰ） ；（ⅱ）1；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）（ⅰ）求出导函数，得到 与 ，利用点斜式得到直线的方程；（ⅱ）研究函数
在区间 内单调性，结合极值的定义得到答案；
（2）由题可知 ，其中 ，分两类情况： 与
，
结合函数的单调性与极值即可得到实数 的取值范围．
【详解】（1）（ⅰ）因为 ，
所以 ， ．
又因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
化简得 ．
（ⅱ）当 时， ， 单调递增，此时 无极大值．
当 时，设 ，则 ，
所以 在 内单调递减．
又因为 ， ，
所以在 内存在唯一的 ，使得 ．
当 变化时， ， 的变化如下表
0↗ ↘
所以 在 内单调递增，在 内单调递减，此时 有唯一极大值．
综上所述， 在 内的极大值的个数为 ．
（2） 由题可知 ，其中 ．
当 时， ，故 在 内单调递减；
下面设 ．
对于 ， ，且 ，
所以 ．
所以当 时， ．
设 ， ，
则 ．
所以 在 上单调递减．
， ．
当 时，即 时， ，对 ， ，
所以 ， 在 内单调递增，不符合题意．
当 时，即 时， ， ，
所以 ，使 ，
因为 在 内单调递减，
所以对 ， ，所以 ．
所以 在 内单调递增，不符合题意．
所以当 时， 在 内不单调递减．
综上可得 ，故 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想与
分类讨论的思想，属于中档题．
22.设 为正整数，各项均为正整数的数列 定义如下： ，
（1）若 ，写出 ， ， ；
（2）求证：数列 单调递增的充要条件是 为偶数；
（3）若 为奇数，是否存在 满足 ？请说明理由．
【答案】（1） ， ， ；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1） 时，结合条件，注意求得 ， ， ；
（2）根据 与零的关系，判断数列 单调递增的充要条件；
（3）存在 满足 .
【详解】（1） ， ， ．
（2）先证“充分性”．
当 为偶数时，若 为奇数，则 为奇数．
因为 为奇数，所以归纳可得，对 ， 均为奇数，则 ，
所以 ，
所以数列 单调递增．
再证“必要性”．
假设存在 使得 为偶数，则 ，与数列 单调递增矛盾，
因此数列 中的所有项都是奇数．
此时 ，即 ，所以 为偶数．
（3）存在 满足 ，理由如下：
因为 ， 为奇数，所以 且 为偶数， ．
假设 为奇数时， ； 为偶数时， ．
当 为奇数时， ，且 为偶数；当 为偶数时， ．
所以若 为奇数，则 ；若 为偶数，则 ．
因此对 都有 ．
所以正整数数列 中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．
设集合 ，设集合 ．
因为 ，所以 ．
令 是 中的最小元素，下面证 ．
设 且 ．
当 时， ， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ．
所以若 ，则 且 ，与 是 中的最小元素矛盾．
所以 ，且存在 满足 ，即存在 满足 ．
【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查学生分析问题及解决问题得能
力，属于难题．
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